2021届湖南省六校高三上学期联考(一)数学试题（教师版含解析）

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1、湖南六校联考试卷湖南六校联考试卷( (一一) )试卷试卷 一一 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1. 已知全集= 0,1,2,3,4U，集合 1,2,3 ,2,4AB，则 UA B 为( ) A. 1,2,4 B. 4 C. 0,2,4 D. 0,2,3,4 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据题意求出 UA ，再根据并集运算即可求出结果. 【详解】由题意可知 U 0,4A 所以 0,42,40,2,4 UA B UU. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了集合补集和并集的运算，属于基础题. 2. 下

2、列选项中正确的是( ) A. 若acbc，则ab B. 若ab，cd，则acbd C. 若ab，则 11 ab D. 若 22 acbc，则a b 【答案】D 【解析】 【分析】 利用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可. 【详解】A：只有当0c 时，才能由acbc推出ab，故本选项不正确； B：只有当 0,0bd时，才能由ab，c d推出acbd，故本选项不正确； C：当 0,1ab 时，显然ab成立，但是 11 ab 显然不成立,因此本选项不正确； D：因为 22 acbc，所以0c ，因此本选项正确. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式性质的应用，属于基础题. 3. 已知等比数列 n a

3、中， 3 117 4a aa，数列 n b是等差数列，且 77 ba，则 59 bb( ) A. 2 B. 4 C. 16 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等比数列性质求出 a7，然后利用等差数列的性质求解即可 【详解】等比数列an中，a3a114a7， 可得 a724a7，解得 a74，且 b7a7， b74， 数列bn是等差数列，则 b5+b92b78 故选 D 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力 4. 对于任意两个正整数m，n， 定义某种运算“”如下： 当m，n都为正偶数或正奇数时，mnm n ； 当m，n中一个为正偶数，另一个为

4、正奇数时，mnmn ，则在此定义下，集合 ( , )|12,*,*Ma babab NN中的元素个数是( ) A. 10 个 B. 15 个 C. 16 个 D. 18 个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据定义知12ab 分两类进行考虑，, a b一奇一偶， 则12ab，, a b同奇偶， 则12a b ， 由, ab N 列出满足条件的所有可能情况即可. 【详解】根据定义知12ab 分两类进行考虑，, a b一奇一偶，则12ab，, a bN，所以 可能的取值为(1,12),(12,1),(3,4),(4,3), 共 4个，, a b同奇偶，则12a b ，由, a bN ，所以可能的取

5、 值为(2,10),(10,2),(1,11),(11,1), 3,9（），(9,3),(4,8),(8,4),(5,7),(7,5),(6,6),共 11个，所以符合要求的共 15 个，故选 B. 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想，集合及集合与元素关系，属于中档题. 5. ABC的三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 coscos ab BA ，则ABC的形状是( ) A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦定理 sin sinsinsin abaA ABbB ，再结合已知 coscos

6、ab BA 可求得 sincos sincos AB BA ，从而可得 sin2sin2AB，可判断ABC的形状. 【详解】解：ABC中，由正弦定理得： sinsin ab AB ， sin sin aA bB ，又 coscos ab BA ， sincos sincos AB BA ， sin2sin2AB， AB或22AB， 即AB或 2 AB ， ABC为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 【点睛】本题考查判断三角形的形状，利用正弦定理化边为角后，由正弦函数性质可得角的关系，得三角 形形状 6. 设常数aR.若 5 2 a x x 的二项展开式中 7 x项的系数为15，则a( ) A

7、. 2 B. 2 C. 3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用通项公式求出 7 x项的系数且等于-15，建立关于a的方程，求解即可 . 【详解】 5 2 a x x 的二项展开式的通项公式为 5 2 15 r r r r a TCx x 10 3 5 rrr aCx ，0,1,2,3,4,5r . 令10 37r，得1r ， 所以展开式中 7 x项 系数为 1 5 15a C ，解得3a. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，属于基础题. 7. 唐代诗人李顾的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣 的数学问题一“将军饮马”问题，

8、即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样 走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 22 1xy，若将军从点3,0A处出发， 河岸线所在直线方程为4xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总 路程为( ) A. 171 B. 172 C. 17 D. 3 2 【答案】A 【解析】 【分析】 求出A关于4xy的对称点 A ，根据题意，则1AC为最短距离，即可得答案； 【详解】设点A关于直线4xy的对称点,A a b ，设军营所在区域为的圆心为C， 根据题意，1AC为最短距离，先求出 A 的坐标， AA 的中点为 3 , 22

9、ab ，直线 AA 的斜率为 1， 故直线 AA 为3yx， 由 3 4 22 3 ab ba ，解得4a，1b， 所以 22 4117AC ， 故1171AC ， 故选：A. 【点睛】本题考查点关于直线对称及圆外一点到圆上点距离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归 思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8. 已知 12 FF， 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 12 PFPF，线段 1 PF的垂直平分 线过 2 F，若椭圆的离心率为 1 e，双曲线的离心率为 2 e，则 2 1 e2 e2 的最小值为( ) A. 6 B. 3 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析

10、】 【分析】 利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 2 1 e2 e2 ，再利用均值不等式得到答案 【详解】设椭圆长轴 1 2a，双曲线实轴 2 2a，由题意可知： 122 2FFF Pc， 又 121122 2 ,2FPF PaFPF Pa， 1112 22 ,22FPcaFPca， 两式相减，可得： 12 2aac， 2 2112 122 242 222 eaa acc ecaca ， 2 22 22 2222 1222 4 2842 42 2222 caacecaacac ecacaca ， 22 22 2 222 22 aacc caca ，当且仅当 2 2 2 2 a

11、c ca 时取等号， 2 1 e2 e2 的最小值为 6， 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 2 1 e2 e2 是解题的关键，意在考查 学生的计算能力 二二 多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. .在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求要求. .全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. . 9. 已知i为虚数单位，则下面命题正确的是( ) A. 若复数3 iz ，则 13 1010 i z

12、B. 复数z满足21zi，z在复平面内对应的点为, x y，则 2 2 21xy C. 若复数 1 z， 2 z满足 2 1 zz，则 12 0z z D. 复数1 3zi 的虚部是 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】 直接运算可判断 A；由复数的几何意义和复数模的概念可判断 B；由共轭复数的概念，运算后可判断 C；由 复数虚部的概念可判断 D；即可得解. 【详解】由 1133 3 i3 i3 i1010 ii z ，故 A 正确； 由z在复平面内对应的点为, x y，则221zixyi，即 2 2 21xy ， 则 2 2 21xy，故 B 正确； 设复数 1 zabi，则 2 zabi

13、，所以 2 1 2 2 0abiabzbiza，故 C正确； 复数1 3zi 的虚部是-3，故 D 不正确. 故选：A、B、C 【点睛】本题综合考查了复数的相关问题，属于基础题. 10. 下图是某市 6月 1日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100表示空气质量优良，空气 质量指数大于 200表示空气重度污染，某人随机选择 6月 1 日至 6月 13日中的某一天到达该市，并停留 2 天.下列说法正确的有( ) A. 该市 14 天空气质量指数的平均值大于 100 B. 此人到达当日空气质量优良的概率为 8 13 C. 此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率为 2 13

14、 D. 每连续 3天计算一次空气质量指数的方差，其中第 5天到第 7 天的方差最大 【答案】AD 【解析】 【分析】 结合所给统计图，逐个分析判断即可 【详解】 A. 1 (862557 143220 16040217 160 121 158867937)156 14 ， 故正确； B.在 6月 1日至 6月 13 日这 13 天中，1日，2日，3日，7日，12 日，13 日共 6 天的空气质量优良，所以此 人到达当日空气质量优良的概率为 6 13 ，故不正确； C.6月 1 日至 6 月 14日连续两天包含的基本事件有 13 个，此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的基 本事件是4,5，

15、5,6，7,8，8,9共 4 个，所以此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率是 4 13 ，故不正确； D.空气质量指数趋势图可以看出，从 3月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大，故正确. 故选：AD. 【点睛】此题考查概率的求法，考查平均数的求法和方差的意义，考查运算求解能力，考查化归与转化思 想，属于中档题 11. 已知四棱台 1111 ABCDABC D的上下底面均为正方形，其中 2 2AB ， 11 2AB ， 111 2AABBCC，则下述正确的是( ) A. 该四棱台的高为3 B. 11 AACC C. 该四棱台的表面积为 26 D. 该四棱台外接球的表面积为16

16、【答案】AD 【解析】 【分析】 根据棱台的性质，补全为四棱锥，根据题中所给的性质，进行判断 【详解】解： 由棱台性质，画出切割前的四棱锥， 由于 2 2AB ， 11 2AB ，可知 11 SA B 与 SAB相似比为1:2； 则 1 24SAAA ，2AO，则2 3SO ，则 1 3OO ，该四棱台的高为3，A对； 因为4SASCAC，则 1 AA与 1 CC夹角为60，不垂直，B错； 该四棱台的表面积为 22 2 14 824106 7 22 SSSS 上底下底侧 ，C错； 由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在 1 OO上， 在平面 11 B BOO上中，由于 1 3OO ， 11

17、1BO ，则 1 2OBOB，即点O到点B与点 1 B的距离相等，则 2rOB，该四棱台外接球的表面积为16，D对， 故选：AD 【点睛】本题考查立体几何中垂直，表面积，外接球的问题，属于难题 12. 已知函数 2 3 ,0 3 ,0 xx x f x f xx ，以下结论正确的是( ) A. f x在区间4,6上是增函数 B. 220204ff C. 若函数 yf xb在,6上有 6 个零点1,2,3,4,5,6 i x i ，则 6 1 9 i i x D. 若方程 1fxkx恰有 3个实根，则 1 1,1 3 k 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据 ( )f x在 2 ，0上的单调

18、性判断A，根据(2020)( 2)ff判断B，根据图象的对称性判断C，根据 直线1ykx与( )yf x的图象有 3个交点判断D 详解】解：由题意可知当3x 时， ( )f x是以 3 为周期的函数， 故 ( )f x在4，6上的单调性与( )f x在 2 ，0上的单调性相同， 而当0 x时， 2 39 ( )() 24 f xx ， ( )f x在 2，0上不单调，故A错误； 又 (2020)( 2)2ff ，故 ( 2)(2020)4ff ，故B正确； 作出( )yf x的函数图象如图所示： 由于( )yf xb在(,6)上有 6个零点，故直线yb与( )yf x在(,6)上有 6 个交点

19、， 不妨设 1ii xx，1i ，2，3，4，5， 由图象可知 1 x， 2 x关于直线 3 2 x 对称， 3 x， 4 x关于直线 3 2 x 对称， 5 x， 6 x关于直线 9 2 x 对称， 6 1 339 2229 222 i i x ，故C正确； 若直线1ykx经过点(3,0)，则 1 3 k ， 若直线1ykx与 2 3 (0)yxx x相切，则消元可得： 2 (3)10 xk x ， 令0 可得 2 (3)40k，解得1k 或5k ， 当1k 时，1x，当5k 时，1x (舍)，故1k 若直线1ykx与( )yf x在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k 因为方程( )1

20、f xkx恰有 3 个实根，故直线1ykx与( )yf x的图象有 3 个交点， 1 1 3 k 或1k ，故D正确 故选：BCD 【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题 三三 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. .试题中包含两个空的，答对试题中包含两个空的，答对 1 个的给个的给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分. . 13. 已知1a ， 6b ， 4aba ，则向量a与b的夹角是_ 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 由题得 2 4,a ba 再利用数量积的公式化简即

21、得解. 【详解】因为4aba ， 所以 2 4, 1 6 cos,14a baa b ， 所以 1 cos, 2 a b ， 因为0, a b， 所以 2 , 3 a b. 向量a与b的夹角是 2 3 . 故答案为： 2 3 【点睛】本题主要考查数量积的计算和运算律，考查向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平. 14. 已知随机变量 2 1,XN，若20.2P X ，则P X _. 【答案】0.8 【解析】 分析】 先根据正态分布对称性求P X ，再求.P X 【详解】因为随机变量 2 1,XN ， 20.2P X ， 所以20.2P XP X 因此11 0.20.8P XP

22、X 故答案为：0.8 【点睛】本题考查利用正态分布对称性求概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 15. 如图，直四棱柱 1111 ABCDABC D，底面是边长为a的菱形， 60BAD， 1 2AAa ，则直线 11 AC 与 1 BC成角的余弦值为_ 【答案】 15 10 【解析】 【分析】 首先连接AC， 1 AB，得到 1 ACB或其补角为直线 11 AC与 1 BC成角，再求其余弦值即可. 【详解】连接AC， 1 AB，如图所示： 因为 11 /AC AC，所以 1 ACB或其补角为直线 11 AC与 1 BC成角. 因为底面是边长为a的菱形，60BAD， 1 2AAa， 所以 2

23、2 11 25ABCBaaa， 22 1 23 2 ACaaa aa. 222 1 355 15 cos 10235 aaa ACB aa . 所以直线 11 AC与 1 BC成角的余弦值为 15 10 . 故答案为： 15 10 【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，平移找角为解题关键，属于中档题. 16. 已知函数 2sin 0f xx，则 f x的最大值为_，若 f x在区间, 4 3 上是增函 数，则的取值范围是_. 【答案】 (1). 2 (2). 3 0, 2 【解析】 【分析】 根据函数 2sin0f xx，易得 2sin2,2 f xx.根据 f x在区间, 4 3 上是增函

24、数，则有, 432 2 求解. 【详解】因为函数 2sin0f xx， 所以 2sin2,2 f xx， 所以 f x的最大值为 2， 因为 f x在区间, 4 3 上是增函数， 所以, 432 2 ， 所以 42 32 ， 解得 3 0, 2 . 故答案为：(1). 2 (2). 3 0, 2 【点睛】本题主要考查三角函数的值域和三角函数的单调性，还考查了理解辨析运算求解的能力，属于中 档题. 四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . 17. 已知函数 sinf xAx ，(0A，

25、0， 2 )的最小正周期为4. (1)从0 3 f ； 2 1 3 f ；xR ，都有 2 3 f xf 这三个条件中，选择合适的 两个条件，求函数 f x的解析式； (2)求(1)中所求得的函数 f x在区间 2 , 33 上的最大值和最小值. 【答案】(1) 1 2sin 26 xf x ；(2)最小值为-1，最大值为3. 【解析】 【分析】 (1)先根据周期得，或都能确定，所以选或，再根据确定A；(2)先根据自变量范围得 1 26 x 范围，再根据正弦函数性质求最值. 【详解】(1)因为 f x的最小正周期为4， 所以 2 4 ，解得 1 2 . 选： 因为0 3 f ，所以sin0 6

26、 ， 解得 6 k ，kZ. 因为 2 ，所以 6 . 又因为 2 1 3 f ， 所以sin1 36 A ，即sin1 6 A ， 所以2A. 所以 1 2sin 26 xf x . 选： 因为x R，都有 2 3 f xf ， 所以 2 3 x 时， f x取得最大值，即sin1 3 ， 所以2 32 k ，kZ， 所以 2 ，所以 6 . 又因为 2 1 3 f ， 所以sin1 36 A ，即sin1 6 A ， 所以2A. 所以 1 2sin 26 xf x . (2)因为 2 , 33 x ， 所以 1 , 266 3 x ， 所以 13 sin, 2622 x ， 当 2 3 x

27、 时， f x取得最小值为-1； 当 3 x 时， f x取得最大值为 3； 所以 f x取得最小值为-1，最大值为3. 【点睛】本题考查根据三角函数性质求函数解析式、根据正弦函数性质求最值，考查综合分析求解能力， 属中档题. 18. 已知 n S是数列 n a的前 n项和，且 1 4 nn SanN (1)求数列 n a的通项公式； (2)设 (2) (1) n n na b n n ，数列 n b的前n项和为 n T，求证： 1 4 n T 【答案】(1) 2 1 2 n n a ；(2)答案见详解 【解析】 【分析】 (1)结合已知条件再写一个 11 1 4 nn Sa ，两式相减，可得

28、 11nnn aaa ，得出 n a是首项为 1 1 8 a ， 公比为 1 2 的等比数列. 即可得 n a通项. (2)将 n b通项表示出来，裂项相消求和即可得 n b的前n项和为 n T，再根据指数形式恒大于 0，即可证得 1 4 n T . 【详解】(1) 1 4 nn Sa， 11 1 4 nn Sa ， 11 11 () 44 nnnn SSaa 11nnn aaa 即 1 1 2 nn aa ， 令1n 得： 11 1 4 aa ，即 1 1 8 a ， n a是首项为 1 1 8 a ，公比为 1 2 的等比数列， 12 2 1111 8222 nn n n a (2) (2

29、) (1) n n na b n n 21 2111 (1) 222(1) 2 n nnn n b n nnn 123 1223341 111111111111 2 1 22 22 2 23 22 3 24 222(1) 2 nn nn Tbbbb nn 112 111111 2 1 2(1)24(1) 24 nn nn ， 1 4 n T . 【点睛】本题主要考查了已知 n S和 n a的关系，求 n a的通项，以及裂项相消求和，不等式的放缩，属于 中档题. 19. 如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，四边形ABCD为梯形， / /BCAD，ABAD，E 为侧棱PA上一点，且2A

30、EPE，3AP，2ABBC，4AD. (1)证明：/ /PC平面BDE. (2)求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)答案见解析；(2) 34 6 . 【解析】 【分析】 (1)连接AC交BD于点F，连接EF，证明EF/PC即可证明出PC/平面BDE； (2)建立空间坐标系，利用空间向量的方法，先计算出平面BDE和平面PCD的法向量，再利用向量的数量 积计算法向量的夹角的余弦值. 【详解】解：(1)证明：如图所示，连接AC交BD于点F，连接EF. 四边形ABCD为梯形，且2ADBC， :2:1AF CFAD BC，即2AFCF， 在PAC中，2AEPE，2AFCF， E

31、F/PC 又PC 平面BDE，EF 平面BDE， PC/平面BDE. (2)如图所示，以点A为坐标原点，以分别以AB、AD、AP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系， 则2,0,0B，2,2,0C，0,4,0D，0,0,2E，0,0,3P. 所以，2,0,2BE ，2,4,0BD ，2,2, 3PC ，0,4, 3PD ， 设 111 ,mx y z和 222 ,nx y z分别是平面BDE和平面PCD的法向量，则 0 0 m BD m BE ，得 11 11 240 220 xy xz ，令 1 2x 得 1 1y ， 1 2z ，即2,1,2m ， 0 0 n PC n PD ，得 222

32、 22 2230 430 xyz yz ，令 2 3y 得 2 3x ， 2 4z ，即3,3,4n 所以， 1734 cos, 6334 m n m n mn ， 故平面BDE和平面PCD所成角锐二面角的余弦值为平面 34 6 . 【点睛】本题考查空间线面平行的证明及二面夹角的计算问题，难度一般. 证明线面平行时要紧扣线面平行 的判定定理，二面角的计算一般通过法向量的夹角处理，准确计算出平面的法向量是关键. 20. 已知函数( ) lnf xmxnxx图象在点 , e f e处的切线方程为4yxe. (1)求函数 ( )f x的解析式； (2)若对任意(1,)x，不等式( )(1)1f xt

33、 x恒成立，求正整数 t的最大值. 【答案】(1)( )2lnf xxxx；(2)4. 【解析】 【分析】 (1)首先求出函数 ( )f x的定义域与导函数，然后根据题意及导数的几何意义建立关于 m 和 n 的方程求解即 可； (2)首先将不等式化为 2ln1 1 xxx t x ，然后构造函数，通过研究新函数的单调性求得其最小值，从而根 据恒成立求得正整数 t的最大值. 【详解】(1)函数 ( )f x的定义域为 0,， ( )lnfxnxmn ， 所以有 ( )24 ( )4 f emn f emeneee ，解之得 2 1 m n ， 故函数的解析式为：( )2lnf xxxx； (2)

34、( )(1)1f xt x可化为2ln(1) 1xxxt x， 因为(1,)x，所以 2ln1 1 xxx t x ， 令 2ln1 ( ) 1 xxx g x x (1x )，则由题意知对任意的(1,)x，( )mintg x， 而 2 2ln ( ) (1) xx g x x ，(1,)x， 再令( )2lnh xxx(1x )，则 11 ( )10 x h x xx ， 所以( )h x在(1,)上为增函数， 又(3)1ln30h ，(4)2ln40h， 所以存在唯一的 0 (3,4)x ，使得 0 ()0h x，即 00 2lnxx， 当 0 (1,)xx时，( )0h x ，( )0

35、g x，所以( )g x在 0 (1,)x上单调递减， 当 0 (,)xx时，( )0h x ，( )0g x，所以( )g x在 0 (,)x 上单调递增， 所以 000000 00 00 2ln12(2) 1 ( )()1 11 min xxxxx x g xg xx xx ， 所以 0 1tx， 又 0 (3,4)x ，所以 0 1(4,5)x ， 因为 t为正整数，所以 t的最大值为 4. 【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题、导数的应用，意在考查逻辑思维能力、划归与转 化能力、运算求解能力以及方程思想，属于常考题. 21. 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab

36、 ，四点 1 3 1, 2 P ， 2 3 1, 2 P ， 3 0,3P， 4 1,1P中恰有三 点在椭圆C上. 1求椭圆C的方程； 2直线l：0ykxm m与椭圆C有且仅有一个公共点，且与x轴和y轴分别交于点M，N，当 MON面积取最小值时，求此时直线l的方程. 【答案】 1 22 1 43 xy ； 2 3 6 2 yx或 3 6 2 yx . 【解析】 【分析】 1根据椭圆的对称性，必过 1 P， 2 P，必不过 4 P，进而代入坐标求出椭圆C的方程； 2将直线与椭圆方程联立，写出一元二次方程的形式，结合根的判别式和基本不等式，求出 3 2 k ， 6m ，进而求出直线l的方程. 【详

37、解】解： 1根据椭圆的对称性，必过 1 3 1, 2 P ， 2 3 1, 2 P ，必不过 4 1,1P， 代入点 3 0,3P得， 2 3b ，代入点 1 P得， 2 4a . 椭圆C的方程为： 22 1 43 xy . 2由 22 1 43 xy ykxm ，可得 222 4384120kxkmxm. 直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，可知 2222 644 434120k mkm ， 整理得 22 43mk. 由条件可得0k ，,0 m M k ，0,Nm， 2 11 222 MON mm SOMONm kk ， 22 43mk， 2 4313 4 22 MON k Sk kk . 0

38、k ， 13 42 3 2 k k ， 当且仅当 3 4 k k ，即 3 2 k ， 3 2 k 时等号成立， MON S最小值为2 3， 22 43mk， 2 6m ，又由0m，解得6m . 故此时直线l的方程为 3 6 2 yx或 3 6 2 yx . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆相交的问题，考查分析问题能力，考查运算求解 能力，属于中档题. 22. 疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了 A 餐、B餐两种 餐盒.经过前期调研，食堂每天备餐时 A、B 两种餐盒的配餐比例为 3：1.为保证配餐的分量足，后勤会对每 天的餐盒的重量进

39、行抽查.若每天抽查 5个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同， (1)求抽取的 5 个餐盒中有三个 B餐的概率； (2)某天配餐后， 食堂管理人员怀疑 B餐配菜有误， 需要从所有的餐盒中挑出一个 B餐盒查看.如果抽出一个 是 A 餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是 B餐盒，则抽样结束.规定抽取次数不超过 * Nn n 次.假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中 A、B 餐盒的比例.若抽样结束时抽到的 A 餐 盒数以随机变量 X 表示，求 X 的分布列与数学期望. 【答案】(1) 45 512 ；(2)分布列见解析，期望是 3 33 4 n . 【解析】 【分析

40、】 (1)用表示“抽取的 5 个餐盒中 B餐盒的个数”，则服从二项分布，即 1 5, 4 B ，由此可计算出概率； (2)X的可能取值为：0，1，2，n.依次计算出概率得分布列，由期望公式写出期望计算式，由数列求 和的错位相减法求得结论 【详解】解：(1)依题意，随机地抽取一个餐盒得到 B 餐盒的概率为 1 4 ，用表示“抽取的 5个餐盒中 B餐 盒的个数”，则服从二项分布，即 1 5, 4 B ，其中有三个 B餐盒的概率 23 3 5 3145 44512 PC . (2)X的可能取值为：0，1，2，n. 1 0 4 P X ， 313 1 4416 P X ， 1 31 1 44 n P

41、Xn ， 3 4 n P Xn . 所以X的分布列为 X 0 1 2 1n n P 1 4 3 1 4 4 2 31 44 1 31 44 n 3 4 n X的数学期望为： 23 3 13131 ()123 4 44444 E X 1 313 1 444 nn nn 231 3313131 ()122 4444444 n E Xn 1 313 1 444 nn nn -得 231 13 131313131 () 44 444444444 nn E X 231 33 1 44 333333 ()3 1 3 444444 1 4 n nnn E X . 即X的数学期望为 3 33 4 n . 【点睛】本题考查二项分布，随机变量的概率分布列与数学期望，错位相减法求和考查了学生的数据处 理能力，运算求解能力属于中档题