2021届湖南省、河北省新高考联考高三上学期10月质量检测数学试题(教师版含解析)
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1、20202021 学年高三新高考学年高三新高考 10 月质量检测月质量检测 数学数学 一一 选择题选择题 1. 设集合 2 4Ax x,23Bxx,则AB ( ) A. 23xx B. 23xx C. 14xx D. 14xx 【答案】B 【解析】 【分析】 化简集合 A,直接根据并集运算即可. 【详解】 2 422Ax xxx , 所以 222323ABxxxxxx . 故选:B 2. 命题“0,x ,2 1 x ”的否定是( ) A. 0,x ,2 1 x B. 0 0,x, 0 21 x C. 0,x ,2 1 x D. 0 0,x, 0 21 x 【答案】B 【解析】 【分析】 利用全
2、称命题的否定变换形式即可求解. 【详解】命题“(0)x ,2 1 x ”, 则命题的否定为: 0 (0)x, 0 2x 1 故选:B 【点睛】本题考查了全称命题的否定形式,需熟记含有一个量词的否定变换形式,属于基础题. 3. 我们知道, 人们对声音有不同的感觉, 这与声音的强度有关系.声音的强度常用I(单位: 瓦/米 2, 即 2 / mW ) 表示, 但在实际测量时, 声音的强度水平常用L(单位: 分贝)表示, 它们满足换算公式: 0 10lg I L I (0L, 其中 122 0 1 10/ mIW 是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降 低 10 分贝
3、,则声音的强度应变为原来的( ) A. 1 5 B. 1 100 C. 1 10 D. 1 20 【答案】C 【解析】 【分析】 设该小区内公共场所声音的强度水平为 1 L, 2 L,相应声音的强度为 1 I, 2 I,代入可得选项. 【详解】设该小区内公共场所声音的强度水平为 1 L, 2 L,相应声音的强度为 1 I, 2 I, 由题意,得 12 10LL,即 12 00 10lg10lg10 II II , 解得 21 1 10 II. 故选:C. 【点睛】本题考查函数模型的应用,关键在于理解生活中的数据在数学应用中的表达,属于基础题. 4. 过点1, 3P与圆 22 4xy相切的直线方
4、程是( ) A. 340 xy B. 340 xy C. 340 xy D. 340 xy 【答案】A 【解析】 【分析】 先验证点 P与圆的关系,由圆的切线的性质可求得切线的斜率,由直线的点斜式方程可得选项. 【详解】将点P代入圆的方程得 2 2 134 ,所以点 P在圆上,而3 OP k , 所以过点P的切线斜率为 11 33 k , 则所求切线方程为 1 31 3 xy ,即340 xy. 故选:A. 【点睛】本题考查圆的切线方程,关键在于由圆的切线的性质得出切线的斜率,属于基础题. 5. 已知函数 2 2 log,2 log4,2 x x f x xx ,若函数 yf xk有两个零点,
5、则k的取值范围是( ) A. ,2 B. ,1 C. 2, D. 1, 【答案】D 【解析】 【分析】 作出函数的图象,根据数形结合的思想可得选项 【详解】由函数 2 logyx与 2 log4yx的图象关于直线2x对称, 可得 f x的图象如图所示, 所以当1k 时,直线yk与函数 yf x的图象有两个交点. 故选:D. 【点睛】本题考查函数的零点问题之求参数的范围,常采用数形结合的思想,属于中档题 6. 张衡(78年139 年)是中国东汉时期伟大的天文学家文学家数学家.他的数学著作有算罔论 ,他曾经 得出结论:圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A,B
6、,若 线段AB的最小值为31,利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为( ) A. 30 B. 10 10 C. 12 10 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】 设正方体的棱长为a,正方体的内切球半径为 2 a r ,正方体的外接球半径 3 2 Ra,再已知条件和球的 表面积公式可得选项. 【详解】设正方体的棱长为a,正方体的内切球半径为 2 a r , 正方体的外接球半径R满足: 2 2 2 2 22 a Ra ,则 3 2 Ra . 由题意知: 3 31 22 a Rra,则2a,3R , 该正方体的外接球的表面积为12, 又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五,即 2 5 1
7、68 ,所以10, 所以外接球的表面积为12 10. 故选:C. 【点睛】本题考查正方体的外接球,内切球的相关计算,以及数学文化,属于中档题. 7. 已知双曲线 2 2 2 :10 y C xb b 的左右焦点分别为 1 F, 2 F, 过 2 F的直线分别交双曲线C的两条渐近 线于点M,N两点.若点M是线段 2 F N的中点,且 12 NFNF ,则b( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知条件判断出双曲线渐近线的倾斜角为60,由此求得b的值. 【详解】因为OM是 12 NFF的中位线,所以 1 /OM NF, 又由 12 NFNF ,得 2
8、OMNF,从而 2 ONF是等腰三角形, 而 21 MOFNOF, 所以 21 60MOFMONNOF, 即渐近线ybx的倾斜角为60,因此tan603b . 故选:D 8. 已知定义在R上的函数 f x,都有 1f xfx,且函数1f x是奇函数,若 11 42 f , 则 2019 4 f 的值为( ) A. 1 B. 1 C. 1 2 D. 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 利 用 函 数1f x是 奇 函 数 和 1fxfx可 得 函 数 f x的 周 期 为2 , 然 后 可 得 2019331 504 4444 ffff ,然后再结合条件可得出结果. 【详解】因为函数1f x
9、是奇函数,所以11fxf x , 又 1f xfx,所以 1f xf x, 所以 21 f xf xf x, 所以函数 f x的周期为 2,所以 2019331 504 4444 ffff . 因为 1551 11 4444 ffff , 所以 111 442 ff ,所以 2 2019 4 1 f . 故选:D 二二 多选题多选题 9. 已知0ab,0cd ,则下列不等式成立的是( ) A. acbd B. ab dc C. cd abab D. a ba b cd 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据不等式的基本性质,可判定 A、B 正确,根据指数函数和幂函数的单调性,可判定 C 错误
10、,D正确. 【详解】由0ab,0cd,根据不等式的性质,可得acbd ,所以 A 是正确的; 由0ab,0cd,可得0,cdacbd, 则0 abacbd dccd ,可得 ab dc ,所以 B 正确; 取 1 4 a , 1 2 b ,则 3 0,1 4 ab,从而 33 44 cd ,所以 C错误; 由幂函数 a b yx ,在0,上是增函数, 则由0cd,即得 a ba b cd ,则 D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质,以及幂函数的单调性的应用,其中解答中熟记不等式的基本 性质,以及合理应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
11、10. 已知函数 sin 2 6 f xx ,则下列结论正确的是( ) A. f x的最小正周期为 B. f x的图象关于直线 7 6 x 对称 C. f x在 , 4 6 单调递增 D. 4 yf xfx 的最小值为 2 【答案】ABD 【解析】 分析】 由正弦函数的周期公式可判断 A;代入得函数 f x有最小值,可判断 B;由 , 4 6 x 得 2 2, 636 x ,可判断 C;根据三角恒等变换可判断 D. 【详解】 f x的周期为 2 2 ,故 A正确; 7 6 x 时, 5 2 62 x ,此时 f x有最小值, f x图象关于 7 6 x 对称,B正确; , 4 6 x 时, 2
12、 2, 636 x , f x在 , 4 6 上不单调,C错误; sin 2cos 22sin 2 46612 yf xfxxxx ,故 D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查正弦函数的周期性、单调性、对称性、以及最值,属于基础题. 11. 朱世杰是元代著名数学家,他所著的算学启蒙是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.算学 启蒙中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有 100 根相同的圆形铅笔, 小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于 2,且从最下面一层开 始,每一层比上一层多 1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数
13、可以是( ) A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】BD 【解析】 【分析】 依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为 1 a,公差即每一层比上一层多的根数为 1d ,设一共放2n n层,利用等差数列求和公式,分析即可得解. 【详解】依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为 1 a,公差为1d ,设一共放 2n n层,则总得根数为: 11 11 100 22 n n ndn n Snana 整理得 1 200 21an n , 因为 1 a N,所以n为 200的因数, 200 12n n 且为偶数, 验证可知5,8n 满足题意. 故选:BD. 【
14、点睛】关键点睛:本题考查等差数列的求和公式,解题的关键是分析题意,把题目信息转化为等差数列, 考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,属于基础题. 12. 在正方体 1111 ABCDABC D中,E,F,G分别为BC, 1 CC, 1 BB的中点,则( ) A. 1 DDAF B. 1 /AG平面AEF C. 异面直线 1 AG与EF所成角的余弦值为 10 10 D. 点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的 2 倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由 11 /DD A A, 1 A A与AF不垂直, 由此可判断 A; 取 11 BC的中点Q, 连接GQ, 1 AQ, 由条件可知:
15、/GQ EF, 1 /AQ AE,根据线面平行的判定和面面平行的判定和性质可判断 B;异面直线 1 AG与EF所成的角为 1 AGQ或其补角, 求解三角形可判断 C; 连接GC, 与FE交于O(也是GC与平面AEF的交点), 连接GF, 设点G与点C到平面AEF的距离分别为 1 h, 2 h,由平面几何的性质可判断 D. 【详解】由于 11 /DD A A,而 1 A A与AF不垂直,因此异面直线 1 DD与AF不能垂直,则 A错误; 取 11 BC的中点Q,连接GQ, 1 AQ, 由条件可知:/GQ EF, 1 /AQ AE,所以/GQ平面AEF, 1 /AQ平面AEF, 又 1 GQAQQ
16、,EFAEE,所以平面 1 /AGQ平面AEF, 又因为 1 AG 平面 1 AGQ,所以 1 /AG平面AEF,则 B 正确; 异面直线 1 AG与EF所成的角为 1 AGQ或其补角, 设正方体的棱长为 2,则 11 5AGAQ,2QG , 由余弦定理知 1 10 cos 10 AGQ,则 C正确; 对于 D,连接GC,与FE交于O(也是GC与平面AEF的交点), 连接GF,设点G与点C到平面AEF的距离分别为 1 h, 2 h, 则 1 2 2 hGOGF hOCEC , 所以点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的 2倍,则 D正确. 故选:BCD 【点睛】本题考查空间中的线线垂
17、直的判断,线面平行,面面平行的判定和性质,以及异面直线所成的角, 点到面的距离,属于中档题 三三 填空题填空题 13. 在ABC中, 0,2AB , 3,1CB ,则BAC的大小为_. 【答案】 3 【解析】 【分析】 先求得AC,然后判断三角形ABC是等边三角形,由此求得BAC. 【详解】由题意,得 0,23,13,1ACABBCABCB . 因为2ACABBC, 所以ABC为正三角形,从而 3 BAC. 【点睛】本小题主要考查向量坐标、模的运算,属于基础题. 14. 已知0 x, 0y ,且420 xxyy,则4xy的最小值为_. 【答案】8 【解析】 【分析】 由已知条件得出 21 1
18、2yx ,再将代数式4xy与 21 2yx 相乘,展开后利用基本不等式可求得4xy的 最小值. 【详解】由420 xxyy,得 421 1 22 xy xyyx , 则 2188 4428 2 44 22 xyxy yxyxy xy x xy ,当且仅当1x ,4y 时等号成立. 因此,4xy的最小值为8. 故答案为:8. 【点睛】本题考查利用1的应用求代数式的最值,考查计算能力,属于基础题. 15. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施, 稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥 上的摩天轮,其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图,永乐桥摩天轮的直径为110m,到
19、 达最高点时,距离地面的高度为120m,能看到方圆40km以内的景致,是名副其实的“天津之眼”.实际上, 单从高度角度来看,天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有 48 个座 舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30min. 游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转到mint后距离地面的高度为mH,则转到10min后距离地面的高度为 _m,在转动一周的过程中,H关于t的函数解析式为_. 【答案】 (1). 185 2 (2). 55cos65 15 Ht ,030t . 【解析】 分析】 借助三角函数模型,设sinHAtk,以
20、轴心O为原点,与地面平行的直线为x轴,建立直角坐 标系,由直径求出A,初始位置求出,角速度求出,直径和最高点离地高度求出k,即可求解 【详解】如图,设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心O为原点,与地面平行的直线为x轴,建立直 角坐标系. 设0mint 时,游客甲位于点0, 55P,以OP为终边的角为 2 ; 根据摩天轮转一周大约需要30min, 可知座舱转动的角速度约为 min 15 rad, 由题意可得 55sin6555cos65 15215 Htt ,030t . 当10t 时, 185 55cos1065 152 H . 故答案: 185 2 ; 55cos65 15 Ht ,030
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