2021届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考数学试题（教师版含解析）

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1、湖北省部分重点中学湖北省部分重点中学 2021 届高三第一次联考高三数学试卷届高三第一次联考高三数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 个小题个小题, ,每小题每小题 5 分分, ,共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1. 已知复数 1 34 z i ，则下列说法正确的是( ) A. 复数z的实部为 3 B. 复数z的虚部为 4 25 i C. 复数z的共轭复数为 34 2525 i D. 复数的模为 1 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用复数的基本概念得选项. 【详解】 13434

2、34252525 i zi i ， 所以z的实部为 3 25 ，虚部为 4 25 ， z的共轭复数为 34 2525 i，模为 22 341 25255 ， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目. 2. 已知集合2, 1,1,2,4A ， 2 |log1,By yxxA，则AB ( ) A. 2, 1,1 B. 1,1,2 C. 1,1 D. 2, 1 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出集合1,0,1B ，再求AB即可. 【详解】因为2, 1,1,2,4A ，所以 2 |log1,1,0,1By yxxA . 所以1,1AB . 故选：C 3. 已知, a

3、b是平面向量,如果 6,3,22ababab,那么a与b的数量积等于( ) A. 2 B. 1 C. 2 D. 3 2 【答案】A 【解析】 试题分析：由题设可得,即,也即,故,应选 A. 考点：向量乘法运算. 4. 1614 年纳皮尔在研究天文学的过程中， 为了简化计算而发明对数； 1637 年笛卡尔开始使用指数运算； 1707 年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数， 对数的发明先于指数， 这已成为历史珍闻.若2.5 x e ， lg20.3010，lg0.4343e ，根据指数与对数的关系，估计x的值约为( ) A. 0.4961 B. 0.6941 C. 0.9164 D. 1

4、.469 【答案】C 【解析】 【分析】 利用对数式与指数式的互化可得2.5xln，再利用换底公式即可求出x的近似值 【详解】解：2.5 x e ， 5 2.552122 2 2.50.9164 lg lglglglg xln lgelgelgelge ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了换底公式的应用； 5. 已知, a b是两条不同的直线， , 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A. 若a，b，/ab，则/ / B. 若/ab，a，则b / C. 若，a，a b rr ，则b D. 若,ab ，则a b rr 【答案】D 【解析】 【分析】 根据面面

5、关系、线面关系的判定定理及性质定理一一判断即可； 【详解】解：对于 A：若a，b，/ab，则/ /或与相交，故 A错误； 对于 B：若/ab，a，则b与平行或b，故 B错误； 对于 C：若，a，a b rr ，则b或b与相交或平行，故 C 错误； 对于 D：若,ab ，如图 设bB，过B作BCll，因为，BC，所以BC，所以/BC a，因为 bBC，所以ba，故 D 正确； 故选：D 6. 若 3 ,2cos2sin 24 aa ，则sin2的值为 ( ) A. 7 8 B. 7 8 C. 1 8 D. 1 8 【答案】A 【解析】 【分析】 由三角恒等变换可得 2 cossin 4 ，再由平

6、方关系即可得解. 【详解】因为2cos2sin 4 ， 所以 22 2 cossinsincoscossin 44 ， 所以 2 2 cossincossincossin 2 ， 因为 3 , 2 a ，所以cossin0，所以 2 cossin 4 ， 所以 2 22 1 cossinsincos2sincos1 sin2 8 ， 所以 7 sin2 8 . 故选：A. 7. 若函数 2 sincosf xaxaxx是R上的增函数，则实数a的取值范围是( ) A. 3 , 3 B. 3 , 3 C. , 3 D. 3, 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数 ( )f x在R上为增函数，可

7、得( )0fx 在 R 上恒成立，即 min ( )0fx恒成立，根据正弦型函数的 值域，即可求得 a的范围 【详解】因为 2sincosf xaxaxx， 所以 2 ( )2cossin1sin()2 ,tanfxaaxxaxaa 因为 ( )f x在R上的增函数， 所以( )0fx 在 R 上恒成立， 所以 2 min ( )120fxaa ，即 2 21aa ， 所以 22 0 41 a aa ，解得 3 3 a ， 故选：B 8. 对于函数 2 sincosf xx x，下列关于说法中正确的是( ) A. 图像关于直线 4 x 对称 B. 在, 4 4 上单调递增 C. 最小正周期为

8、D. 在0,上有两个极值点 【答案】D 【解析】 【分析】 A. 由 2 fx 与 f x是否相等判断； B. 根据当, 4 4 x 时， f x是偶函数判断； C. 由 fx 与 f x是否相等判断； D.0,x时，由 2sin cossin2f xxxx判断. 【详解】 A. 2 sincos2 cossin 222 fxxxxxf x ， 图像不关于直线 4 x 对称， 故错误； B. 当 , 4 4 x 时， 2 sincos2 sincosfxxxxxf x， f x是偶函数，不可能单 调，故错误； C. 2 sincos2 sincosfxxxxxf x ， f x最小正周期不是，

9、故错误； D.0,x时， 2sin cossin2f xxxx，20,2x，所以 f x有两个极值点，故正确； 故选：D 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求要求.全都选对的得全都选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 已知数列 n a满足： 1 2a ，当2n时， 2 1 212 nn aa ，则关于数列 n a的说法正确的是 ( ) A. 2 7a B. 数列 n a为递增数列 C. 2 21

10、n ann D. 数列 n a为周期数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由 2 1 212 nn aa ，变形得到 1 221 nn aa ，再利用等差数列的定义求得 n a，然后逐项 判断. 【详解】当2n时，由 2 1 212 nn aa ， 得 2 1 221 nn aa ， 即 1 221 nn aa ，又 1 2a ， 所以2 n a 是以 2 为首项，以 1 为公差的等差数列， 所以22(1) 11 n ann ， 即 2 21 n ann，故 C 正确； 所以 2 7a ，故 A正确； 2 12 n an，所以 n a为递增数列，故正确； 数列 n a不具有周期性，故 D

11、错误； 故选：ABC 10. 以下说法，错误的是( ) A. 0 xR，使 0 0 1 x ex成立 B. R，函数 sin 2f xx都不是偶函数 C. ,a bR ab是a ab b的充要条件 D. ABC中，“sinsincoscosABAB”是“ 2 C ”的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】 A根据特称命题的定义进行判断， B根据全称命题的定义进行判断， C根据充分条件和必要条件的定义进行判断， D根据充分条件和必要条件的定义进行判断 【详解】解：对于 A：设 1 x f xex ，则 1 x fxe，当0 x时 0fx，即 f x在0, 上单调递增，当0 x时 0fx ，即

12、 f x在,0上单调递减， 00f，所以10 x ex 恒成立，即1 x ex恒成立，故 A错误； 对于 B：当 2 时， sin 2cos2 2 fxxx 为偶函数，故 B错误； 对于 C：设 2 2 ,0 ( ) ,0 xx f xx x xx ，则函数 ( )f x为增函数，则，ab 是|a ab b的充要条件，故 C正确， 对于 D：在ABC中， 2 C ，则 2 AB ， 则由sinsinsin()sin()coscos 22 ABBABA ，则必要性成立； sinsincoscosABAB， sincoscossinAABB， 两边平方得 2222 sin2sincoscossin

13、2sincoscosAAAABBBB， 12sincos12sincosAABB ， sin2sin2AB， 则22AB或22AB， 即AB或 2 AB ， 当AB时，sinsincoscosABAB等价为2sin2cosAA， tan1A，即 4 AB ，此时 2 C ， 综上恒有 2 C ，即充分性成立， 综上ABC中，“sinsincoscosABAB”是“ 2 C ”的充要条件，故D正确， 故选：AB 11. 若函数 32 f xxaxbxc(其中, ,a b cR)的图象关于点1,0M对称，且 01f，函数 ( ) fx 是 f x的导函数，则下列说法中正确的有( ) A. 函数1y

14、f x是奇函数 B. 110f xfx C. 1x 是函数 yfx的对称轴 D. 10 f 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据题意，结合图象平移法则及奇函数的性质，即可判断 A 的正误；利用奇函数的定义，即可判断 B 的正 误，根据 ( )f x图象关于点 1,0M对称，代入特殊值，可求得 a，b，c的值，即可求得 ( )f x的解析式，求 导可判断 C、D的正误，即可得答案. 【详解】对于 A：因为 ( )f x图象关于点 1,0M对称， 所以(1)f x的图象关于点(0,0)对称， 又因为xR，所以1yf x是奇函数，故 A 正确； 对于 C：因为(0)1f，所以 c=1 又因为 (

15、)f x图象关于点 1,0M对称，所以 (1)0 (2)(0) f ff ， 所以 10 8421 abc abc ，解得3,1ab ， 所以 32 ( )31f xxxx， 2 ( )361fxxx， 所以 yfx 对称轴为1x ，故 C正确； 对于 B：因为1yf x是奇函数， 所以(1)(1)fxf x ，即(1)(1)0f xfx ， 110f xfx 故 B 错误， 对于 D：(1)36 12 f ，故 D 错误. 故选：AC 【点睛】解题的关键是根据题意，结合左加右减的原则，可得1yf x为奇函数，再根据奇函数的定 义，结合特殊值，可求得 ( )f x的解析式，再进行求解，综合性较

16、强，属中档题. 12. 我国古代九章算术中将上、下两个面为平行矩形的六面体成为刍童.如图刍童ABCDEFGH有外 接球，且5,7,4,2ABADEFEH，平面ABCD与平面EFGH的距离为 1，则下列说法中正确 的有( ) A. 该刍童外接球的体积为36 B. 该刍童为棱台 C. 该刍童中ACEG、在一个平面内 D. 该刍童中二面角BADH的余弦值为 5 5 【答案】AD 【解析】 【分析】 作出图形，设球心为 O，上下底面的中心为 21 ,O O，A.在 1 OAO中， 222 11 OAAOOO，在 2 OEO中， 2 22 21 1OEEOOO，两式求得半径即可判断；B.根据棱台的几何特

17、征判断；C.根据根据棱台的几何特 征判断；D.过点 F作FM 平面 ABCD，FNBC，连接 MN，由FNM为二面角的平面角求解判断. 【详解】如图所示： 设球心为 O，上下底面的中心为 21 ,O O， 在 1 OAO中， 222 11 OAAOOO，即 2 22 1 2 2ROO， 在 2 OEO中， 2 22 21 1OEEOOO，即 2 2 2 1 51ROO， 两式解得 1 1OO ， 所以3R ，则 3 4 36 3 VR ，故 A正确； 若该刍童为棱台，则满足 EHEF ADAB ,而 24 , 57 EHEF ADAB ，故 B 错误； 若该刍童中ACEG、在一个平面内，则/A

18、CEG，则 EHEF ADAB ,而 24 , 57 EHEF ADAB ，故 C 错误； 过点 F作FM 平面 ABCD，FNBC，连接 MN，则FNM为二面角的平面角， 易知 FM=1， 15 , 22 MNFN，所以 5 cos 5 MN FNM FN ，故 D正确； 故选：AD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 函数 lnf xxx，在点,P e e处的切线方程为_. 【答案】 2yxe 【解析】 【分析】 由导数的几何意义求出斜率，再由点斜式写出方程. 【详解】( )lnf eeee ( )ln1fxx，( )

19、ln12fee 在点,P e e处的切线方程为2()yexe ，即2yxe 故答案为： 2yxe 14. 在ABC中，75 BC ，2BC ，则AB _. 【答案】62 【解析】 【分析】 首先根据题意得到30A，再利用正弦定理即可得到答案. 【详解】因为75 BC，所以180757530A， 所以 2 sin3062 4 AB ，解得62AB . 故答案为：62 15. 已知三棱锥PABC的四个表面是都是直角三角形，且PA 平面ABC， 2,4PAABAC ，则 该三棱锥的体积为_. 【答案】 4 3 3 【解析】 【分析】 首先说明ABBC，再根据 1 3 P ABCABC VPA S 计

20、算可得； 【详解】解：因为三棱锥PABC的四个表面是都是直角三角形，且PA 平面ABC，AB平面ABC， AB平面ABC，BC平面ABC， 所以PAAB，PAAC，PABC 若ACAB，则 22 2 5BCACAB ， 22 2 5PCPAAC ， 22 2 2PBPAAB ， 则PBC不为直角三角形，故ABBC 因为PAABA，所以BC面PAB，PB 面PAB，所以BCPB， 所以 22 2 3BCACAB 所以 1 2 2 32 3 2 ABC S 所以 114 3 2 2 3 333 P ABCABC VPA S 故答案为： 4 3 3 16. 若正实数 , x y满足 2 9xyxy，

21、则2xy的最小值为_. 【答案】2 3 【解析】 【分析】 根据 223 90 x yxy ，利用一元二次方程的解法结合0 x，得到 2 2 136 22 y xy y ，进而得到 2 2 36 2xyy y ，利用基本不等式求解. 【详解】因为正实数 , x y满足 2 9xyxy， 所以 223 90 x yxy ， 解得 362 2 22 36136 222 yyyy xy yy ， 因为0 x， 所以 2 2 136 22 y xy y ， 所以 22 22 3636 222 3xyyy yy 当且仅当 6 3,6 2 xy，取等号， 所以2xy的最小值为2 3 故答案为：2 3 【点

22、睛】关键点点睛：本题关键是利用方程思想，由条件解得 x，将问题转化为 2 2 36 2xyy y 解决. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，且cossinbcAA. (1)求角C； (2)若2 5c ，D为边BC的中点， 在下列条件中任选一个， 求AD的长度.条件：ABC的面积2S ， 且BA；条件： 2 5 cos 5 B (注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分) 【答案】(1) 3 4 C ；(2

23、) 13AD . 【解析】 【分析】 (1)由正弦定理结合三角恒等变换可得sincossinsinACCA，进而可得tan1C，即可得解； (2)选择条件：由三角形面积公式可得 4 2ab ，由余弦定理可得 22 220abab ，联立方程组即 可得2a， 2 2b ，再由余弦定理即可得解； 选择条件：由同角三角函数的关系及三角恒等变换可得sinB、sin A，再由正弦定理可得2a， 2 2b ，结合余弦定理即可得解. 【详解】(1)由cossinbcAA可得sinsincossinsinBCACA， 又sinsinsincoscossinBA CACAC，所以sincossinsinACCA

24、， 由0,A可得sin0A，所以cossinCC即tan1C， 又0,C，所以 3 4 C ； (2)选择条件： 由ABC的面积2S 可得 1 sin2 2 abC ，即 12 24 2 22 abab， 又 222 2coscababC，所以 22 220abab ， 联立得 2 2 2 a b 或 2 2 2 a b ， 又BA，所以2a， 2 2b ， 在ACD中，由余弦定理可得 222 2cosADACCDAC CDC 2 8 1 2 2 2 113 2 ， 所以13AD . 选择条件： 由 2 5 cos 5 B 可得 2 5 sin1 cos 5 BB， 所以 10 sinsins

25、incoscossin 10 ABCBCBC， 在ABC中，由 sinsinsin abc ABC 可得 2 5 1052 1052 ab ， 所以2a， 2 2b ， 所以在ACD中，由余弦定理可得 222 2cosADACCDAC CDC 2 8 1 2 2 2 113 2 ， 所以13AD . 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦、余弦定理及三角恒等变换合理转化题目条件. 18. 数列 n a满足 1 123 231 221 n n aaanann . (1)求数列 n a的通项公式； (2)设 21 n n n b a ， n S为数列 n b的前n项和，求 n S. 【答案】

26、(1)2n n a ；(2) 1 255 2 n n Sn 【解析】 【分析】 (1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式； (2)利用(1)结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和 【详解】解：(1)由题意， 1 2a . 由 1 123 231 221 n n aaanann ， 得 1231 2312222 n n aaanann ， -，得 1 1 2222222 nnn n nannnn ， 所以22 n n an 又因为当1n 时，上式也成立，所以数列 n a的通项公式为2n n a . (2)由题意， 2121 2 n n n nn b a ，所以 123

27、123 35721 2222 nn n n Sbbbb ， 2341 13572121 222222 n nn nn S ， -，得 1232341 1357213572121 2222222222 n nnn nnn S 2341 3111121 2 222222 nn n 1 11 1 22 121 2 1 22 1 2 n n n 1 51 25 22 n n 从而 1 255 2 n n Sn . 【点睛】数列求和的方法技巧 (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和 (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和 (3)分组求和：用于若干个等差或等比数

28、列的和或差数列的求和 19. 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，32 3PABDAB ，且PBPD. (1)证明：平面PAC 平面ABCD； (2)若PAAC，棱PC上一点M满足BMMD，求直线BD与平面ABM所成角的正弦. 【答案】(1)证明见解析；(2) 5 5 【解析】 【分析】 (1)首先根据题意易证POBD，ACBD，从而得到BD 平面PAC，再根据面面垂直的判定即可证 明平面PAC 平面ABCD. (2)首先根据面面垂直的性质得到PA 平面ABCD，易证ABC为等边三角形，取BC的中点E，以A 为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，再利用向量法求解

29、线面成角即可. 【详解】(1)因为PBPD，O为BD中点，所以POBD， 又因为底面ABCD是菱形，所以ACBD. 所以 POBD ACBDBD POACO 平面PAC， 又因为BD 平面ABCD，所以平面PAC 平面ABCD. (2)因为平面PAC 平面ABCDAC，PAAC， 所以PA 平面ABCD. 又因为底面ABCD是菱形，所以AOBO. 2AB ，3BO ，所以 2 2 231AO ，即2AC . 所以ABC为等边三角形. 取BC的中点E，以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 0,0,0A，3, 1,0B，0,2,0D，0,0,2 3P，3

30、,1,0C， 设 3, 1,2 33 ,2 3CMCP ，01. 所以 3,1,03 ,2 333 ,1,2 3AMACCM ， 33 ,1,2 33, 1,03 ,2,2 3BMAMAB ， 33 ,1,2 30,2,033 , 1,2 3DMAMAD ， 因为BMMD， 所以 2 333212 30 ， 即 2 8210 ，解得 1 2 或 1 4 (舍去). 所以 3 1 , 3 22 AM ，3, 1,0AB ， 设平面ABM的法向量 , ,nx y z ， 则 31 30 22 30 n AMxyz n ABxy ，令1x ，解得3y ，1z . 所以1, 3, 1n . 3,3,0

31、 BD， 设直线BD与平面ABM所成角为， 则 33 3 5 sin 51 3 139 . 【点睛】关键点点睛：本题主要考查面面垂直的证明和线面成角的计算，根据第一问结合题意建立空间直 角坐标系和设出CM CP ，并解出的值为解题的关键，属于中档题. 20. 已知A是椭圆 22 :1 43 xy E的左顶点，斜率为 0k k 的直线交E于A M、两点，点N在E上， 且 0AM AN . (1)当AMAN时，求AMN的面积； (2)当198AMAN时，求k的值. 【答案】(1)144 49 ；(2)2. 【解析】 【分析】 (1)因为AMAN，由椭圆的对称性可得1k ，可求得直线 AM 的方程，

32、与椭圆联立，可解得 M 点的 坐标，代入面积公式，即可求解； (2)设直线 AM的方程为(2)(0)yk xk，与椭圆联立，利用韦达定理，可求得 1 x的表达式，代入弦长 公式，可求得AM，同理可求得AN，根据题意，列出方程，即可求得 k值. 【详解】(1)设 11 ( ,)M x y，由题意知 1 0y ，( 2,0)A ， 因为AMAN，由椭圆的对称性可得1k ，所以直线 AM的方程为2yx， 将 2xy 代入 22 1 43 xy 中，可得 2 7120yy， 解得 12 7 y 或 y=0(舍)，即 1 12 7 y ， 所以AMN的面积 11212144 2 27749 S . (2

33、)设直线 AM的方程为(2)(0)yk xk， 联立方程 22 (2) 1 43 yk x xy ，得 2222 (34)1616120kxk xk， 2 222 (16)4(34)(1612)90kkk 所以 2 1 2 1612 ( 2) 34 k x k ，即 2 1 2 68 34 k x k ， 所以 2 2 1 2 12 1 12 34 k AMkx k ， 设直线 AN方程为 1 (2)yx k ，同理可求得 2 2 121 34 kk AN k ， 由198AMAN，得 22 198 3434 k kk ，即 32 325724760kkk， 即 2 (2)(32738)0kk

34、k， 因为0k ，所以 2 327380kk，所以2k . 【点睛】 解题的关键联立直线与曲线方程， 利用韦达定理， 求得 1 x的表达式， 灵活运用弦长公式， 求得AM， AN的表达式，即可得答案，难点在于解三次方程时，优先选择分解因式，可大大简化计算，提高正确率， 属中档题. 21. 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患.目前，国际上常用身体质量指 数(英文为BodyMassIndex，简称BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 22 kg m BMI 体重（单位：） 身高 （单位：） 中国成人的BMI数值标准为：18.5BMI 为偏瘦；18.523

35、.9BMI为正 常；2427.9BMI为偏胖；28BMI 为肥胖.某地区随机调查了 6000名 35 岁以上成人的身体健康状况， 其中有 1000名高血压患者，得到被调查者的频率分布直方图如图： (1)求被调查者中肥胖人群的BMI平均值； (2)根据频率分布直方图，完成下面的 22列联表，并判断能有多大(百分数)的把握认为 35 岁以上成人高 血压与肥胖有关？ 肥胖 不肥胖 总计 高血压 非高血压 总计 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd . 参考数据： 2 P Kk 0.25 0.10 0.050 0.010 0.001 k 1.323 2.706

36、3 841 6.635 10.828 【答案】(1)29.8；(2)能有99.9%的把握认为 35岁以上成人高血压与肥胖有关； 【解析】 【分析】 (1)利用频率分布直方图，填写分布表利用频率分布直方图求解被调查者中肥胖人群的BMI平均值 (2)求出 2 K ，对照参考数据，判断有多大(百分数)的把握认为 35 岁以上成人高血压与肥胖有关 【详解】(1)解：由图可知，1000 名高血压患者中： BMI 28，30) 30，32) 32，34) 人数 0.1 2 1000200 0.05 2 1000100 0.0252 100050 5000名非高血压患者中： BMI 28，30) 30，32

37、) 32，34) 人数 0.0825000800 0.0325000300 0.0052500050 被调查者中肥胖人群的BMI平均值 (200800)29(100300)31(5050)33 29.8 2001005080030050 (2)由(1)及频率分布直方图知，1000 名高血压患者中有20010050350人肥胖，5000名非高血压患者 中有800300501150人肥胖，所以可得下列列表： 肥胖 不肥胖 总计 高血压 350 650 1000 非高血压 1150 3850 5000 总计 1500 4500 6000 由列联表中数据得 2 K 的观测值为 2 6000 (350

38、3850 1150 650) 6410.828 1000 5000 15004500 k ， 所以能有99.9%的把握认为 35 岁以上成人高血压与肥胖有关 【点睛】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个 结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可 能对统计计算的结果作出错误的解释 22. 已知函数 xa f xax(aR且1a )定义域为0,. (1)若 f x在0,上有且只有一个零点，求实数a的值； (2)当ae时，若 2 1 e f xxx 在0,上恒成立，求整数的最大值. (注：其中e是自然

39、对数的底数， 0.51.51.6 1.65,2.72,4.48,4.95eeee) 【答案】(1)ae；(2)1 【解析】 【分析】 (1)令 0 xa f xax 可得 xa ax，两边同时取对数得 lnlnxaax，即 lnlnax ax 有且只有一个解，设 ln x h x x ，求导后得 ln x h x x 单调性即可得 h x的大致图象，数形结合即可求解； (2)当ae时， xe f xex， 2 1 xee xxex 等价于 2 1 x e x 在0,上恒成立，令 2 1 x e g x x ，则 ming x，利用导数求 g x单调性和最小值即可求解 【详解】(1)因为 xa

40、f xax，令 0 xa f xax 可得 xa ax， 两边同时取对数得lnlnxaax，即 lnlnax ax 有且只有一个解， 设 ln x h x x ，则 2 1 ln x h x x ，令 0h x 得0 xe，令 0h x 得xe， 所以 ln x h x x 在0,e上单调递增，在, e 单调递减， max 1 h xh e e 若 lnlnax ax 有且只有一个解，则 ln1a ae 或 ln 0 a a ，解得：ae或01a(舍) 故ae. (2)当ae时， xe f xex， 所以 2 1 xee xxex 等价于 2 1 x e x 在0,上恒成立， 令 2 1 x

41、e g x x ，则 ming x， 3 22 x ex gx x ， 设 22 x exh x，则 1 x h xex， 所以 22 x exh x在0,1上单调递减，在1,单调递增， 00h， 210he ， 1.5 20.1.550eh， 1.6 20.1.640eh， 所以存在 0 1.5,1.6x ，使得 0 00 220 x exh x，即 0 0 2 2 x e x ， 当 0 0,xx时， 0h x ，此时 3 22 0 x ex gx x ， 当 0, xx时， 0h x ，此时 3 22 0 x ex gx x ， 所以 2 1 x e g x x 在 0 0,x单调递减，在 0, x 单调递增， 所以 0 22 000 0 0 min 0 2 2 11 2 1 x e x x g xg x xxx ， 因为 0 2 00 121xxx 在 0 1.5,1.6x 单调递减， 所以 00 16 3 , 25 2 4 xx ，所以 0 min 0 2 14 25 , 3 16 g x xx ， 所以整数的最大值为1. 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围 若不等式,0f xxD(是实参数)恒成立，将,0f x转化为 g x或 g xxD 恒成立，进而转化为 maxg x或 min g xxD，求 g x的最值即可.