2021届河北省石家庄市高三上学期教学质量检测（一）数学试题（教师版含解析）

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1、2021 届石家庄市高中毕业班教学质量检测届石家庄市高中毕业班教学质量检测( (一一) ) 数学数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合1,0,1,2A ， 11Bxx ，则AB ( ) A. 1,1 B. 1,0,1 C. 0,1 D. 0,1,2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用交集的定义可求得集合AB. 【详解】集合1,0,1,2A ，11Bxx ，则1,0,1AB . 故选：B. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2. 若(1

2、2 ) 2zii，则复数z ( ) A. 1 B. i C. 1 D. i 【答案】D 【解析】 【分析】 本题根据复数的除法运算直接计算即可. 【详解】解：因为(1 2 )2zii，所以 2(2)(12 )5 12(12 )(12 )5 iiii zi iii 故选：D 【点睛】本题考查复数的除法运算，是基础题. 3. 北京冬奥会将于 2022年 2月 4 日到 20 日在北京和张家口举行为纪念申奥成功，中国邮政发行北京 申办 2022 年冬奥会成功纪念 邮票， 图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、 冬残奥会会徽“飞跃”、 冬奥会吉祥物“冰 墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”现从一套

3、 5 枚邮票中任取 3 枚，则恰有 1 枚吉祥物邮票 的概率为( ) A. 3 10 B. 1 2 C. 3 5 D. 7 10 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出从一套 5 枚邮票中任取 3 枚的不同取法有 3 5 10C 种，再求出恰有 1 枚吉祥物邮票的情况有 11 32 6CC种，最后计算恰有 1 枚吉祥物邮票的概率即可 【详解】解：从一套 5枚邮票中任取 3枚的不同取法有 3 5 10C 种， 恰有 1 枚吉祥物邮票的情况有 11 32 6CC种， 则恰有 1枚吉祥物邮票的概率 63 105 ， 故选：C 【点睛】本题考查实际问题中的组合计数问题、利用古典概型计算概率，是基础题.

4、 4. 已知过点(1,1)的直线 l与圆 22 40 xyx交于A、B两点，则AB的最小值为( ) A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据题意求出圆心的坐标和半径，再求圆心到定点的距离，最后求AB的最小值 【详解】解：将圆的方程 22 40 xyx化为标准方程 22 (2)4xy， 则圆心为2,0，半径2r =，则圆心2,0到定点1,1的距离为 2， AB最小值为 2 2 2 222 2 . 故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、求弦长的最小值，是基础题. 5. 在边长为 2的等边三角形 ABC 中，若2BDDC，则AD AB ( ) A.

5、 8 3 B. 2 C. 10 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件2BDDC，转化 12 33 ADABBDABAC，再根据数量积公式计算结果. 【详解】 2212 3333 ADABBDABBCABACABABAC， 所以 21212 3333 AD ABABACABABAC AB 1218 2 22 2 3323 . 故选：A 【点睛】本题考查向量数量积，平面向量基本定理，重点考查转化与计算，计算能力，属于基础题型. 6. 原子有稳定和不稳定两种不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成， 这些不稳定的元素在放出 、 等射线后，会转变成稳定的原子，

6、这种过程称之为“衰变”这种不稳定的 元素就称为放射性同位素随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领 域，并取得了显著经济效益假设在放射性同位素钍 234 的衰变过程中，其含量 N(单位：贝克)与时间 t(单 位：天)满足函数关系24 0 ( )2 t N tN ，其中 N0为0t 时钍 234的含量已知 24t 时，钍 234 含量的瞬时 变化率为8ln2，则 120N( ) A. 12 贝克 B. 12 ln2贝克 C. 6 贝克 D. 6 ln2贝克 【答案】A 【解析】 【分析】 由24t 时，钍 234含量的瞬时变化率为8ln2，可求 0 384N ，从而可

7、求 120N. 【详解】解： 24 0 ln2 ( )2 24 t N tN ，所以 00 ln2 1 8ln2,384 242 NN ， 2424 0 ( )2384 2 tt N tN ， 120 24 (120)384 212N (贝克)， 故选：A. 【点睛】考查导数的几何意义以及求函数的值，基础题. 7. 已知 F1、F2分别为双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的左、右焦点，点 A在双曲线上，且F1AF2 60 ，若F1AF2的角平分线经过线段 OF2(O为坐标原点)的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 7 B. 7 2 C. 14 D. 14 2 【答案】B

8、 【解析】 【分析】 首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得 1 AF和 2 AF的值，再结合余弦定理计算离心率. 【详解】不妨设点A在第一象限， 12 F AF的角平分线交x轴于点M，因为点M是线段 2 OF的中点，所以 12 :3:1FMMF ，根据角平分线定理可知 1 2 3 1 AF AF ，又因为 12 2AFAFa，所以 1 3AFa， 2 AFa，由余弦定理可得 2222 1 492 37 2 caaaaa ，所以 2 2 7 4 c a ，所以 7 2 c e a . 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力， 属于

9、中档题型. 8. 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面 ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内 切球表面积之比为( ) A 251 B. 125 C. 15 D. 51 【答案】D 【解析】 分析】 根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内 切球和外接球的半径，计算表面积的比值. 【详解】设点O是三棱柱外接球和内切球的球心，点M是底面等边三角形的中心，点N是底边AB的中 点，连结OM，MN，AM，OA，设底面三角形的边长为a，则 3 3 MNa， 2 3 3 MAa， 因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是

10、内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱 内切球的直径，所以 3 3 OMMNa，即三棱柱内切球的半径 3 3 ra， 2 3 3 AMa，所以 22 15 3 OAOMAMa，即三棱柱外接球的半径 15 3 Ra， 所以内切球的表面积为 22 4 4 3 ra，外接球的表面积 22 20 4 3 SRa， 所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为 22 204 :5:1 33 aa 故选：D 【点睛】本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，在每小题小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求

11、给出的选项中，有多项符合题目要求 9. 设非零实数abc，那么下列不等式中一定成立的是( ) A. 2 abc B. 22 acbc C. cc abac D. ln0 ab ac 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用不等式的性质和特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项 A，设1a ，1b，2c，满足abc， 此时不满足 2 abc，故 A 错误； 对选项 B，因为ab，且0c ，所以 22 acbc，故 B 正确. 对选项 C，设3a ，2b，1c，满足abc， 此时1 c ab，2 c ac，不满足 cc abac，故 C 错误； 对选项 D，因为abc，所以0a ca b ，

12、0 1 ab ac ， 所以ln0 ab ac ，故 D正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查不等式的比较大小，特值法为解题的关键，属于简单题. 10. 记函数 lnf xxx的零点为 0 x，则关于 0 x的结论正确的为( ) A. 0 1 0 2 x B. 0 1 1 2 x C. 0 0 0 x ex D. 0 0 0 x ex 【答案】BC 【解析】 【分析】 分析函数 lnf xxx的单调性，利用零点存在定理可判断 A、B 选项的正误，利用指数与对数的转化 可判断 B、D 选项的正误. 【详解】由于函数 lnf xxx在0,上单调递增，且 11 ln20 22 f ， 110f ，

13、 0 1 1 2 x， 由于 0 x是函数 lnf xxx的零点，则 00 ln0 xx，即 00 ln xx ， 0 0 x xe，即 0 0 0 x ex ，则 00 0 20 xx exe ， 故 A、D选项错误，B、C选项正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用零点存在定理判断零点的取值范围，同时也考查了指数与对数转化的应用，考查计 算能力，属于中等题. 11. 2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解 人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市 2020年 1 月份到 8月份的人们 线上收入和线下收入的数

14、据，并绘制如下的折线图根据折线图，下列结论正确的是( ) A. 该超市这 8 个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值 B. 该超市这 8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是 7月 C. 该超市这 8个月中，每月总收入与时间呈现负相关 D. 从这 8 个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据折线图逐个判断每个选项的正误. 【 详 解 】 对 于A ， 由 折 线 图 可 知 ， 该 超 市 这8 个 月 中 ， 线 上 收 入 的 平 均 值 为 3.5 10.5 12 11.5 10.599.55.5

15、 9 8 ，线下收入的平均值为 12.5345.56.5710.512 7.625 8 ，可知97.625，因此线上收入的平均值高于线下收入的 平均值，故 A 正确； 对于 B，由折线图可知，该超市这 8 个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是 7 月，相差 1 万元，故 B正确； 对于 C，由折线图可知，该超市这 8 个月中，每月总收入与时间呈现正相关，故 C错误； 对于 D，由折线图可知，从这 8 个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们 比较愿意线下消费，故 D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查折线统计图的分析和理解，属于基础题. 12. 动点 P(x，

16、y)在单位圆 x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，24 秒旋转一周已知时间 t0 时，点 P坐标为 31 (,) 22 ，当 t0，24时，记动点 P的横、纵坐标之和 xy 为关于 t(单位：秒)的函数 g(t)，则关于函数 g(t)描述正确的是( ) A. (5)2g B. g(t)在5，17上单调递减 C. g(13)g(21) D. g(t)在区间0，24上有 3 个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据题意表示单位圆上点的横坐标和纵坐标，并表示函数 2sin 1212 g tt ，再依次判断选项. 【详解】由已知条件可知该函数的周期为24T ， 2 12T ， 当0t

17、时， 31 , 22 P ，所以sin 126 yt ， cossin 126126 g ttt 2sin 1212 t ， 52g，故 A正确； 5,17t时， 3 , 121222 t ， 所以 g t在区间5,17上单调递减，所以 B正确； 72 132sin 62 g ， 112 212sin 62 g ， 所以1321gg，故 C正确； 0,24t，则 ,2 12121212 t ， 0g t ， 1212 t 或2，解得：11t 或23t ，只有 2个零点，故 D 不正确. 故选：ABC 【点睛】本题考查三角函数模型的简单综合应用，重点考查读懂题意，三角函数性质的的应用，属于中档

18、题型. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题小题 13. 已知实数 x，y满足 1 20 20 x xy xy ，则2zxy的最大值为_ 【答案】1 【解析】 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再根据可行域求目标函数的最大值即可. 详解】解：由约束条件 1 20 20 x xy xy ，画出可行域，如图， 有题意 1 2 x yx ，解得点 (1,1)B ，根据图象可得， 当目标函数过点 (1,1)B 时，2zxy取得最大值2 1 1=1z ， 故答案为：1. 【点睛】本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值，是基础题. 14. 已知 ( ,) 2 ，2sin21cos2，则

19、cos_ 【答案】 5 5 【解析】 【分析】 根据二倍角公式化简为sin2cos，再根据 22 sincos1，得到cos的值. 【详解】2sin2cos21， 即 2 4sincos2sin ，sin2cos ， 又因为 22 sincos1， 由可知， 2 5cos1，又因为 , 2 ， 所以 5 cos 5 . 故答案为： 5 5 【点睛】本题考查二倍角公式，同角三角函数基本关系式，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题 型. 15. 设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 A(0，2)，线段 FA 与抛物线交于点 B，且 2FBBA ，则|BF| _ 【答案】 8 3 9 【

20、解析】 【分析】 设( , )B x y， 根据 2FBBA 可得出用p表示的B点坐标， 再代入抛物线方程可得出p值， 然后求得BF、两 点坐标，利用两点之间的距离公式可得答案. 【详解】由题得(,0) 2 p F0)p （，设( , )B x y，则(, ) 2 p FBxy ， 22(,2)(2 ,42 )BAxyxy ， 由 2FBBA 得 2 2 42 p xx yy 解得 6 4 3 p x y ， 代入椭圆方程得 2 4 2 36 p p ，解得 4 3 3 p ， 所以 2 3 4 (, ) 93 B， 2 3 (,0) 3 F， 所以 2 2 2 32 348 3 | 9339

21、 FB ， 故答案为： 8 3 9 . 【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系. 16. 设数列an的前 n项和为 Sn，且 Snan1，记 bm为数列an中能使 * 1 () 21 n am m N成立的最小项， 则数列bm的前 99 项之和为_ 【答案】 105 32 【解析】 【分析】 首先根据 n S与 n a的关系， 得到数列 n a的通项公式， 再根据规律找到满足条件能使 1 21 n a m * mN 成立的最小项，并对于不同的m值，计算满足条件的个数，再求和. 【详解】因为1 nn Sa，所以 1 1 2 a ，所以当2n时， 11 11 nnnnn a

22、SSaa ， 即 1 2 nn aa ，所以 1 2 n n a ，因为 m b为数列 n a中能使 1 21 n a m * mN 成立的最小项，所以 11 221 n m ，所以可得当1m时， 1 1 2 b ，当2m时， 2 2 1 2 b ，当3m时， 3 2 1 2 b ，当4m时， 4 3 1 2 b ， 99 7 1 2 b，所以数列 m b的前 99 项之和为： 25 23677 1111111105 22236636 222222232 . 故答案为： 105 32 【点睛】 本题考查已知 n S和 n a的关系求数列的通项公式， 以及数列新定义， 分组求和， 重点考查逻辑推

23、理， 计算能力，属于中档题型，本题的难点是理解题意，对于每一个m值，计算满足条件个数. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在 21 cos 7 C ，asinCccos () 6 A ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完 成解答 问题： ABC 的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 3 B ， D是边 BC 上一点， BD5， AD7， 且_， 试判断 CD和 BD 的大小关系_ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】答案见解析. 【解析

24、】 【分析】 先利用余弦定理求出AB的长，选条件：利用辅助公式和正弦定理即可求解；选条件：利用边化角， 然后利用两角差的余弦公式求出A，最后根据等边三角形的性质，即可判断 CD和 BD 的大小关系 【详解】解：设 AB=x，在ABD中由余弦定理可得： 22 492525 cos255 3 xxxx 即 2 524=0 xx，解得 =8x， 方案一：方案一：选条件 由 21 cos 7 C 得 2 7 sinC 7 ， AB C 32112 75 7 sinsin(), 272714 ABC 在ABC中由正弦定理可得： 8 , 5 72 7 147 BC 解得：10BC ， 5.CDBD 方案二

25、：方案二：选条件 由正弦定理可得：=2 sin , =2 sin ,aRA cRC代入条件sin cos() 6 aCcA 得： 31 sinsinsin(cossin) 22 ACCAA 31 cossinsinsin 22 ACAC， 13 sinsincossin 22 ACAC， 因为 A为三角形内角，所以tan3A，故 3 A ， 所以ABC为等边三角形， 所以8BC ，3CD ，所以 CD恒成立， 2 ( )0f xe恒成立，符合题意； 当1a 时 x (,)a a (, 1)a 1 ( 1,) ( ) fx 正 0 负 0 正 ( )f x 单增 极大值 单减 极小值 单增 当x

26、a 时， 2 (1)1() 10 xaxx xax+-+ =+ -恒成立， 2 ( )0f xe恒成立，符合题意； 当xa时， 1 min ( )( 1)(3)f xfa e-=-=-，即 12 (3)a ee ，即 3 3ae， 3 13ae 当1a 时， x (, 1) 1 ( 1,)a a (,)a ( ) fx 正 0 负 0 正 ( )f x 单增 极大值 单减 极小值 单增 当1x时， 2 (1)1(1)0 xaxax 恒成立， 2 ( )0f xe恒成立，符合题意； 当1x 时， min ( )()(1) a f xfaae-=-=+，即 2 ( +1) a aee ， 令 1,(1), aa h aaeah aae ， 则函数( )h a在(,0)单调递增，在(0,1)单调递减， 且当0a时，h( )(1)0 a aae-=+恒成立；当0a 时， 2 h( 2)e-=-； 即 2 ( +1)2 a aeea 21a ；. 综上:实数a的取值范围是 3 23ae . 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于较难题.