2021届河北省“五个一”名校联盟高三上学期第一次联考数学试题（教师版含解析）

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1、河北省河北省“五个一五个一”名校联盟名校联盟 2021 届高三联考届高三联考 数学数学 考生注意：考生注意： 1本试卷分第本试卷分第 I 卷卷( (选择题选择题) )和第和第 II 卷卷( (非选择题非选择题) )两部分，共两部分，共 150 分考试时间分考试时间 120 分钟分钟 2请将各题答案填写在答题卡上请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：高考全部内容，第本试卷主要考试内容：高考全部内容，第 I 卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合

2、 21| x Ax ， 2 56|0Bx xx ，则AB ( ) A. (-1，3) B. (1，1) C. (0，1) D. (0，6) 【答案】C 【解析】 【分析】 由集合描述得到集合，利用集合基本运算求交集即可； 【详解】由210| x Axx x， 2 1|560| 6Bx xxxx ， |01)ABxx 故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据集合描述得到集合，应用交集运算求集合，属于简单题； 2. 1 (21i i ) ( ) A. 1 3i B. 1 3i C. 3 i D. 3 i 【答案】B 【解析】 【分析】 直接运算计算结果. 【详解】由题意， 12 21211

3、21 3iiiii ii 故选：B. 【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题. 3. 在一组样本数据中， 1， 4， m， n出现的频率分别为 0.1， 0.1， 0.4， 0.4， 且样本平均值为 2.5， 则mn( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平均数公式列式即得结果. 【详解】由题意得样本平均值为1 0.1 4 0.10.40.42.55mnm n 故选：A 【点睛】本题考查平均数公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 若P：直线l与双曲线C只有一个公共点，Q：直线l与双曲线C 相切，则P是Q的( ) A

4、. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】直线与双曲线有一个公共点时，有可能是直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线和双曲线相切不成立； 直线与双曲线相切时，可以推出直线与双曲线有一个公共点，命题成立， 所以P是Q的必要不充分条件. 故选 B. 【点睛】直线与双曲线的位置关系用数形结合研究比较简洁，当直线与双曲线只有一个公共点时，直线与 双曲线未必相切，可以是与渐近线平行，与双曲线类似的还有抛物线，直线与抛物线除了相切可以有一个 公共点外，还可以是与对称轴平行. 5. 已知0 x， 0y ，且40 xyxy，若不等式axy

5、恒成立，则a的取值范围是( ) A. ,6 B. ,7 C. ,8 D. ,9 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可得 41 1 xy ，再由 41 ()xyxy xy ，利用基本不等式求出其最小值即可. 【详解】40 xyxy， 41 1 xy ， 414 ()5 xy xyxy xyyx 0 x，0y ， 44 24 xyxy yxyx (当且仅当 4xy yx ，即26xy时取等号)， 549x ya+ 故选：D 【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 6. 函数 2 sin lnf xxx的大致图象为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【

6、解析】 【分析】 利用奇偶函数定义可知 ( )f x为奇函数，且 0,1x函数符号 即可知正确选项； 【详解】因为()( )fxf x ，所以 ( )f x为奇函数， 当(0,1)x时，sin0 x， 2 ln0 x ， ( )0f x ， 故选：D 【点睛】本题考查了根据函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性以及区间函数值符号确定函数图象； 7. 设函数 f x的定义域为R，( ) fx 是其导函数， 若 0f xfx ， 01f， 则不等式 x f xe 的解集是( ) A. ( ) 0,+? B. ( ) 1,+? C. ,0- D. (0，1) 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知

7、条件构造函数( )( ) x g xe f x，则( )( )( ) xx g xe f xe fx，可得( )g x在R上单调递减，由 01f，可得( ) x f xe等价于 ( )(0)g xg ，从而可求出不等式的解集. 【详解】令( )( ) x g xe f x，则( )( )( ) xx g xe f xe fx， 因为( )( )0f xfx ，所以( )0g x ，所以( )g x在R上单调递减 因为(0)(0)1gf，所以( ) x f xe等价于 ( )(0)g xg ， 解得0 x，所以不等式 x f xe的解集是(,0) 故选：C. 【点睛】此题考查导数的应用，考查由函

8、数的单调性解不等式，解此题的关键是利用已知条件构造函数， 属于中档题. 8. 蹴鞠(如图所示)，又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系 外包皮革、内实米糠的球因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球2006 年 5 月 20 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，已知某“鞠”表 面上的四个点A，B，C，D满足14 ABCDcm，8BDACcm，12ADBCcm，则该“鞠” 的表面积为( ) A. 202cm2 B. 101 202 3 cm3 C. 101 202cm2 D. 202

9、 3 cm2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，得到A，B，C，D不共面；根据题中条件，可把A，B，C，D四点放到长方体的四个顶 点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径设该长方体的长、宽、高分别为x，y，z，“鞠”的半径为 R，结合题中数据求出半径，即可得出“鞠”的表面积. 【详解】若A，B，C，D共面，则“鞠”的半径无法确定；因此A，B，C，D不共面； 因为 ABCD，BDAC， ADBC， 所以可以把A，B，C，D四点放到长方体的四个顶点上， 则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径 设该长方体的长、宽、高分别为x，y，z，“鞠”的半径为R， 则 2 222 2Rxyz 因为 22

10、2 196xyAB， 222 144xzAD， 222 64yzAC， 则 222 2196 14464404xyz ， 所以 2 101 2 R， 所以 22 4202 SRcm . 故选：A. 【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记球的表面积公式，以及几何体的结构特征即可，属于 常考题型. 二、选择题：二、选择题： 9. 由函数 sinf xx的图象得到函数 ( )cos2 3 g xx 的图象的过程中，下列表述正确的是( ) A. 先将 sinf x x的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不变)，再向左平移个 12 单位长度 B. 先将 sinf x x的图象上各点

11、的横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不变)，再向左平移 6 个单位长度 C. 先将 sinf xx的图象向左平移 6 个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不 变) D. 先将 sinf xx的图象向左平移12 个单位长度， 再将图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不 变) 【答案】AC 【解析】 【分析】 先 利 用 诱 导 公 式 化 简 得( )cos2cos 2sin 2 336 g xxxx ， 然 后 利 用 函 数 sin()yAx 的图像变换规律，得出结论 【详解】( )cos2cos 2sin 2 336 g xxxx 方式一：先将 s

12、inf xx的横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不变)，再向左平移 12 个单位长度 方式二：先将 sinf xx的图象向左平移 6 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不变) 故选：AC 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查函数 sin()yAx 的图像变换规律，属于中档题 10. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题 加以解决，例如，与 22 ()()xayb相关的代数问题，可以转化为点 ( , )A x y与点( , )B a b之间的距离 的几何问题结合上述观点，可得方程 22 45452xxxx 的解为( ) A

13、. 2 3 3 B. 3 6 C. 2 3 3 D. 3 6 【答案】AC 【解析】 【分析】 由 22 |4545 | 2xxxx 得| 2222 (2)(1 0)(2)(1 0) | 2xx 其几何意义为平面 内一点( ,1)x与两定点( 2,0),(2,0)距离之差的绝对值为 2平面内与两定点( 2,0),(2,0)距离之差的绝对 值为 2 的点的轨迹是双曲线，从而求出双曲线的方程为 2 2 1 3 y x ，然后与直线 1y 联立方程组可求得答 案 【详解】由 22 |4545 | 2xxxx 得| 2222 (2)(1 0)(2)(1 0) | 2xx 其几何意义为平面内一点( ,1

14、)x与两定点( 2,0),(2,0)距离之差的绝对值为 2 平面内与两定点( 2,0),(2,0)距离之差的绝对值为 2的点的轨迹是双曲线 设该双曲线的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，则 222 22 2 a c cab 解得1a ，3b 所以该双曲线的方程是 2 2 1 3 y x 联立方程组 2 2 1 1 3 y y x 解得 2 3 3 x 故选：AC 【点睛】此题考查方程的解的求法，利用数学转化的思想，把解方程问题转化为双曲线的点的坐标问题， 属于中档题 11. 已知 2 012345 42345 6 6 1211111()1xxaaxaxaxaxaxax， 则

15、( ) A. 0 0a B. 3 20a C. 15 0aa D. 0246135 |aaaaaaa+ 【答案】ACD 【解析】 【分析】 设 4 2 ()12f xxx，令记1x可判断 A，令1tx可判断 B，令0,2xx 可判断 C和 D. 【详解】记 4 2 ()12f xxx，则 0 10af 令1tx，则1xt ，所以 3 a为 4 2 ()21ttt的展开式中 3 t的系数， 因为 4 () 1t+的通项为 4 4 rr C t ，所以 23 344 218aCC 又 135 (0)( 2) 8 2 ff aaa 所以 15 0aa， 22 0246135 ()()(0)( 2)0

16、aaaaaaaff， 所以 22 0246135 ()()aaaaaaa即 0246135 |aaaaaaa+ 故选：ACD. 【点睛】本题考查二项式定理，考查分析与转化的能力. 12. 已知 f x是定义在R上的奇函数，且 11fxfx，当01x时， f xx，关于函数 |g xfxfx，下列说法正确的是( ) A. g x为偶函数 B. g x在1,2上单调递增 C. g x在2016，2020上恰有三个零点 D. g x的最大值为 2 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的定义，直接判断 g x，可得 A正确；根据题意，得到函数 f x是奇函数，且周期为 4， 得出0 x时，

17、 2 ( ),4 ,24 ( ) 0,24 ,44 f x xkk g x xkk ，kN，从而可判断 B错，C都错；结合其对称性与解析 式，可得 D正确. 【详解】函数 g x的定义域为R， 且 gxfxfxf xfxf xfxg x ， 所以 g x为偶函数，故 A正确 因为11fxfx，所以 f x的图象关于直线1x 对称， 又 f x是奇函数，所以 f x是周期为 4的函数，其部分图象如下图所示 所以当0 x时， 2 ( ),4 ,24 ( ) 0,24 ,44 f x xkk g x xkk ，kN， 当(1,2)x时， 2g xf x， g x单调递减，故 B错误 g x在2016

18、,2020上零点的个数等价于 g x在0,4上零点的个数， 而 g x在0,4上有无数个零点故 C错误 当0 x时，易知 g x的最大值为 2，由偶函数的对称性可知， 当0 x时， g x的最大值也为 2，所以 g x在整个定义域上的最大值为 2， 故 D 正确 故选：AD. 【点睛】本题主要考查函数基本性质的综合，以及函数零点问题，熟记函数基本性质，以及函数零点的判 断方法即可，属于常考题型. 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，把答案填在答题卡中的横线上小题，把答案填在答题卡中的横线上 13. 17 tan 12 _ 【答案】23 【解析】 【分析】 由 175

19、tantan 1212 ，由诱导公式结合正切的和角公式可得出答案. 【详解】 3 1 1755 3 tantantantan23 121212643 1 3 故答案为：23 【点睛】本题考查诱导公式可正切和角公式的应用，属于基础题 14. 已知向量(1),ma，4),(na，若mn与n同向，则a_ 【答案】 2 【解析】 【分析】 由向量平行性质列出关于a的方程，检验后可得答案. 【详解】解：有题意m n 与n同向，所以/mnn 可得()4,1anam，所以4(41)aaa+，解得2a ， 经检验2a 都满足题意， 故答案为： 2. 【点睛】本题主要考察平面向量平行的性质，考察学生的基础知识与

20、基本计算能力，注意对结果进行验算 . 15. 将六根长为 2米的硬钢丝与三根长为 3米的硬钢丝焊接成一个三棱柱，假设钢丝是极细的(计算体积时 可将每根钢丝当作线段)，焊接过程中钢丝长度不改变若所得三棱柱的体积为2 3立方米，则该三棱柱的 侧棱与底面所成角的正弦值为_ 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 根据题意可得三棱柱的底面为正三角形,侧棱长为 3米，根据柱体的体积公式求出棱柱的高，即求. 【详解】由于只有三根长为 3米的硬钢丝，其余钢丝的长度都不是 3米， 所以这三根只能做棱柱的侧棱，所以该三棱柱的底面为正三角形 设该三棱柱的高为h米，所以 2 3 22 3 4 h，解得2h， 所以该三

21、棱柱的侧棱与底面所成角的正弦值为 2 3 故答案为： 2 3 【点睛】本题考查了柱体的体积公式，考查了基本运算能力，属于基础题. 16. 已知 1 1, 2 A ， 1 1, 2 B ，直线AM的斜率与直线BM的斜率之差是1，则点M的轨迹C的方程是 _若点F的坐标为 1 0, 2 ，P是直线 1 : 2 l y 上的一点，Q是直线PF与轨迹C的交点，且 4FPFQ，则QF _ 【答案】 (1). 2 21xy x (2). 3 4 【解析】 【分析】 设点,M x y，利用斜率公式结合条件“直线AM的斜率与直线BM的斜率之差是1”化简计算可得出点 M的轨迹方程；设点 1 , 2 P t ，利用

22、4FPFQ可求得点Q的纵坐标，利用抛物线的定义可求得QF. 【详解】设,M x y，则 11 22 1 11 AMBM yy kk xx ， 整理得点M的轨迹C的方程是 2 21xy x ，如下图所示： 设点 1 , 2 P t 、 00 ,Q x y，, 1FPt， 00 1 , 2 FQxy ， 4FPFQ， 0 1 41 2 y ，解得 0 1 4 y . 由抛物线的定义可得 113 424 QF . 故答案为： 2 21xy x ； 3 4 . 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了抛物线焦半径长的计算，考查计算能力，属于中等 题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6

23、小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在13ab ， sin2cA ， 3 3 3 bc这三个条件中任选一个，补充在下面问题中若问题 中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，且 3sinsinBA ， 6 C ？ 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】 由条件可得3ba， 若选， 则可求出边, a b， 再用余弦定理可求解； 若选， 由正弦定理可得2asinC ， 结合条件可得出a边， 由

24、条件3sinsinBA进一步得出b， 再用余弦定理可求解； 若选， 即3cb 由 s i n3 s i nBA ，3ba，由余弦定理可得 22 53aa-，故不成立. 【详解】解：选：sin3sinBA3ba 13ab 1a ，3b 222 2coscababC， 6 C 1c 符合acb ，故存在满足条件的ABC 选：由正弦定理 sinsin ac AC ,则 sinc sinAaC 2c sinA，2asinC 6 C 4a sin3sinBA，3ba，4 3b 由 222 3 2cos16482 4 4 316 2 cababC ， 解得：4c 符合acb ，故存在满足条件的ABC 选：

25、 3 3 bc，3cb sin3sinBA3ba 222 2cosabcabC， 222 3923 cos 6 aaaaa 得 22 53aa-，不成立 故不存在满足条件的ABC 【点睛】角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一 般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解 决三角形问题时，注意角的限制范围属于中档题. 18. 已知数列 n a是公差为 2的等差数列，它的前 n项和为 n S，且 137 ,a a a成等比数列. (1)求 n a的通项公式； (2)求数列 1 2 n S 的前 n 项和 n

26、 T. 【答案】(1)22 n an；(2) 24 n n T n . 【解析】 【分析】 (1)根据条件求出数列的首项，即可写出通项公式； (2)求出 n S，即可得 1 2 n S + ，利用裂项相消法可求解. 【详解】(1) 137 ,a a a成等比数列， 2 317 aa a=?，则( )() 2 111 412aaa+=+，解得 1 4a ， () 41222 n ann= +-?+； (2) ()2 4 22 3 2 n nn Snn + =+， ()() 2 11111 2321212 n Snnnnnn =- + ， 11111111 2334122224 n n T nnn

27、n . 【点睛】本题考查等差数列基本量计算，考查裂项相消法求数列前 n项和，属于中档题. 19. 2020年上半年受新冠疫情影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降.国内多地在 3 月开始陆续发布促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继 2009年首次汽车下乡之后开启的又一 次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前 2 天大力宣传后，从第 3天开始连续统计了 6天汽车销售量 y(单位：辆)如下表： 第x天 3 4 5 6 7 8 销售量y(单位：辆) 17 20 19 24 24 27 (1)从以上 6天中随机选取 2天，求这 2天的销售量均在 20 辆以上(含 20 辆)的

28、概率. (2)根据上表中前 4 组数据，求y关于x的线性回归方程 ybxa. (3)用(2)中的结果计算第 7、8 天所对应的 y ，再求 y 与当天实际销售量y的差，若差值的绝对值都不超过 1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判 断，(2)中的结果是否可行？若可行，请预测第 9天的销售量；若不可行，请说明理由. 附：回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为： 1 22 1 , n ii i n i i x ynx y baybx xnx 【答案】(1) 2 5 ；(2)211yx；(3)可行，29. 【解析】 【分析

29、】 (1)先确定 6天中销售量均在 20 辆以上(含 20 辆)有 4 天，再根据组合以及古典概型概率公式求结果； (2)先求均值，再代入公式求 , b a，即得结果； (3)根据回归直线方程确定对应的 y ，再根据定义判断是否“可行”，最后代入9x得结果. 【详解】(1)6天中销售量均在 20辆以上(含 20辆)有 4 天， 2 4 2 6 62 155 C P C (2) 34561720 1924 4.5,20 44 xy 4 1 3 174 205 196 24370 ii i x y 4 22222 1 345686 i i x 2 3704 4.5 20 2 864 4 .5 b

30、20 24.5 11a 所以211yx (3)由(2)知，7x 时，14 1125y ，25-24=1； 8x 时， 16 1127y ，27-27=0 所以求得的线性回归方程“可行” 9x时， 18 1129y 【点睛】本题考查古典概型概率公式、线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 20. 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，B1C1平面 AA1C1C，D是 AA1的中点，ACD是边长为 1 的等边三 角形. (1)求证：CDB1D； (2)若 BC= 3，求二面角 BC1DB1的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 6 【解析】 【分析】 (1)根据计算， 利用勾股

31、定理逆定理得 1 CDDC;根据 B1C1平面 AA1C1C， 得 11 CDBC,最后根据线面垂 直判断定理以及性质定理证明结果； (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求二面角大小. 【详解】(1)因为ACD是边长为 1的等边三角形， 所以 111111 2 1,1,3 3 CDADACDACC D 222 1111 2CCCCC DCDCDDC 因为 B1C1平面 AA1C1 C，CD 平面 AA1C1C，所以 11 CDBC 因为 111 ,DC BC为平面 B1C1D 内两相交直线，所以CD平面 B1C1D 因为 1 B D平面 B1C1D,所以 CDB1D； (2)以 D 为

32、坐标原点， 1, ,DC DC过D平行BC直线为 , ,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，则 11 (0,0,0),( 3,0,0),( 3,0, 3), (0,1, 3),DCBB 设平面 BC1D 的一个法向量为 1 ( , , )nx y z，平面 C1DB1的一个法向量为 2111 ( ,)nx y z 由 11 1 0 0 n DC n DB 得 30 0, 30 x x yz 令1,3zy 1 (0,3,1)n 由 21 21 0 0 nDC nDB 得 30 0, 330 x xz xz 令1,y 2 (0,1,0)n 12 1212 12 335 cos, 2 126|

33、n n n nn n nn 因为二面角 BC1DB1为锐二面角，所以二面角 BC1DB1为 6 【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理、利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属 中档题. 21. 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的右焦点为 ,0F c， 短轴长为 2， 且C截直线xc所得线段MN 的长为 2 (1)求椭圆C的方程； (2)若A，B为C上的两个动点，且AFMBFM 证明：直线AB过定点，并求定点的坐标 【答案】(1) 2 2 1 2 x y；(2)证明见解析；直线AB过定点2,0 【解析】 【分析】 (1)根据C截直线xc所得线段MN的长为 2，可得

34、 2 2 2 b MN a ，再结合短轴长为 2 求解. (2)由题意可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y kxm ，与椭圆方程联立，根据 AFMBFM ，且FM垂直x轴，可得 0 FAFB kk，结合韦达定理可求 m与 k 的关系，再代入直线 方程求解. 【详解】(1)把xc代入 22 22 1 xy ab ，得 2 b y a ， 则 2 2 2 b MN a ，即 2 2 2 ba 又22b，则1b， 所以 2a ， 故C的方程为 2 2 1 2 x y (2)由题意可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y kxm ， 联立 2 2 1 2 x y ykxm ，得 222 1

35、24220kxkmxm 设A，B的坐标分别为 11 ,x y， 22 ,x y， 则 222222 164 122216880k mkmkm ， 且 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 22 12 m x x k 设直线FA，FB的倾斜角分别为， AFMBFM ，且FM垂直x轴， tantan0，即0 FAFB kk， 12 12 0 11 yy xx ，则 1221 110y xyx， 即 1221 110kxmxkxmx， 1212 220kx xkmxxm， 2 22 224 220 1212 mkm kkmm kk ，化简可得2mk， 则直线AB的方程为22ykxkk

36、 x， 故直线AB过定点2,0 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及定点问题，还考查了运算求解的能力， 属于中档题. 22. 已知函数 2 210f xln xaaxa (1)当1a 时，求曲线 yf x在1x 处的切线方程； (2)当 1 2 a 时， 0 x是函数 yf x最小的零点，求证：函数 21g xfxx在区间 0 ()2 , a x上单 调递减(注：1 31)1.n 【答案】(1) 52 ln3 33 yx ；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)由 1ln3 1f，得出切点坐标，由 1 ( )2 2 fx x 得出切线的斜率方程，得出答案. (2

37、)由 1 ( )2 2 fxa xa ，讨论出函数的单调区间，得出 0 1 2 ,2 2 xaa a ，从而当 0 ,)( 2xa x 时， 0f x ，将绝对值打开，利用导数研究即可. 【详解】(1)解：当1a 时， 221()f xln xx所以 1 ( )2 2 fx x ， 且 1ln3 1f，函数 yf x在1x 处的切线斜率 5 (1) 3 k f 所以函数 yf x在1x 处的切线方程为 5 (ln3 1)(1) 3 yx ， 即 52 ln3 33 yx (2)证明：由 1 ( )2 2 fxa xa ，令( )0fx ，解得 1 2 2 xa a ， 所以函数 f x在区间

38、1 2 ,2 2 aa a 上单调递增，在区间 1 2 , 2 a a 单调递减， 所 2 max 1 ( )241 (2 ) 1 2 f xfaaana a 令 2 1 ( )41 (2 ) 1 2 h aaanaa ，则 11 ( )810 2 h aah a ， 所以 h a在区间 1 , 2 单调递增， 11 ( )0 22 h ah 而当2xa时， f x ，由题意，可以得 0 1 2 ,2 2 xaa a 所以当 0 ,)( 2xa x 时， 0f x ， 则 211212g xf xxaxln xa ， 当 0 2axx时， 0 11 ( )2222 22 g xaa xaxa

39、， 要想证明函数 21g xfxx在区间 0 ()2 , a x上单调递减，只需 0g x， 故只要证明 0 1 2 22 xa a 记 2 1 ( )24ln(22 ) 221 a G afaaaa aa ， 2 11 ( )81 (1)1 G aa aa 区间 1 , 2 上单调递增，所以 1 G ( )0 2 aG 所以 G a在区间 1 , 2 上单调递增， 1117 ( )1ln3ln30 2236 G aG 所以 0 1 ()2 22 f xfa a ， 0 111 2 ,2,22 ,2 2222 xaaaaa aaa ， 且 f x区间 1 2 ,2 2 aa a 上单调递增，所以 0 1 2 22 xa a ， 所以函数 21g xfxx在区间 0 ()2 , a x上单调递减 【点睛】本题考查求函数的切线方程，考查函数的零点，讨论分析参数的单调性问题，考查分析问题，等 价转化的能力，属于难题.