2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷（含答案解析）

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1、2021 年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共计一、选择题（本大题共计 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 2 （3 分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A B C D 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A2a2+3a25a4 B （a+b）2a2+ab+b2 C （2a2）38a6 D2a23a26a2 4 （3 分）围棋起源于中国，古代称之为“弈” ，至今已有 4000 多年的

2、历史2017 年 5 月，世界围棋冠军 柯洁与人工智能机器人 AlphaGo 进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由棋子摆成的图 案（不考虑颜色）是中心对称的是（ ） A B C D 5 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 6 （3 分）下列说法正确的是（ ） A一个游戏的中奖概率是 则做 10 次这样的游戏一定会中奖 B为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是 8 D若甲组数据的方差 S20.01，乙组数据的方差 S20.1，则乙组数据比甲组数据稳定 7 （3 分）如图，在ABC 中，

3、CD 是 AB 边上的高，BE 平分ABC，交 CD 于点 E，BC5，DE2，则 BCE 的的面积等于（ ） A4 B5 C7 D10 8 （3 分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速全球太阳能光伏应用市场持续稳步增 长，2019 年全球装机总量约 600GW，预计到 2021 年全球装机总量达到 864GW设全球新增装机量的年 平均增长率为 x，则可列的方程为（ ） A600（1+2x）864 B600+2x864 C （600+x）2864 D600（1+x）2864 9 （3 分）如图，线段 AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线

4、于点 E， E42，则CDB 等于（ ） A22 B24 C28 D48 10 （3 分）若点 M（m，n）是抛物线 y2x2+2x+m 上的点，且抛物线与 x 轴至多有一个交点，则 mn 的最小值（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）2021 年 2 月 24 日，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火 星停泊轨道此次天问一号探测器进入的火星停泊轨道是与火星的最远距离 59000000 米的椭圆形轨 道将 59000000 米用科学记数法表示为 米 12

5、（3 分）如图，已知 ab，1128，则2 13 （3 分）当 m 时，函数 y的图象在第二、四象限内 14 （3 分）若圆锥的底面直径为 6cm，母线长为 10cm，则圆锥的侧面积为 cm2 15 （3 分）在一个不透明的布袋中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种颜色的球共 40 个，从中任意摸出 一个球，若摸到黄球的概率为，则布袋中黄球的个数为 16 （3 分）如图，ABC 中，BAC90，ACB30，将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到AB1C1， 点 C 的对应点恰好落在 CB 的延长线上，连接 CB1，则 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题第个小题第 17、18、19

6、题，每小题题，每小题 6 分，第分，第 20、21 题每小题题每小题 6 分，第分，第 22、23 题每题每 小题小题 6 分，第分，第 24，25 题每小题题每小题 6 分，共分，共 72 分）分） 17 （6 分）计算： （） 1+2tan60（2021+）0 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 19 （6 分）如图，在 57 的正方形网格中，A、B、C 都是格点，AB 为半圆的直径，C 在半圆上，请你仅 用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹） ： （1）作点 A 关于直线 BC 的对称点 D； （2）直接标出弦 BC 的中点及半圆的圆心 O，并作 BC 弧的中点 E； （3）在射

7、线 BC 上作点 F，使AFBBAC 20 （8 分）九（1）班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查（共提供 A、B、C、D 四 个研学目标，每名学生从中分别选一个目标） ，并根据调查结果列出统计表绘制扇形统计图 男、女生最向往的研学目标人数统计表 目标 A B C D 男生（人数） 7 m 2 5 女生（人数） 9 4 2 n 根据以上信息解决下列问题： （1）m ，n ； （2）扇形统计图中 A 所对应扇形的圆心角度数为 ； （3）从最向往的研学目标为 C 的 4 名学生中随机选取 2 名学生参加竞标演说，求所选取的 2 名学生中 恰好有一名男生、一名女生的概率 21 （8

8、 分） 如图， AD 平分BAC， ABAC，且 ABCD， 点 E 在线段 AD 上， BE 的延长线交 CD 于点 F， 连接 CE （1）求证：ACEABE （2）当 ACAE，CAD38时，求DCE 的度数 22 （9 分）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局 部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动某商店销售 A，B 两种头盔，批发价和零售价格如表所示， 请解答下列问题 名称 A 种头盔 B 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1） 第一次， 该商店批发 A， B 两种头盔共 120 个， 用去 5600

9、元钱， 求 A， B 两种头盔各批发了多少个？ （2）第二次，该商店用 7200 元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变） ，要想将第二次批发的两 种头盔全部售完后，所获利润率不低于 30%，则该超市第二次至少批发 A 种头盔多少个？ 23 （9 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A， D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：AD2ABAF； （3）若 BE12，tanB，求 AD 的长 24 （10 分）设点 P 在矩形 ABCD 内部

10、，当点 P 到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点 P 为该边的 “中轴点” 例如：若点 P 在矩形 ABCD 内部，且 PAPD，则称 P 为边 AD 的“中轴点” 已知点 P 是 矩形 ABCD 边 AD 的“中轴点” ，且 AB10，BC8，如图 1 （1）求证：P 是矩形 ABCD 边 BC 的“中轴点” ； （2）如图 2，连接 PA，PB，若PAB 是直角三角形，求 PA 的值； （3）如图 3，连接 PA，PB，PD，求 tanPDCtanPBA 的最小值 25 （10 分）抛物线 yax2+c 与 x 轴交于 A，B 两点，顶点为 C，点 P 为抛物线上一点，且位于 x 轴下

11、方 （1）如图 1，若 P（1，3） ，B（4，0） 求该抛物线的解析式； 若 D 是抛物线上一点，满足DPOPOB，求点 D 的坐标； （2）如图 2，已知直线 PA，PB 与 y 轴分别交于 E、F 两点当点 P 运动时，是否为定值？若是， 试求出该定值；若不是，请说明理由 2021 年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共计一、选择题（本大题共计 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3

12、 Dx3 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案 【解答】解：由题意可知：x30， x3 故选：D 2 （3 分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A B C D 【分析】俯视图有 3 列，从左到右正方形个数分别是 2，1，2 【解答】解：俯视图从左到右分别是 2，1，2 个正方形，如图所示： 故选：B 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A2a2+3a25a4 B （a+b）2a2+ab+b2 C （2a2）38a6 D2a23a26a2 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题 【解答】解：2a2+3a25a2，故选项 A 错误；

13、 （a+b）2a2+2ab+b2，故选项 B 错误； （2a2）38a6，故选项 C 正确； 2a23a26a4，故选项 D 错误； 故选：C 4 （3 分）围棋起源于中国，古代称之为“弈” ，至今已有 4000 多年的历史2017 年 5 月，世界围棋冠军 柯洁与人工智能机器人 AlphaGo 进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由棋子摆成的图 案（不考虑颜色）是中心对称的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的 图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案 【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符

14、合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：A 5 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 【分析】首先解出不等式的解集，然后再根据不等式组解集的规律：大小小大中间找，确定不等式组的 解集，再在数轴上表示即可 【解答】解：不等式组， 由得：x1， 由得：x2， 不等式组的解集为 1x2 数轴上表示如图： ， 故选：D 6 （3 分）下列说法正确的是（ ） A一个游戏的中奖概率是 则做 10 次这样的游戏一定会中奖 B为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C一组数据

15、 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是 8 D若甲组数据的方差 S20.01，乙组数据的方差 S20.1，则乙组数据比甲组数据稳定 【分析】利用概率的意义、全面调查与抽样调查、中位数、众数及概率的意义逐项判断即可得到正确的 答案 【解答】解：A、一个游戏的中奖概率是，则做 10 次这样的游戏可能中奖，故本选项错误； B、了解全国中学生的心理健康情况，范围比较广，应采用抽查的反思调查，故本选项错误； C、数据 8，8，7，10，6，8，9 中 8 出现的次数最多的为 8，故众数为 8，排序后中位数为 8，故本选 项正确； D、根据方差越小越稳定可知乙组数据比甲组数据稳定，故本选项错误

16、 故选：C 7 （3 分）如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，BE 平分ABC，交 CD 于点 E，BC5，DE2，则 BCE 的的面积等于（ ） A4 B5 C7 D10 【分析】过 E 作 EFBC 于点 F，由角平分线的性质可求得 EFDE，则可求得BCE 的面积 【解答】解：过 E 作 EFBC 于点 F， CD 是 AB 边上的高，BE 平分ABC， EFDE2， SBCEBCEF525， 故选：B 8 （3 分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速全球太阳能光伏应用市场持续稳步增 长，2019 年全球装机总量约 600GW，预计到 2021 年全球装机总量达

17、到 864GW设全球新增装机量的年 平均增长率为 x，则可列的方程为（ ） A600（1+2x）864 B600+2x864 C （600+x）2864 D600（1+x）2864 【分析】根据题意可得等量关系：2019 年的装机总量（1+增长率）22021 年的装机总量，根据等量 关系列出方程即可 【解答】解：设全球新增装机量的年平均增长率为 x， 由题意得：600（1+x）2864， 故选：D 9 （3 分）如图，线段 AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 E， E42，则CDB 等于（ ） A22 B24 C28 D48 【分析】连接 OC，

18、根据切线的性质可知OCE90，再由直角三角形的性质得出COE 的度数，由 圆周角定理即可得出结论 【解答】解：连接 OC， CE 是O 的切线， OCE90， E42， COE904248， CDBCOE24 故选：B 10 （3 分）若点 M（m，n）是抛物线 y2x2+2x+m 上的点，且抛物线与 x 轴至多有一个交点，则 mn 的最小值（ ） A B C D 【分析】根据题意求得 m 的取值，然后把点 M（m，n）代入 y2x2+2x+m，得到 n2m2+2m+m， 进一步得到 mn2m22m2（m）2，结合 m 的取值，根据二次函数的性质即可求得结果 【解答】解：抛物线 y2x2+2x

19、+m 与 x 轴至多有一个交点， 44（2）m0， 解得 m， 点 M（m，n）是抛物线 y2x2+2x+m 上的点， n2m2+2m+m， mn2m22m2（m）2， m， 当 m时，mn 有最小值，最小值为 2（）2， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）2021 年 2 月 24 日，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火 星停泊轨道此次天问一号探测器进入的火星停泊轨道是与火星的最远距离 59000000 米的椭圆形轨 道将 59000000 米用科学记数法表示为

20、 5.9107 米 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的 整数位数少 1，据此判断即可 【解答】解：59000000 米5.9107米 故答案为：5.9107 12 （3 分）如图，已知 ab，1128，则2 52 【分析】由平行线的性质得出31128，再结合2，3 互补，即可求出2 的度数 【解答】解：如图所示： ab， 31128 又2+3180， 2180318012852 故答案为：52 13 （3 分）当 m 2 时，函数 y的图象在第二、四象限内 【分析】由双曲线在第二、四象限，可知 k0 即可解答 【解答】解：

21、函数 y的图象在第二、四象限内 m20， m2 14 （3 分）若圆锥的底面直径为 6cm，母线长为 10cm，则圆锥的侧面积为 30 cm2 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥 的母线长和扇形的面积公式计算 【解答】解：圆锥的侧面积61030（cm2） 故答案为 30 15 （3 分）在一个不透明的布袋中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种颜色的球共 40 个，从中任意摸出 一个球，若摸到黄球的概率为，则布袋中黄球的个数为 18 【分析】利用摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算即可 【解答】解：设袋子中黄球有 x 个，根据题意，得： ，

22、 解得：x18， 即布袋中黄球可能有 18 个， 故答案为：18 16 （3 分）如图，ABC 中，BAC90，ACB30，将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到AB1C1， 点 C 的对应点恰好落在 CB 的延长线上，连接 CB1，则 【分析】由直角三角形的性质可求 CB2AB，由旋转的性质可得 BCB1C1，ACAC1，由等腰三角形 的判定和性质可得 ABBC1，即可求解 【解答】解：如图，延长 CA 交 B1C1于 H， 设 ABx， BAC90，ACB30， CB2AB2x，ACx， 将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到AB1C1， BCB1C1，ACAC1， ACBAC1B30， ABCB

23、AC1+AC1B60， BAC1AC1B130， ABB1C1， CABCHC190， B1AH30， B1HAB1，AHx， CHx， B1Cx， ， 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题第个小题第 17、18、19 题，每小题题，每小题 6 分，第分，第 20、21 题每小题题每小题 6 分，第分，第 22、23 题每题每 小题小题 6 分，第分，第 24，25 题每小题题每小题 6 分，共分，共 72 分）分） 17 （6 分）计算： （） 1+2tan60（2021+）0 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质

24、分 别化简得出答案 【解答】解：原式2+212 1 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算即可 【解答】解：原式 ， 当 x+2 时， 原式 19 （6 分）如图，在 57 的正方形网格中，A、B、C 都是格点，AB 为半圆的直径，C 在半圆上，请你仅 用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹） ： （1）作点 A 关于直线 BC 的对称点 D； （2）直接标出弦 BC 的中点及半圆的圆心 O，并作 BC 弧的中点 E； （3）在射线 BC 上作点 F，使AFBBAC 【分析】 （1）根据轴对称的性质解决问题即可 （2

25、）取 AB，BC 的中点 O，T，作射线 OT 交O 于点 E，点 O，T，E 即为所求作 （3）取格点 R，连接 AR 交直线 BC 于点 F，点 F 即为所求作 【解答】解： （1）如图，点 D 即为所求作 （2）如图，点 O，点 T，点 E 即为所求作 （3）如图，点 F 即为所求作 20 （8 分）九（1）班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查（共提供 A、B、C、D 四 个研学目标，每名学生从中分别选一个目标） ，并根据调查结果列出统计表绘制扇形统计图 男、女生最向往的研学目标人数统计表 目标 A B C D 男生（人数） 7 m 2 5 女生（人数） 9 4 2 n

26、 根据以上信息解决下列问题： （1）m 8 ，n 3 ； （2）扇形统计图中 A 所对应扇形的圆心角度数为 144 ； （3）从最向往的研学目标为 C 的 4 名学生中随机选取 2 名学生参加竞标演说，求所选取的 2 名学生中 恰好有一名男生、一名女生的概率 【分析】 （1）先根据 C 组男女生人数及其所占百分比求出样本容量，再根据 B 组对应百分比及女生 B 组 人数求解可得 m 的值，最后根据各组人数之和等于总人数求出 n 的值； （2）用 360乘以 A 组人数所占比例即可； （3）应用列表法的方法，求出恰好选到 1 名男生和 1 名女生的概率是多少即可 【解答】解： （1）样本容量（2

27、+2）30%40， 依据题意得： （4+m）4030%， 解得：m8； n4078259423； 故答案为：8、3； （2） （7+9）40360144； 故答案为：144 （3）列表得： 男 1 男 2 女 1 女 2 男 1 男 2 男 1 女 1 男 1 女 2 男 1 男 2 男 1 男 2 女 1 男 2 女 2 男 2 女 1 男 1 女 1 男 2 女 1 女 2 女 1 女 2 男 1 女 2 男 2 女 2 女 1 女 2 由表格可知，共有 12 种等可能的结果数，其中恰好选中 1 男 1 女的结果数为 8， 所以恰好选中 1 男 1 女的概率 P 21 （8 分） 如图，

28、AD 平分BAC， ABAC，且 ABCD， 点 E 在线段 AD 上， BE 的延长线交 CD 于点 F， 连接 CE （1）求证：ACEABE （2）当 ACAE，CAD38时，求DCE 的度数 【分析】 （1）先由角平分线的性质可得CAEBAE，再根据已知条件即可用 SAS 证明方法进行证明 即可得出答案； （2）现根据等腰三角形的性质可得出ACEAEC71，再根据平行线的性质，DCA+BAC 180，求解即可得出答案 【解答】证明： （1）AD 平分BAC， CAEBAE， 在ACE 和ABE 中， ， ACEABE（SAS） ； （2）ACAE，CAD38， ACEAEC71， 又C

29、ADBAD38， CABCAD+BAD38+3876， ABCD， DCA+BAC180， DCE+ACE+BAD180， DCE180717633 22 （9 分）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局 部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动某商店销售 A，B 两种头盔，批发价和零售价格如表所示， 请解答下列问题 名称 A 种头盔 B 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1） 第一次， 该商店批发 A， B 两种头盔共 120 个， 用去 5600 元钱， 求 A， B 两种头盔各批发了多少个？ （2）第二次，该商

30、店用 7200 元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变） ，要想将第二次批发的两 种头盔全部售完后，所获利润率不低于 30%，则该超市第二次至少批发 A 种头盔多少个？ 【分析】 （1）设第一次 A 种头盔批发了 x 个，B 种头盔批发了 y 个根据题意列出二元一次方程组，解 方程组即可得出答案； （2）设第二次批发 A 种头盔 a 个，则批发 B 种头盔个根据题意列出一元一次不等式，则 可得解 【解答】解： （1）设第一次 A 种头盔批发了 x 个，B 种头盔批发了 y 个 根据题意，得， 解得：， 答：第一次 A 种头盔批发了 40 个，B 种头盔批发了 80 个 （2）设第二次批发

31、A 种头盔 x 个，则批发 B 种头盔个 由题意，得（8060）a+（5040）720030%， 解得：a72， 答：第二次该商店至少批发 72 个 A 种头盔 23 （9 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A， D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：AD2ABAF； （3）若 BE12，tanB，求 AD 的长 【分析】 （1）先判断出 ODAC，得出ODB90，即可得出结论； （2）先判断出AEFB，再判断出AEFADF，进而得出BAD

32、F，进而判断出ABD ADF，即可得出结论； （3）连接 EF，在直角三角形 BOD 中，根据勾股定理可得 BO 的长度用 BD 和 OD 表示，进而得 sinB ，设圆的半径为 r，由 sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出 r 的值，由直径所对的圆周角为 直角，得到 EF 与 BC 平行得到 sinAEFsinB，进而求出 AF 的长，再根据（2）的结论可求出 AD 的 长 【解答】解： （1）如图 1， 连接 OD，则 OAOD， ODAOAD， AD 是BAC 的平分线， OADCAD， ODACAD， ODAC， ODBC90， 点 D 在O 上， BC 是O 的切线； （2）如图

33、 2， 连接 OD，DF，EF， AE 是O 的直径， AFE90C， EFBC， BAEF， AEFADF， BADF， 由（1）知，BADDAF， ABDADF， ， AD2ABAF； （3）如图 3， 连接 EF， 在 RtBOD 中，tanB， OD2+BD2OB2，设 OD 为 5x，则 BD 为 12x， 由勾股定理得 BO13x， sinB， 设半径为 r， 则， 得 r， AE15，ABAE+BE27， AE 为直径， AFEC90， EFBC， AEFB， sinAEF， AFAE15， AD2ABAF， AD 24 （10 分）设点 P 在矩形 ABCD 内部，当点 P 到

34、矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点 P 为该边的 “中轴点” 例如：若点 P 在矩形 ABCD 内部，且 PAPD，则称 P 为边 AD 的“中轴点” 已知点 P 是 矩形 ABCD 边 AD 的“中轴点” ，且 AB10，BC8，如图 1 （1）求证：P 是矩形 ABCD 边 BC 的“中轴点” ； （2）如图 2，连接 PA，PB，若PAB 是直角三角形，求 PA 的值； （3）如图 3，连接 PA，PB，PD，求 tanPDCtanPBA 的最小值 【分析】 （1）连接 PB、PC，通过求证CDPBAP 即可求证 P 是矩形 ABCD 边 BC 的“中轴点“； （2）连接 PD，过点

35、 P 作 PEDA 于点 E，过点 P 作 PFAB 于点 F，设 AFx，利用三角形相似找到 关系式，即可算出 AP 的长； （3）过点 P 作 PFAB 于点 F，利用（1） （2）中所求，将PDC 进行转换，再结合二次函数最值即可 找到 tanPDCtanPBA 的最小值 【解答】解： （1）连接 PB、PC，如图所示： 点 P 为该边的“中轴点” ， PAPD，PDAPAD， 又CDADAB90， CDPBAP， 在CDP 和BAP 中， ， CDPBAP（SAS） ， PCPB， P 是矩形 ABCD 边 BC 的“中轴点“； （2）解：连接 PD，过点 P 作 PEDA 于点 E，

36、过点 P 作 PFAB 于点 F， 由（1）得 PDPA，故PDA 为等腰三角形， DEEAAD4， 在四边形 PEAF 中，PEAEAFAFP90， 四边形 PEAF 为矩形， EAPF4， 又PAB 是直角三角形，PFAPFB90， PAF90PBA，FPB90PBF， 即PAFFPB， FAPFPB， ， PF2AFBF， 即 16AFBF， 设 AFx，则 BF10 x，可得方程： x（10 x）16， 解得：x12，x28， 当 AF2 时，PA2， 当 AF8 时，PA， 综上，当PAB 是直角三角形时，PA 的值为 2或 4； （3）过点 P 作 PFAB 于点 F，如图所示：

37、由（1） （2）可知，PDCPAF，PF4， tanPDCtanPAF，tanPBA， tanPDCtanPBA， 设 AFx，则 BF10 x， tanPDCtanPBA， 观察易知，当 x（10 x）取得最大值时，tanPDCtanPBA 取得最小值， 令 yx（10 x）x2+10 x（x5）2+25， 10， 当 x5 时，y 取得最大值 25， 存在最小值：， 故 tanPDCtanPBA 的最小值为 25 （10 分）抛物线 yax2+c 与 x 轴交于 A，B 两点，顶点为 C，点 P 为抛物线上一点，且位于 x 轴下方 （1）如图 1，若 P（1，3） ，B（4，0） 求该抛物

38、线的解析式； 若 D 是抛物线上一点，满足DPOPOB，求点 D 的坐标； （2）如图 2，已知直线 PA，PB 与 y 轴分别交于 E、F 两点当点 P 运动时，是否为定值？若是， 试求出该定值；若不是，请说明理由 【分析】 （1）根据待定系数法求函数解析式，可得答案；根据平行线的判定，可得 PDOB，根据 函数值相等两点关于对称轴对称，可得 D 点坐标； （2）根据待定系数法，可得 E、F 点的坐标，根据分式的性质，可得答案 【解答】解： （1）将 P（1，3） ，B（4，0）代入 yax2+c，得 ，解得， 抛物线的解析式为 yx2； 如图 1， 当点 D 在 OP 左侧时， 由DPOP

39、OB，得 DPOB， D 与 P 关于 y 轴对称，P（1，3） ， 得 D（1，3） ； 当点 D 在 OP 右侧时，延长 PD 交 x 轴于点 G 作 PHOB 于点 H，则 OH1，PH3 DPOPOB， PGOG 设 OGx，则 PGx，HGx1 在 RtPGH 中，由 x2（x1）2+32，得 x5 点 G（5，0） 直线 PG 的解析式为 yx 解方程组得， P（1，3） ， D（，） 点 D 的坐标为（1，3）或（，） （2）点 P 运动时，是定值，定值为 2，理由如下： 作 PQAB 于 Q 点，设 P（m，am2+c） ，A（t，0） ，B（t，0） ，则 at2+c0，cat2 PQOF， ， OFamt+at2 同理 OEamt+at2 OE+OF2at22c2OC 2