2021届高中数学知识点归纳（新高考老教材版适用）

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1、 1 / 47 新课标新课标高中数学知识总结归纳高中数学知识总结归纳 1、集合的基本概念集合的基本概念 (1)集合的概念：把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）； (2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； (3)集合的三种表示方法：自然语言法、列举法、描述法 2、集合的运算、集合的运算 （1）子集：若集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则BA； 真子集：若BA，且BA，则AB； 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 （2）交集：=BABxAxx且 （3）并集：=BABxAxx或 3、集合的常用运算性质、集合的常用运算性质 (1)=A；AAA=； (2)AA=；AAA=； (3

2、)=)(ACA U ；=)(ACA U U；=)(ACC UU A； (4)补集：若U为全集，UA，则=ACUAxUxx且,； (5)BA=BAA=BAB； (6)= )(BACU)()(BCAC UU ；= )(BACU)()(BCAC UU ； (7)如图所示，用集合A、B表示图中、四个部分所表示的集合 分别是BA；)(BACA；)(BACB；)(BACU (8)()()()(BAcardBcardAcardBAcard+= 4、常见数集及其表示符号、常见数集及其表示符号 N：自然数集； N + N： 正整数集； Z：整数集； Q：有理数集； R：实数集 C：复数集 5、已知集合A有(1)

3、n n 个元素，则它有2n个子集，它有21 n 个真子集，它有21 n 个非空子集， 它有22 n 非空真子集. 6、函数、函数的概念的概念 7、函数的定义域、值域、函数的定义域、值域 （1）定义域：函数Axxfy=),(中，x 叫做自变量，自变量x的取值集合叫做函数的定义域； （2）值域：所有函数值构成的集合Axxfyy=),(叫做这个函数的值域显然，值域是集合 B 的 子集 2 / 47 （3）两个函数只有当定义域和对应法则 都分别相同时，这两个函数才相同 8、函数的三要素、函数的三要素：定义域、值域和对应法则 9、函数的表示方法主要有、函数的表示方法主要有：列表法、解析法和图象法 10、

4、分段函数：、分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因定义域不同而分别用几个不同的式子来表示，这 种函数称为分段函数 注意：注意：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函 数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 11、求函数解析式的方法主要有：、求函数解析式的方法主要有：来源来源:学学,科科,网网 Z,X,X,K 代入法；换元法；待定系数法；图象法；列方程组法；配凑法等. 12、求函数值域的方法主要有：、求函数值域的方法主要有： 直接(观察)法；配方法（针对二次函数）；换元法；分离常数法；反解法；判别式法等. 13、函数的单调性、函数的单调性 (1)

5、单调性定义：给定区间 D 上的函数)(xfy =，若对任意 21,x xD，当 21 xx 时，都有)( 1 xf )( 2 xf，则)(xf为区间 D 上的增函数；当 21 xx 时，都有)( 1 xf)( 2 xf，则)(xf为区间 D 上的 减函数 注意：单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间 (2)证明函数单调性的步骤： 证明函数的单调性一般从定义入手（以后将会学习用“求导”的方法证明函数单调性），利用定义证明 函数单调性的一般步骤是： 设元 （取量） ： 任取Dxx 21, ， 且令 21 xx ； 作差： 计算)()( 21 xfxf 并化简整理； 判号（判断整理结果的

6、符号）； 结论（利用单调性定义判断. 14、与单调性有关的结论、与单调性有关的结论 (1)若)(),(xgxf均为某区间上的增(减)函数，则)()(xgxf+为某区间上的增(减)函数； (2)若)(xf为增(减)函数，则)(xf为减(增)函数； (3)(xgfy =是定义在 M 上的函数，若)(xf与)(xg的单调性相同，则)(xgfy =是增函数，若 )(xf与)(xg的单调性相反，则)(xgfy =是减函数(同增异减的原则)； (4)若函数)(xf在闭区间ba,上是减函数，则)(xf的最大值为)(af，最小值为)(bf，值域为 )(),(afbf 15、函数的最值、函数的最值 设函数)(x

7、fy =的定义域为 I，如果存在实数M满足：对于任意Ix，都有Mxf)(，存在 x0I，使得Mxf=)( 0 ，那么称M是函数)(xfy =的最大值；类比定义)(xfy =的最小值 16、函数的奇、偶性：、函数的奇、偶性：（对于函数)(xf，其定义域 关于原点对称） (1)如果对于函数定义域内任意一个 x，都有= )( xf)(xf，那么函数)(xf是奇函数； (2)如果对于函数定义域内任意一个 x，都有= )( xf)(xf，那么函数)(xf是偶函数； 3 / 47 也就是说：也就是说：=+0)()(xfxf函数)(xf是奇函数，=0)()(xfxf函数)(xf是奇函数. 17、奇、偶函数的

8、性质、奇、偶函数的性质 (1)奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称； (2)若奇函数)(xf在0=x处有意义，则=)0(f0； (3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调， 则其单调性相同； 若偶函数在关于原点对称的两 个区间上分别单调，则其单调性相反； (4)奇奇=奇；偶偶=偶；奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇. 18、函数的周期性、函数的周期性 (1)周期函数定义： 对于函数( )yf x=， 如果存在一个非零常数 T ， 使得当x取定义域内的任何值时， 都有()( )f xTf x+=，那么就称函数( )yf x=为周期函数，称T为这个函数的周期； (2)最小正周期：如果在周

9、期函数( )yf x=的所有周期中存在一个最小的的正数，那么这个最小正数 就叫做)(xf的最小正周期 19、函数的图象、函数的图象 （1）利用描点法作图： 确定函数的定义域； 化解函数解析式； 讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； 画出函数的图象 （2）利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象 平移变换 0, 0,| ( )() hh hh yf xyf xh = =+ 左移 个单位 右移| 个单位 0, 0,| ( )( ) kk kk yf xyf xk = =+ 上移 个单位 下移| 个单位 伸缩

10、变换 01, 1, ( )()yf xyfx = = 伸 缩 01, 1, ( )( ) A A yf xyAf x = = 缩 伸 对称变换 ( )( ) x yf xyf x= = 轴 ( )() y yf xyfx= = 轴 ( )()yf xyfx= = 原点 1 ( )( ) y x yf xyfx = = = 直线 ( )(|) y yy yf xyfx= = 去掉 轴左边图象 保留 轴右边图象，并作其关于 轴对称图象 ( )|( )| x x yf xyf x= = 保留 轴上方图象 将 轴下方图象翻折上去 （3）识图 4 / 47 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别

11、范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系 （4）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径， 获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法 （5）有关函数对称性的几个重要结论 函数自身的对称性 函数)(xfy =的图像关于点),(baA对称的充要条件是bxafxf2)2()(=+ 函 数)(xfy =的 图 像 关 于 直 线ax =对 称 的 充 要 条 件 是)()(xafxaf=+， 即 )2()(xafxf= 两个函数的对称性 函数)(xfy =与)2(2xafby=

12、的图像关于点),(baA成中心对称 函数)(xfy =与)2(xay=的图像关于直线ax =成轴对称 指数函数) 1, 0(=aaay x 且图像与对数函数0(log=axy a ，且) 1a图像关于直线xy = 对称 三角函数的图像对称问题详见必修 4第一章三角函数 必修必修 1第二章第二章 基本初等函数基本初等函数 1、根式的概念、根式的概念：一般地，如果axn=，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN* 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00 = n 当n是奇数时，aa nn =，当n是偶数时， = )0( )0( | a a a a aa nn 2、分数指数幂、分数指数

13、幂 正数的分数指数幂的意义，规定：) 1, 0( * =nNnmaaa nm n m ， ) 1, 0( 11 * = nNnma a a a nm n m n m 注意：注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3、有理数幂的运算性质、有理数幂的运算性质 (1)= sr aa sr a + ；(2) = sr a )( rs a ；(3) = r ab)( rrb a(其中Qsrba, 0,） 4、指数函数及其性质、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念 5 / 47 一般地，函数) 1, 0(=aaay x 且叫做指数函数 ，其中x是自变量，函数的定 义域为R 注意：指数函数

14、的底数的取值范围:), 1 () 1 , 0(+a （2）指数函数的图象和性质 1a 01a 定义域R 定义域R 值域), 0( + 值域), 0( + 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点) 1 , 0( 函数图象都过定点) 1 , 0( 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 在ba,上，) 1, 0()(=aaaxf x 且值域是)(),(bfaf或)(),(afbf； 若0 x，则1)(xf；)(xf取遍所有正数当且仅当Rx； 对于指数函数) 1, 0()(=aaaxf x 且，总有af=) 1 (. 5、对数的概念：、对数的概念：一般地，

15、如果Na x =) 1, 0(aa，那么数x叫做以a为底N的对数，记作： Nx a log=（其中a叫底数，N叫真数，N a log叫对数式） 说明：注意底数的限制：0a且1a； xNNa a x =log； 注意对数的书写格式 6、两个重要对数：、两个重要对数： 常用对数： 以 10 为底的对数Nlg； 自然对数： 以无理数71828. 2=e为底的对数的对数Nln 7、指数式与对数式的互化、指数式与对数式的互化: 若Nab=， 则) 1, 0, 0(log=aaNNb a 8、对数恒等式、对数恒等式 loga aN N (a0 且 a1，N0)； bab a =log(a0 且 a1，bR

16、) 9、对数运算法则、对数运算法则)0, 0, , 1, 0(NMaa NMNM aaa loglog)(log+= NM N M aaa loglog)(log= 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2246 0 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2246 0 1 6 / 47 NnN a n a log)(log= 10、换底公式：、换底公式：)0, 1, 0, 0, 0( log log log=Nbbaa b N N a a b 推 论 ：推 论 ： 1loglog=ab ba ccb aba logloglog= bb a n an loglog= b m n b a n am

17、 loglog= 11、 对数函数及其性质对数函数及其性质 （1）对数函数的概念 函数0(log=axy a ，且) 1a叫做对数函数 ，其中x是自变量，函数的定义域是), 0( +，值域是 R. 注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别， 如：xy 2 log2=， 5 log5 x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数； 对数函数对底数的限制：0( a，且) 1a；对数函数对真数x的限制：0 x. （2）对数函数的性质 1a 01a 定义域), 0( + 定义域), 0( + 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减 函数图象都过定点)0 , 1 ( 函数图象

18、都过定点)0 , 1 ( 12、幂函数、幂函数 （1）幂函数的概念 一般地，形如 xy =)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数 （2）幂函数性质归纳 所有的幂函数在), 0( +都有定义并且图象都过点) 1 , 1 (； 0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间), 0 +上是增函 数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函 数的图象上凸； 0时，幂函数的图象在区间), 0( +上是减函数在第一象限 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -112345678 0 1 1 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5

19、-112345678 0 1 1 7 / 47 内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴 上方无限地逼近x轴正半轴 必修必修 1第三章第三章 函数的应用函数的应用 1、方程的根与函数的零点、方程的根与函数的零点 （1）函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy=，把使0)(=xf成立的实数x叫做函数 )(Dxxfy=的零点. （2）函数零点的意义：函数)(xfy =的零点就是方程0)(=xf实数根，亦即函数)(xfy =的图象 与x轴交点的横坐标 . 即：方程0)(=xf有实数根函数)(xfy =的图象与x轴有交点函数)(xfy =有零点 （3）函数零

20、点的求法 （代数法）求方程0)(=xf的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy =的图象联系起来，并利用函数的 性质找出零点 2、二次函数的零点：、二次函数的零点：二次函数)0( 2 +=acbxaxy （1）0，方程0 2 =+cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有 两个零点 （2）0=，方程0 2 =+cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有 一个二重零点或二阶零点 （3）0，方程0 2 =+cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点 3、函数零点的判定（零点存在定理）、函数零点的判定（

21、零点存在定理） 如果函数)(xf在闭区间ba,上连续，且)(af与)(bf异号（即0)()(bfaf），那么在开区间 ),(ba内至少有函数的)(xf一个零点，即至少有一点)( 00 bxax使0)( 0 =xf. 推论：推论：若函数)(xf在闭区间ba,上严格单调 ，且)(xf图象是连续不断的一条曲线，则 0)()(bfaf函数)(xf在ba,上只有一个零点（唯一零点的证明依据）。 注意：注意：若函数)(xf在闭区间ba,上连续，且函数)(xf在闭区间ba,上不单调 ， 则( )( )0f af b无法说明函数)(xf在ba,上没有零点。 8 / 47 必修必修 2第一章第一章 空间几何体空

22、间几何体 1、柱、锥、台、球的结构特征、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；以侧棱是否垂直于 底面作为分类标准分为直棱柱和斜棱柱。 表示：用各顶点字母，如五棱柱 EDCBAABCDE 或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD。 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平 行于底面的 截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三

23、角形，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 表示：用各顶点字母，如五四棱锥ABCDS 。 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其面积比等于顶点到截面距离 与高的比的 平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如四棱台DCBAABCD。 几何特征：上下底面是相似的平行多边形； 侧面是梯形； 侧棱交于原棱锥的顶点。 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面

24、所围成的几何体。 几何特征：底面是全等的圆； 母线与轴平行； 轴与底面圆的半径垂直； 侧面展开图是一 个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：底面是一个圆； 母线交于圆锥的顶点； 侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。 几何特征：上下底面是两个圆； 侧面母线交于原圆锥的顶点； 侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。 几何特征：球的截面是圆； 球面上任意一点到球心的距离等于半径。 9 / 47 2、空间几何

25、体的直观图、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法 斜二测画法特点（横不变、纵减半）：原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变； 原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 3、柱体、锥体、台体的表面积与体积、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高， h 为斜高，l为母线） chS= 直棱柱侧面积 hcS= 2 1 正棱锥侧面积 rlS= 圆锥锥侧面积 hccS+=) 2 1 21 （ 正棱台侧面积 lRrS)+= （ 圆台侧面积 )2lrrS+=（ 圆柱表 )lrrS+=（ 圆锥表 ) 2

26、221 2 1 rlrlrrS+= （ 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 VSh= 柱 2 VShr h= 圆柱 1 3 VSh= 锥 hrV 2 3 1 = 圆锥 1 () 3 VSS SS h=+ 台 22 11 ()() 33 VSS SS hrrRR h=+=+ 圆台 （4）球体的表面积和体积公式：S球面= 2 4 R 3 3 4 RV= 球 必修必修 2第二章第二章 点、线、面的位置关系点、线、面的位置关系 1、平面的基本性质、平面的基本性质 (1)公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 (2)公理公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个

27、平面 (3)公理公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 (4)公理公理 2 的三个推论的三个推论 推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论推论2：经过两条相交直线有且只有 一个平面 推论推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面 2、空间中两直线的位置关系、空间中两直线的位置关系 10 / 47 (1)位置关系的分类： 共面直线 平行 相交 异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa， b b，把 a与 b所成的锐角 (或直角)叫做异面直线 a 与

28、b 所成的角(或夹角)；范围： 2 , 0 (3)平行公理（公理 4）和等角定理 公理 4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 3、空间直线与平面、平面与平面的位置关系、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况 (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况 4、直线与平面平行的判定与、直线与平面平行的判定与性质性质 判定 性质来源:学科网来源:Zxxk.Com来源:学科 网 ZXXK 定义来 源:Zxxk.Com 定理 图形 条件 =a a，b，ab a a

29、，a， b= 结论 a b =a ab 5、面面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 = ，b，abp=， a，b ， a，b ，a 结论 ab a 11 / 47 6、直线与平面垂直、直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，记作l. (2)直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与一个平面内的两条相 交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 若babll,，且 Pba=，则l 7、直线与平面所成的角、直线与平面所成的角 (1)如图，一直线PA和一平面相交，但不和这个

30、平面垂直，这条直线叫做这个平面 的斜线， 斜线和平面的交点 A 叫做斜足， 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO， 过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影， 平面的一条斜线和它在 平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 (2)一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行，称它们 所成的角是0的角，于是，直线与平面所成角的范围是 90,0 8、二面角、二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫 做二面角的面如右图：可记为l，或PABQ. 9、二面角的平面角、二面角的平面角 在二

31、面角的棱上任取一点O， 以点O为垂足， 在两个半平面内分别作垂直棱的射线， 则两条射线构成 的角叫做二面角的平面.如图：平面角AOB，范围：180,0 规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少 度平面角是直角的二面角叫做直二面角 10、平面与平面垂直、平面与平面垂直 (1)定义：定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平 12 / 47 面与垂直，记作. (2)判定定理：判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 11、直线与平面垂直的性质定理、直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两

32、条直线平行. 12、平面与平面垂直的性质定理、平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 必修必修 2第三章第三章 直线与方程直线与方程 1、直线的倾斜角、直线的倾斜角 （1）倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成 的角叫做直线l的倾斜角特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.（2）倾 斜角的范围： 90,0 2、直线的斜率、直线的斜率 （1）定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k， 即)()=180,9090,0,tank. （2） 过两点的直线

33、的斜率公式：直线经过两点),( 111 yxP，),( 222 yxP，其斜率 12 12 xx yy k =)( 21 xx . 3、直线方程的五种形式、直线方程的五种形式 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 )( 11 xxkyy= ),( 11 yx是直线上一定 点，k是斜率 不垂直于x轴 斜截式 bkxy+= k是斜率，b是直线在 y轴上的截距（纵截 距） 不垂直于x轴 两点式 ),( 1212 12 1 12 1 yyxx xx xx yy yy = ),(),( 2211 yxyx是直线 上两定点 不垂直于x轴和y轴 截距式 )0( 1=+ab b y a x a是

34、直线在x轴上的非 零截距，b是直线在y 轴上的非零截距 不垂直于x轴和y轴， 且不过原点 一般式 )0(0 22 +=+BACByAx A，B，C为系数 任何直线 4、两条直线平行与垂直的判断、两条直线平行与垂直的判断 1 l：0 111 =+CyBxA 11, (BA不同时为0）； 2 l：0 222 =+CyBxA 22, (BA不同时为0）. （1）当 21/l l时0 1221 =BABA且0 1221 CBCB(或0 1221 CACA). 13 / 47 （2）当 1 l与 2 l重合时0 1221 =BABA且0 1221 =CBCB(或0 1221 =CACA). （3）当 2

35、1 ll 时0 2121 =+BBAA. 5、两点间的距离公式、两点间的距离公式 若),( 111 yxP),( 222 yxP，则 2 21 2 2121 )()(yyxxPP+= 6、点到直线的距离公式：、点到直线的距离公式： 点),( 00 yxP到直线l：0=+CByAx的距离 22 00 BA CByAx d + + = 7、两条平行直线的距离公式、两条平行直线的距离公式 两平行直线0 1= +CByAx与0 2 =+CByAx间的距离 22 21 BA CC d + = 必修必修 2第四章第四章 圆与方程圆与方程 1、圆的标、圆的标准方程准方程 设圆心坐标为),(ba，半径为r，则

36、圆的标准方程为： 222 )()(rbyax=+ 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为： 222 ryx=+ 2、圆的一般方程、圆的一般方程 （1）当04 22 +FED时，方程0 22 =+FEyDxyx叫做圆的一般方程， 其中圆心为) 2 , 2 ( ED 半径为 2 4 22 FED+ . （2）用待定系数法求圆的方程的大致步骤 根据题意选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于rba,或FED,的方程组； 解出rba,或FED,，代入标准方程或一般方程. 3、点与圆的位置关系、点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d，半径为r. rd 点P在圆内 rd =点P在圆上 rd 点P在圆外

37、 4、直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 （1）代数法： 直线与圆的方程联立消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，此方程的判别式为，则 直线与圆相交0 直线与圆相切0= 直线与圆相离0 14 / 47 （2）几何法： 设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则 直线与圆相交rd 直线与圆相切rd = 直线与圆相离rd 5、圆与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含 6、圆与圆位置关系的判定、圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：几何法：若两圆的半径分别为 21,r r，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外

38、切 相交 内切 内含 图示 d与 21,r r 的关系 21 rrd+ 21 rrd+= 2121 rrdrr+ 21 rrd= 21 0rrd (2)代数法代数法 联立两圆的方程组成方程组 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 7、过圆上一点、过圆上一点),( 00 yx的圆的切线方程的求法的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为 k 1 ，由点斜式可得切线方程如果斜 率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 0 yy =或 0 xx =. 8、过圆外一点、过圆外一点),( 00 yx的切线方程的求法的切线方程的求法 设切线方程为)( 00 xxkyy=

39、， 由圆心到直线的距离等于半径建立方程， 可求得k， 也就得切线方 程当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为 0 xx =，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情 况，而过圆外一点的切线有两条一般不用联立方程组的方法求解 9、求切线长最小值的两种方法、求切线长最小值的两种方法 (代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(几 何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题 10、一般地过直线0=+CByAx与圆0: 22 =+FEyDxyxC交点的圆系方程可设为： 0)( 22 =+CByAxFEyDxyx，然后再由其他条件求出，即可得圆的方程 11、

40、 一一般地过圆 1 C：0 111 22 =+FyExDyx与圆 2 C：0 222 22 =+FyExDyx的交点的 15 / 47 圆的方程可设为+ 111 22 FyExDyx) 1(0)( 222 22 =+FyExDyx，然后再由其 他条件求出，即可得圆的方程 12、两圆相交时，公共弦所在的直线方程、两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆 1 C：0 111 22 =+FyExDyx与圆 2 C：0 222 22 =+FyExDyx相交，则两圆公共弦 所在直线的方程为0)()( 212121 =+FFyEExDD. 13、公共弦长的求法、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出

41、交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾 股定理求解 14、求弦长的两种方法、求弦长的两种方法 涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种： 由于半径长r，弦心距d ，弦长l的一半构成直角三角形， 所以利用勾股定理 222 ) 2 (r l d=+求解 联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横 1.简单随机抽样简单随机抽样 （1）总体和样本 总体：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体 个体：把每个研究对象叫做个体 总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量

42、为了研究总体x的有关性质， 一般从总体中随机抽取一部分： n xxxx, 321 研究， 我们称它为样本 其 中个体的个数称为样本容量 。 （1）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽 取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立， 彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之 间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。 （3）简单随机抽样常用的方法： 抽签法；随机数表法；计算机模拟法；使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异情况

43、；允许误差范围；概率保证程度。 2、系统抽样、系统抽样 （1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）： 把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采 用简单随机抽样的办法抽取。 K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模） 前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规 则分布。 可以在调查允许的条件下， 从不同的样本开始抽样， 对比几次样本的特点。 如果有明显差别， 16 / 47 说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。 （2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它

44、对抽样框的要求较低，实施 也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量 的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。 3、分层抽样、分层抽样 （1）分层抽样（类型抽样）： 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个 类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成 总体的样本。 （2）分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样 本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。 （3）分层的比例问题： 按比例分层抽样： 根

45、据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主 要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要 先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结 构。 4、用样本的数字特征估计总体的数字特征、用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）本均值： n xxx x n + = 21 （2）样本标准差： n xxxxxx ss n 22 2 2 12 )()()(+ = （3）用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合

46、理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到 的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。虽然我们用样本数据得到的分布、均值和 标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当 样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。 说明：如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变 如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k，标准差变为原来的 k 倍 一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间)3,3(sxsx+的应用；“去掉一个最高分， 去掉一个最低分”中的科学道理 必修必修 3第三章第三章 概率概率 1、随机事件的概率

47、及概率的意义、随机事件的概率及概率的意义 （1）必然事件：在条件 S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件 S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件 S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件； （4）随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件 S 的随机事件； 17 / 47 （5）频数与频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 n（A）为事件 A 出现的频数；称事件 A 出现的比例 fn(A)= A n n 为事件 A 出现的概率： 对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这 个常数记作