山东省泰安市2021届高三四模数学试题（含答案）

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1、山东省山东省 2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本 试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的

2、是符合题目要求的 1. 已知 3 25 z i 则|z （ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 5 【答案】A 2. 已知集合 2 680 ,1Ax xxBx a x a 剟 ，若ABA，则实数 a 的取值范围为（ ） A. (1,3) B. 1,3 C. (2,3) D. 2,3 【答案】C 3. 已知cos0，且4sin23cos2 3，则tan（ ） A. 3 5 B. 3 5 C. 3 4 D. 3 4 【答案】C 4. 如图是我国古代米斗，它是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具它是随着粮食生 产而发展出来的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制

3、度化，十升为斗、十斗 为石的标准最终确定下来若将某个米斗近似看作一个四棱台，上、下两个底面都是正方形，侧棱均相等， 上底面边长为25cm，下底面边长为15cm，侧棱长为10cm，则该米斗的容积约为（ ） 附： 1 3 VSSS Sh 下台上上下体 A. 3 2400cm B. 3 2600cm C. 3 2900cm D. 3 3100cm 【答案】C 5. 已知向量( ,1),(0,4),aabab，则ab 在a方向上的投影为（ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 6. 如图是我国广州的新电视塔，外观优美，结构稳定，是当地重要的地标之一该电视塔的外形是单叶双 曲面，在几何

4、学中，单叶双曲面（有时称为旋转双曲面或圆形双曲面）是通过围绕其主轴旋转双曲线而产 生的表面，在空间直角坐标系中，曲面的方程为 222 222 1(0,0,0) xyz abc abc ，则平面1z 与单叶 双曲面的截线一定是（注：1z 表示点( , ,1)x y组成的平面，即过点(0,0,1)且与 z轴垂直的平面） （ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 圆或抛物线 D. 圆或椭圆 【答案】D 7. 已知等差数列 n a的前 n项和为 n S，公差为 1 3 ，0 n a ， 1223910 1111 2a aa aa a ，当 10 n S n 取 最小值时，n的值为（ ） A. 7 B. 8

5、C. 9 D. 10 【答案】B 8. 已知0ab且满足 a b a e b ，则下列说法正确的是（ ） A. 1 a ab b B. ln2ln2aabb C. 1 2 a D. 不存在, a b满足1ab 【答案】D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9. 随着人民生活水平的提高以及高新电影制作技术的研发，人们利用周末和假期去电影院感受电

6、影的魅 力 我国 2010年至 2018年年底电影年度票房总收入与观影总人数统计如图所示， 则下列说法正确的是 （ ） A. 这九年中，票价的增加导致年度总票房收入逐年攀升 B. 这九年中，票房收入与观影人数两个变量之间正相关 C. 这九年中，观影人数增长率是逐年上升的 D. 这九年中，年度总票房收入增速最快的是 2015 年 【答案】BD 10. 已知实数, ,a b c满足a bc且0abc，则下列不等关系一定正确的是（ ） A. acbc B. cc ab C. 2 ba ab D. lnlnacbc 【答案】BC 11. 将函数( ) 3cos(2) | 2 f xx 的图像向右平移

7、6 个单位长度，得到函数( )g x的图像，且 ( )g x的图像关于直线 7 12 x 对称，则下列结论正确的是（ ） A. 6 B. 3 (0) 2 g C. 函数( ) ( )( )h xf xg x 在区间, 2 内单调递减 D. 方程( ) ( )f xg x 在区间0,100 上有 201 个根 【答案】AD 12. 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，左顶点为 A，点 P 在 C的右支上，若 点 Q 满足 12 2 3 PQPFPF 为坐标原点，且OAQ为等边三角形，则下列说法正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 2

8、15 5 yx B. C 的离心率为 4 10 5 C. 若点 26 , 22 Q ，则 12 PFF的面积为12 30 5 D. C上存在点 P，使得 212 PFFF 【答案】BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知函数 ( )f x满足定义域为(,0)(0,)；值域为 R；()( )fxf x 写出一个满足上述 条件的函数( )f x _ 【答案】 lnf xx（答案为唯一） 14. 已知椭圆 C的中心在坐标原点，右焦点 F为直线2 20 xy 与 x 轴的交点，且在经过点 F的所有弦 中，最短弦的长度为10 3

9、 ，则 C的方程为_ 【答案】 22 1 95 xy 15. 石家庄市疫情期间，全国各地援石医疗队不顾危险，不畏艰辛，穿梭在城市、乡村的大街小巷，争分夺 秒救助患者，充分体现了对党和人民高度负责的使命担当，展现了顽强拼搏的斗志、甘于奉献的精神抗 疫任务完成后，石家庄交警列队礼送、铁骑引领、警车护航、敬礼致敬，以“最高礼遇、最深敬意、最佳 形象”送行支援队伍.7辆医护人员所乘车辆排成一列，若排在最前面的必须是甲车或乙车，丙车不在最后 面，则该 7 辆车不同的排列方法共有_种 【答案】1200 16. 如图，在四棱锥PABCD的展开图中，四边形ABCD是矩形，ABE是等边三角形， ,1,ADAH

10、ADGDGC若四棱锥P ABCD的外接球表面积为 19 3 ，则四棱锥PABCD的外 接球半径为_，sinGCF_ 【答案】 (1). 57 6 (2). 3 5 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在43 cosSbC， 22 42bcbc ， 2 sin 3 bA这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中，并解答 在ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，若cos 2 c B b ，2a， _，求b的值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

11、【答案】答案不唯一，具体见解析 18. 已知等比数列 n a的前 n项和为 123 ,0,4 nn S aSSS （1）求 n a的公比 q； （2）对于 * n N，不等式 2 1 17 6 2 n n aa nnt S 恒成立，求实数 t的最大值 【答案】 （1）2； （2） 1 14 19. 如图， 圆柱的高为 3，CDE是圆柱的下底面圆的内接三角形，AB是上底面圆内的一条弦， ,AD BC 均为圆柱的母线，且2, ,CDP Q分别为,AE CE的中点 （1）求证：/ /PQ平面ABCD； （2）若CDE是等边三角形，求直线PQ与平面ABE所成角的正弦值 【答案】 （1）证明见详解； （

12、2） 3 13 26 20. 已知抛物线 2 :4C yx （1）若 C 与圆 22 :(4)13Gxy在第一象限内交于,M N两点，求直线MN的方程； （2）直线l过点( 1,0)D 交 C于,A B两点，点 B 关于 x轴的对称点为 E，直线AE交 x轴于点 P，求证：P 为定点 【答案】 （1）3 1330 xy； （2）证明见解析 21. 国际比赛赛制常见有两种，一种是单败制，一种是双败制单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常 见的有1,3BO BO等等1BO表示双方进行一局比赛，获胜者晋级3BO表示双方最多进行三局比赛，若 连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决

13、胜负现在, ,A B C D四人进行乒乓 球比赛，比赛赛制采用单败制，A与 B一组，C 与 D一组，第一轮两组分别进行1BO，胜者晋级，败者淘 汰； 第二轮由上轮的胜者进行3BO， 胜者为冠军 已知 A与,B C D比赛， A 的胜率分别为 2 1 3 , 3 2 5 ； B 与,C D 比赛，B的胜率分别 1 2 2 5 ，；C与 D 比赛，C的胜率为 2 3 任意两局比赛之间均相互独立 （1）在 C 进入第二轮的前提下，求 A最终获得冠军的概率； （2）记 A 参加比赛获胜的局数为 X，求 X的分布列与数学期望 【答案】 （1） 1 3 ； （2）分布列见解析， 1747 1125 E X . 22. 已知函数 2 ( ) x f xaea x （1）若0a，且曲线( )yf x在0 x处的切线斜率为2，求函数 ( )f x的最小值； （2）若0a ，且当0,)x时，不等式 2 ( ) 1 f x axaxx a 恒成立，求 a取值范围 【答案】 （1）44ln2； （2） 1 ,0 2 .