2021届湖南省长沙市二名校联考高三上学期11月数学试题（含答案解析）

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1、2021 届高三月考试卷二届高三月考试卷二( (全国卷全国卷) ) 一、选择题一、选择题( (在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求) ) 1. 已知集合 2 2,60Ax xxZBx xx ，则AB ( ) A. 2, 1,0,1,2,3 B. 2, 1,0,1,2 C. 1,0,1,2 D. 2, 1,0,1 【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合 A,B再求交集即可 【详解】由题意2,2, 1,0,1,2 ,AxxxZ 2 603Bx xxxx-2 则AB 1,0,1,2 故选：C 【点睛】本题考查交集的运算，考查一元二次不等式

2、及绝对值不等式的解法，是基础题 2. 若( )11zii ，则z ( ) A. 1i B. 1 i C. i D. i 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算，采用分母实数化的方法求解出z的结果. 【详解】因为 2 1(1)2 1(1)(1)2 iii zi iii ， 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，难度较易.复数进行除法运算时，要注意将分母实数化即乘以分母的共 轭复数. 3. 在等比数列 n a中，已知 1 9n nn a a ，则该数列的公比是( ) A. 3 B. 3 C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知结合等比数列的性质即可求解公比q 【

3、详解】解：由 1 90 n nn a a ， 11 1 11 9 9 9 n nnn n nnn a aa aaa ， 2 9q， 故3q 或3q ， 当3q 时， 1 0 nn a a 不符合题意 故选：B 【点睛】此题考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题. 4. 已知数据 1210 ,x xx，2 的平均值为 2，方差为 1，则数据 1210 ,x xx相对于原数据( ) A. 一样稳定 B. 变得比较稳定 C. 变得比较不稳定 D. 稳定性不可以判断 【答案】C 【解析】 【分析】 根 据 均 值 定 义 列 式 计 算 可 得 121 0 ,xxx的 和 ， 从 而 得 它 们

4、的 均 值 ， 再 由 方 差 公 式 可 得 222 1210 222xxx，从而得方差然后判断 【详解】由题可得： 1210 1210 2 220 11 xxx xxx 平均值为 2， 由 222 2 1210 222(22) 1 11 xxx ， 222 1210 222 1.11 10 xxx ， 所以变得不稳定. 故选：C. 【点睛】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义属于基础题 5. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹.古代用 算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算.算筹的摆放有纵式横式两种(如图所示).当表示一个多

5、位 数时，个位百位万位数用纵式表示，十位千位十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如 3266 用算筹表示就是，则 8771用算筹应表示为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据算筹的定义和摆放方法解题 【详解】解：由算筹的定义，得，所以 8771 用算筹应表示 ， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了新定义题型，理解算筹的定义是解题关键，属于基础题 6. 过抛物线 E：y22x焦点的直线交 E 于 A，B两点，线段 AB 中点 M到 y轴距离为 1，则|AB|( ) A. 2 B. 5 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 设焦点为 F，过

6、A，B，M分别作准线 1 2 x 的垂线，垂足为 A，B，M，求出 3 | 2 MM ，即得解. 【详解】 设焦点为 F，过 A，B，M分别作准线 1 2 x 的垂线，垂足为 A，B，M， 则有|AA|AF|，|BB|BF|，|AA|+|BB|2|MM|， M到 y轴距离为 1， 3 | 2 MM ， |AB|AF|+|BF|2|MM|3 故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7. 如图， 在矩形 ABCD 中， AB= 2， BC=2， 点 E 为 BC 的中点， 点 F 在边 CD 上， 若2AB AF ， 则A E B F 的值是(

7、) A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量 的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于 0，得到结果 【详解】AF ADDF ，+= 2|= 2AB AFAB ADDFAB AD AB DF AB DFDF |DF|=1，|CF|= 21， 2211 22AE BFABBEBCCFAB CFBE BC 故答案为 C. 【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有 关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量

8、的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函 数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一 般方法；(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟 悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 8. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出 x+y的值是( ) A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 【答案】D 【解析】 分析】 按照循环结构， 先赋值0,1,1ixy 进入循环， 第一次循环， 此时1 3成立， 进入第二次循环， 此时23 成立，进入第三次循环，此时33成立，

9、进入第四次循环，此时43不成立，结束 【详解】根据题意，先赋值0,1,1ixy 第一次循环0,1,1xyi，1 3 成立； 第二次循环1,0,2xyi ，23 成立 第三次循环1,1,3xyi ，33 成立 第四次循环0,1,4xyi ，43不成立， 结束，输出1xy . 故选：D 【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构，还考查了推理数据处理能力，属于基础题. 9. 已知函数 2 ln ( ) x f xax x ，若曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线与直线 2x-y+10平行，则 a( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 求出函数的导

10、函数，再根据曲线 yf x在点 11f，处的切线与直线 2xy+1=0 平行，由 11 2kfa 求解. 【详解】函数 2 ln ( ) x f xax x 的导数为 2 1ln ( )2 x fxax x ， 可得曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线的斜率为 11 2kfa ， 由切线与直线 2x-y+10平行，可得 1-2a2，解得 1 2 a 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10. 如图，网格纸上小正方形边长为 1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( ) A. 4 2 2 36 B. 4 2 4 36 C. 2 3 20

11、D. 4 2 6 3 【答案】A 【解析】 【分析】 先找到几何体的原图，再求几何体的表面积. 【详解】由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如图所示(四棱锥PABCD)： 其底面ABCD为一个底边长是2 2和2的矩形， 侧面PBC是边长为2 2的正三角形， 侧面ABP， ADP， CDP均是边长为 2 的等腰直角三角形， 所以其表面积为 2 3 22 2(2 2)3 4 S 2 1 24 22 36 2 ， 故选：A 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平. 11. 函数 ( )sin()(0,0)f xAxA 的部分图象如图中

12、实线所示，图中圆 C 与 ( )f x的图象交 于 M，N两点，且 M在 y轴上，则下列说法中正确的是( ) A. 函数 ( )f x在 3 , 2 上单调递增 B. 函数 ( )f x 图象关于点 2 ,0 3 成中心对称 C. 函数 ( )f x的图象向右平移 5 12 个单位后关于直线 5 6 x 成轴对称 D. 若圆半径为 5 12 ，则函数 ( )f x的解析式为 3 ( )sin 2 63 f xx 【答案】BD 【解析】 【分析】 由 图 易 得 点C的 横 坐 标 为 3 ， 所 以 ( )f x 的 周 期T， 所 以2, 从 而 可 得 ( )sin 20 3 f xAxA

13、 ， ，根据三角函数的图象性质对选项进行逐一分析可得答案. 【详解】由图易得点 C 的横坐标为 3 ，所以 ( )f x的周期T ，所以2，又0 6 f ， 所以 3 ，因此( )sin 20 3 f xAxA ， . 222, 232 kxkkZ 5 , 1212 kxkkZ 所以函数 ( )f x在 5 1212 kkkZ ， 上单调递增. 3 222, 232 kxkkZ 7 , 1212 kxkkZ 所以函数 ( )f x在 7 1212 kkkZ ， 上单调递减. 则函数 ( )f x在 11 12 ， 上单调递减，所以选项 A 不正确. 由2, 3 xkkZ ,得, 26 k xk

14、Z 函数 ( )f x的图象的对称中心为0 , 26 k kZ ， 所以函数 ( )f x的图象关于点 2 ,0 3 成中心对称，故选项B正确. 函数 ( )f x的图象向右平移 5 12 个单位得到( )cos2f xAx ， 直线 5 6 x 不是此时的对称轴， 故选项 C 不 正确. 若圆半径为 5 12 ，则 22 35 2123 A ， 3 6 A ，函数 ( )f x的解折式为 3 ( )sin 2 63 f xx 故选：BD. 【点睛】本题考查根据三角函数的图象求解析式，考查三角函数的单调性和对称性等性质，属于中档题. 12. 若 0abc，且 abc1，则下列结论正确的是( )

15、 2a+2b4 lg a+lg b0 a+c22 a2+c2 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题干分析得 0a1， c1， 0ab1， bc1， 可变形为 2a(1-2bc)+2b(1-2ac)， 利用指数函数性质可判断； 利用对数函数性质可判断；结合基本不等式 2 2 2 ac ac 再进一步放缩可判断；代换成关于 a 的表 达式，再利用导数研究即可 【详解】由题意 0abc且 abc1，0a1，c1，0ab1，bc1 2a+2b-42a+2b-2abc-2abc2a(1-2bc)+2b(1-2ac)，0abc，bc0，ac0，2bc1， 2ac1，所以 2a+2b

16、-40，所以错； lg a+lg blg ab0，正确； 2 2 1 2 ac acabc ，所以 a+c22，正确； 由题意， 令 b1， 则 1 c a ， 22 1 aca a ， 令 2 1 ( )f aa a ， (0a1)， 则 3 22 121 ( )2 a f aa aa ， 令 f(a)0，得 1 3 0 1 (0,1) 2 aa ，所以 f(a)在(0，a0)上单调递减，在(a0，1)上单调递增， 所以 f(a0)f(1) 2，所以错误 故选：B 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性，基本不等式，导数进行大小比较，综合性强，方法 选用灵活度高，解题关键在于合理变形

17、与方法应用，属于难题 二、填空题二、填空题 13. 若x，y满足约束条件 2 0 20 x xy xy 则2zxy的最大值为_ 【答案】3 【解析】 【详解】分析：画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最 优解的坐标代入目标函数得答案 详解：由 x，y 满足约束条件 2, 0, 20, x xy xy 作出可行域如图， 化目标函数 z=x2y 为 y= 1 2 x 2 z ， 由图可知，当直线 y= 1 2 x 2 z 过点 A(1，1)时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为3 故答案为3 点睛：本题考查简单的线性规划，意在考查学生线性规划基础知识

18、的掌握能力和数形结合的解题思想方法. 14. 设等差数列 n a的前n项和为 n S， 5 23S ，360 n S ， 5 183 n S ，则n_ 【答案】18 【解析】 【分析】 根据题中条件，得到 123455 23Saaaaa 51234 177 nnnnnnn SSaaaaa ，由等 差数列的性质，求出 1 40 n aa ，再由求和公式，列式求解，即可得出结果. 【详解】由题意知 123455 23Saaaaa， 51234 177 nnnnnnn SSaaaaa ， 两式相加可得： 121324354 23 177200 nnnnn aaaaaaaaaa ， 所以 1 40 n

19、 aa ， 则 1 2 20360 n n Snn aa ，因此18n 故答案为：18. 【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，考查等差数列前n项和基本量的运算，属于常考题. 15. 过双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的下焦点 1 F作y轴的垂线，交双曲线于,A B两点，若以AB为直径 的圆恰好过其上焦点 2 F,则双曲线的离心率为_ 【答案】12 【解析】 过双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的下焦点 1 F作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，则 2 2b AB a ， 以AB为直径的圆恰好过其上焦点 2 F，可得： 2 2 b c a ， 22 20caac

20、 ，可得 2 210ee ，解得 12e ， 12e 舍去，故答案为1 2 . 16. 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形，侧面 PAD平面 ABCD，APD120 ，ABPAPD2，则该 四棱锥 P-ABCD 外接球的体积为_ 【答案】 20 5 3 【解析】 【分析】 设球心为O， ABCD的中心为O， 设O到平面ABCD的距离为d，利用勾股定理， 所以R2d2+2212+(1+d)2， 解得 d1，5R 可得答案. 【详解】 取 AD的中点 E， 连接 PE，PAD中， APD120 ， PAPD2， PE1，2 3AD ，设 ABCD 的中心为 O，球心为 O，则 1 2

21、2 O BBD ，设 O到平面 ABCD的距离为 d，则 R2d2+2212+(1+d)2， d1， 5R ，四棱锥 P-ABCD 的外接球的体积为 3 420 5 33 R 故答案为： 20 5 3 【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，考查了矩形的几何性质. 三、解答题三、解答题( (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题题为必考题，每个试题 考生都必须作答第考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答) ) ( (一一) )必考题必考题 17. 已知ABC 的内角 A，B

22、，C的对边分别为 a，b，c，且3c ，3 sincosacAaC (1)求C； (2)求ABC周长的最大值 【答案】(1) 3 C ；(2)3 3. 【解析】 【分析】 (1)根据题中条件，由正弦定理，得到 1 sin 62 C ，再由角的范围，即可得出结果； (2)根据题中条件，由余弦定理，可得 22 3abab，再结合基本不等式，即可求出最值. 【详解】 (1)3 sincosacAaC， 由正弦定理得：sin3sinsinsincosACAAC， sin0A， 3sincos1CC，即 1 sin 62 C ， 又0C， 5 666 C，故 66 C ，即 3 C ； (2)由(1)可

23、知， 3 C ， 在ABC中，由余弦定理得 22 2cos3ababC，即 22 3abab， 2 2 3() ()33 4 ab abab ，2 3ab，当且仅当 ab时取等号， 3 3abc， 即ABC周长的最大值为3 3 【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，考查求三角形周长的最值，属于基础题型. 18. 如图，四边形 ABCD为矩形，BC平面ABE，F为CE上的点，且BF 平面ACE (1)求证：AEBE； (2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点求证：/MN平面DAE 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)由线面垂直的性质和判定,结

24、合题意得出AEBC且AEBF,可得AE平面BCE，再结合BC 平面BCE，即可证明AEBE； (2)取DE的中点P，连结PA，PN，利用三角形的中位线定理和矩形的性质，证出/PN AM，且 PNAM，可得四边形AMNP是平行四边形，从而/MN AP，结合线面平行的判定定理即可证明/MN 平面DAE 【详解】(1)因为BC平面ABE，AE 平面ABE，所以AEBC， 又BF 平面ACE，AE 平面ACE，所以AEBF， 又BFBC B，所以AE平面BCE， 又BC平面BCE，所以AE BE (2)取DE的中点P，连结PA，PN，因为点N为线段CE的中点 所以/PN DC，且 1 2 PNDC，

25、又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以/AM DC， 且 1 2 AMDC，所以/PN AM，且PNAM， 故四边形AMNP是平行四边形，所以/MN AP， 而 AP 平面DAE，MN 平面DAE，所以/MN平面DAE 【点睛】本题考查了线面垂直证明线线垂直，考查了线面平行的判定定理，属于中档题. 19. 一汽车厂生产 A， B， C三类轿车， 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号， 某月的产量如表(单位： 辆)： 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有 A 类轿车 10

26、 辆 (1)求 z 的值； (2)用分层抽样的方法在 C类轿车中抽取一个容量为 5 的样本将该样本看成一个总体，从中任取 2 辆，求 至少有 1辆舒适型轿车的概率； (3)用随机抽样的方法从 B类舒适型轿车中抽取 8辆，经检测它们的得分 x的值如下：9.4，8.6，9.2，9.6， 8.7，9.3，9.0，8.2，把这 8 辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数18, i xiiN ，设样本平均 数为x，求0.5 i xx的概率 【答案】(1)z400；(2) 7 10 ；(3) 3 4 . 【解析】 【分析】 (1)根据分层抽样原理可计算得到生产轿车总量，由此求得z； (2)根据分层抽样与

27、案例可计算得到所抽取样本中两类轿车数量，利用列举法可求得结果； (3)计算求得样本平均数后，根据列举法可求得结果. 【详解】(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得： 5010 100300n ，解得：2000n 则 2000100 300150450600400z (2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得： 400 10005 a ，解得：2a. 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车 用 12 ,A A表示2辆舒适型轿车，用 123 ,B B B表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆， 其中至少有1辆舒适型轿车”， 则基本事件空间包含的基本事件有：

28、 12 ,A A， 11 ,A B， 12 ,A B， 13 ,A B， 21 ,A B， 22 ,A B， 23 ,A B， 12 ,B B， 13 ,B B， 23 ,B B，共10个 事件E包含的基本事件有： 12 ,A A， 11 ,A B， 12 ,A B， 13 ,A B， 21 ,A B， 22 ,A B， 23 ,A B，共 7个 7 10 P E，即所求概率为 7 10 (3)样本平均数 1 9.48.69.29.68.79.39.08.29 8 x ， 设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”， 则基本事件空间中有8个基本事件， 事件D包括

29、的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0， 共6个， 63 84 P D ，即所求概率为 3 4 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到分层抽样基本量的计算、列举法的应用等知识；解题 关键是能够熟练应用列举法得到基本事件总数和满足题意的基本事件个数，属于基础题. 20. 设函数( )cos x f xaex，其中aR. (1)若1a ，证明：当0 x时，( )2f x ； (2)若 ( )f x在区间0, 内有两个不同的零点，求 a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 3 4 2 , 2 ee . 【解析】 【分析】 (1)由( )sin0 x fxex得

30、 ( )f x在(0,)上为增函数，则( )(0)2f xf 从而得证. (2)即 cos x x a e 在区间0, 内有两个不同的实数根,设 cos ( ), x x h x e 求出( )h x的导数， 研究出( )h x的 单调性，从而可得答案. 【详解】(1)( )sin x fxex， 由0 x，得1,sin 1,1 x ex ， 则( )sin0 x fxex，即 ( )f x在(0,)上为增函数. 故 ( )(0)2f xf ，即( )2f x . (2)由( )cos0 x f xaex，得 cos x x a e . 设函数 cos ( ),0, x x h xx e ，

31、则 sincos ( ) x xx h x e . 令( )0h x ，得 3 4 x . 则 3 0, 4 x 时， 3 ( )0, 4 h xx 时，( )0h x ， 所以( )h x在 3 0, 4 上单调逼增，在 3 , 4 上单调减. 又因为 3 4 32 (0)1, ( ), 42 hhehe ， 所以当 3 4 2 , 2 aee 时，方程 cos x x a e 在区间0, 内有两个不同解， 即所求实数 a的取值范围为 3 4 2 , 2 ee . 【点睛】本题考查利用导数证明不等式和利用导数研究零点问题，考查等价转化的能力，属于中档题. 21. 已知点 P是圆 22 :(2

32、)32Qxy上任意一点，定点 (2,0)R ，线段PR的垂直平分线 l与半径PQ相 交于 M 点，P 在圆周上运动时，设点 M的运动轨迹为. (1)求点 M的轨迹的方程； (2)若点 N 在双曲线 22 1 42 xy (顶点除外)上运动，过点 N，R的直线与曲线相交于 ,A B，过点,N Q的 直线与曲线相交于,C D，试探究| |ABCD 是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请 说明理由. 【答案】(1) 22 1 84 xy ；(2)存在，定值：6 2. 【解析】 【分析】 (1)根据椭圆定义即可求出结果；(2)设 00 ,N x y得直线,NR NQ的斜率乘积 12 k k

33、 1 2 ，利用点斜式方程设 出直线 NR，NQ 的方程，与(1)的方程联立，写出根与系数的关系，利用弦长公式求出|AB|，|CD|的长度， 然后求和，通过计算可得出结果 【详解】(1)依题意：| |MPMR， 且| | | 4 24 |MRMQMQMPPQRQ， 由椭圆定义知点 M的轨迹为以 R，Q为焦点，长轴长为4 2，焦距为 4 的椭圆， 即：2 2,2,2acb， 故 22 :1 84 xy . (2)设 00 ,N x y，则 22 00 0 1,2 42 xy x ， 直线,NR NQ的斜率都存在，分别设为12 ,k k， 则 2 0 2 000 1 2 22 0000 2 1 2

34、 22442 x yyy k k xxxx ， 将直线NR的方程 1( 2)yk x 代入 22 1 84 xy 得 2222 111 218880kxk xk， 设 1122 ,A x yB x y，则 22 11 1212 22 11 888 , 2121 kk xxx x kk ， 2 2 2 1 11212 2 1 1 |144 2 21 k ABkxxx x k ， 同理可得 2 2 2 2 1 | 4 2 21 k CD k ， 2222 1211 222 121 2 1 2 1 2 1 1 1 1114 | 4 24 2 1 212121 1 2 3 21 2 4 26 2 21

35、 kkkk ABCD kkk k k k 【点睛】本题考查了椭圆定义以及根与系数的关系，弦长公式，考查了学生的运算转化能力，属于中档题 ( (二二) )选考题：请考生在选考题：请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 8 2 4 2 x t t y t (t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin. (1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若射线 4 (0)与直线l和曲线C分别交于A，B两点，求|

36、AB的值. 【答案】(1)40 xy(0 x)， 22 20 xyy；(2) 2. 【解析】 【分析】 (1)将直线l的参数方程消参， 即可得直线l的普通方程， 要注意0 x； 将曲线C的极坐标方程两边同乘， 再将siny， 222 xy代入，即可得曲线C的直角坐标方程； (2)先将直线l的直角坐标方程化为极坐标方程，再将 4 (0)代入直线l和曲线C的极坐标方程中， 可得点A，B对应的极径，利用| AB AB计算，即可求解. 【详解】(1)由 8 2 x t 得0 x， 将 8 2 4 2 x t t y t (t为参数)消去参数t， 得直线l的普通方程为40 xy(0 x). 由2sin得

37、 2 2 sin， 将siny， 222 xy代入上式， 得 22 20 xyy， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 20 xyy. (2)由(1)可知直线l的普通方程为40 xy(0 x)， 化为极坐标方程得cossin40( 2 )， 当 4 (0)时，设A，B两点的极坐标分别为 1, 4 ，, 4 B ， 则2 2 A ，2sin2 4 B ， 所以|2 22 |2 AB AB. 【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考 查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题. 23. 已知函数( )32f xx (1)解不等式( )41f xx. (2)若0a且( )4xaf x恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) 5 1 (, ) 4 2 (2) 10 0, 3 【解析】 【详解】(1)不等式 当，解之得； 当时，解之得； 当时，无解 综上，不等式的解集为 5 1 (, ) 4 2 (2)令 ，则 当时， 欲使不等式恒成立，只需，即 又因为，所以，即