2021届江苏省南京市名校高三上学期10月月考数学试题(含答案解析)
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1、 2020/2021 学年度第一学期十月质量检测试卷学年度第一学期十月质量检测试卷 高三数学高三数学 一、单选题:本大题共一、单选题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.请把答案填在答卷纸相应位置上请把答案填在答卷纸相应位置上. 1. 记全集U R,集合 2 16Ax x ,集合22 x Bx ,则 UA B ( ) A. 4 , B. 1,4 C. 1,4 D. 1,4 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合 A 和集合 B,再根据补集和交集运算即可求出. 【详解】 2 164Ax xx x 或4x ,221 x Bxx x , 44 UA xx , 1
2、41,4 UA Bxx. 故选:C. 【点睛】本题考查集合的补集和交集的混合运算,其中涉及到一元二次不等式和指数不等式的求解,属于 基础题. 2. 已知 5 log 2a , 7 log 2b , 2 0.5ac ,则 a,b,c的大小关系为( ) A. bac B. abc C. cba D. cab 【答案】A 【解析】 【分析】 由换底公式和对数函数的性质可得1ba,再由指数函数的性质可得1c,即可得解. 【详解】因为 5 ln2 log 2 ln5 a , 7 ln2 log 2 ln7 b ,0ln2ln5ln7,所以1ba, 所以 20 0.50.51 a c ,所以1bac .
3、故选:A. 【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较,考查了运算求解能力与逻辑推理能力,属于基础题. 3. 若 35 cos(),sin, ,0, 54132 ,则cos 4 ( ) A. 33 65 B. 33 65 C. 56 65 D. 16 65 【答案】C 【解析】 【分析】 利用配角得() 44 ,再利用两角差的余弦公式,即可得答案; 【详解】() 44 , coscos()() 44 cos() cossin() sin 44 , ,0.0 2242 , , 412 sin()cos 5413 , , 3 124556 cos 45 135 1365 , 故选:C. 【点睛】本
4、题考查同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式,考查运算求解能力,求解时注意角的配 凑. 4. 我国即将进入双航母时代,航母编队的要求是每艘航母配 23 艘驱逐舰,12 艘核潜艇.船厂现有 5 艘 驱逐舰和 3 艘核潜艇全部用来组建航母编队,则不同组建方法种数为( ) A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】 将 5 艘驱逐舰和 3 艘核潜艇分两类求解即可得到答案. 【详解】由题意得 2 艘驱逐舰和 1 艘核潜艇,3 艘驱逐舰和 2 艘核潜艇的组建方法种数为 212 532 60C CA, 2 艘驱逐舰和 2 艘核潜艇,3艘驱逐舰和 1 艘核潜艇的组建方
5、法种数为 222 532 60C CA 共 60+60=120种, 故选 D 【点睛】本题考查排列组合的简单应用,属于基础题. 5. 已知 2sin13 ,2sin77a ,1ab rr ,a与ab的夹角为 3 则a b =( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出2a ,利用向量数量积的定义求出aab的值,也即是 2 aa b 的值,进而可求得a b 的值. 【详解】 2sin13 ,2sin772sin13 ,2cos13a , 所以2a ,又因为1ab rr ,a与ab的夹角为 3 , 1 cos2 11 32 aabaab , 所以 2 41
6、aabaa ba b, 可得 3a b , 故选:B 【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义,涉及求向量的模长,属于中档题. 6. 函数 ln| cos ( ) sin xx f x xx 在),0(0,的图像大致为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性,然后利用特殊函数值进行判断即可. 【详解】因为 ln| cos()ln| cos ()( ) sin()sin xxxx fxf x xxxx ,),00,(x, 所以 ( )f x为奇函数,因此函数( )f x的图像关于原点对称,故排除 A, 又因() 10f , ()0 2 f , ( )0 3
7、f,( )0f ,故排除 B,C. 故选:D 7. 设 12 ,F F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点,过 1 F的直线l与 222 :O xya相切,l 与C的渐近线在第一象限内的交点是P,若 2 PFx轴,则双曲线的离心率等于( ) A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知条件计算P坐标,由相切得到 22 2ba,根据双曲线离心率公式,即可求得答案. 【详解】由于直线l与双曲线 22 22 :1 xy C ab 的渐近线的交点在第一象限, 故其渐近线方程为 b yx a 由 2 PFx轴, 2( ,0) F
8、 c 设 0 ,P c y, 则 0 bbc yc aa ,即, bc P c a , 设直线的倾斜角为,0, 2 , 根据直线l与圆O相切,设切点为M, 由原点O到l的距离为半径a,且 1 |OFc, 在直角 1 OMF中, 22 1 MFcab 则 1 | tan OMa MFb 又在直角 12 PFF中, 2 12 tan 22 bc PFb a FFca 则 22 2ba, 由双曲线性质可得: 222 cab 可得: 22 3ca 故双曲线的离心率为3 c e a 故选:A. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解,其中求双曲线的离心率(或范围),常见有两种方 法,方法一:求出
9、 , a c ,代入公式 c e a ;方法二:只需要根据一个条件得到关于, ,a b c的齐次式,转化 为 , a c的齐次式,然后转化为关于e的方程,即可得e的值(范围) 8. 对于函数 yf x, 若存在区间 , a b, 当,xab时的值域为,0ka kb k , 则称 yf x为k倍 值函数.若 2 x f xex是k倍值函数,则实数k的取值范围是( ) A. 1,e B. 2,e C. 1 ,e e D. ,e e 【答案】B 【解析】 【分析】 可看出 yfx在定义域R内单调递增,可得出, a b是方程2 x exkx的两个不同根,从而得出 2 x e k x ,通过求导,求出2
10、 x e x 的值域,进而可得到k的范围 【详解】解: yf x在定义域R内单调递增, ( ),( )f aka f bkb, 即2,2 ab eaka ebkb, 即, a b是方程2 x exkx的两个不同根, 2 x e k x , 设 2 (1) ( )2,( ) xx eex g xg x xx , 01x时,( )0g x ;1x 时,( )0g x , 1x 是( )g x的极小值点, ( )g x 的极小值为:(1)2ge, 又x趋向 0时,( )g x趋向;x趋向时,( )g x趋向, 2ke 时,y k 和( )yg x的图象有两个交点,方程2 x e k x 有两个解,
11、实数k的取值范围是2,e 故选 B 【点睛】本题考查了对k倍值函数的理解,根据导数符号判断函数极值点的方法,考查了推理能力和计算 能力,属于难题 二、多选题:本大题共二、多选题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.请把答案填在答卷纸相应位置上请把答案填在答卷纸相应位置上. 9. 已知函数( )sin(3 )f xx 22 的图象关于直线 4 x 对称,则( ) A. 函数 12 fx 为奇函数 B. 函数 f x在 12 3 , 上单调递增 C. 若 12 2f xf x ,则 12 xx的最小值为 3 D. 函数 f x的图象向右平移 4 个单位长度得到函数
12、cos3yx 的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】 利用( )sin(3)f xx的图象关于直线 4 x 对称,即可求出的值,从而得出 f x的解析式,再利用 三角函数的性质逐一判断四个选项即可. 【详解】因为( )sin(3)f xx的图象关于直线 4 x 对称, 所以3 42 kkZ , 得 4 k ,kZ,因为 22 ,所以0, 4 k , 所以( )sin 3 4 f xx , 对于 A:sin 3sin3 12124 fxxx ,所以 12 fx 为奇函数成立,故选项 A正确; 对于 B: 12 3 x ,时, 3 0, 4 3 4 x ,函数 f x在 12 3 ,上不是单调函
13、数;故选项 B 不正确; 对于 C:因为 max1f x, min1f x ,又因为 12 2f xf x ,所以 12 xx的最小值为半个周 期,即 21 323 ,故选项 C 正确; 对于 D:函数 f x的图象向右平移 4 个单位长度得到 sin 3sin 3sin3 44 yxxx ,故选项 D不正确; 故选:AC 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式,考查了三角函数平移变换、三角函数的周 期、单调性、最值,属于中档题 10. 2020年初,突如其来的疫情改变了人们的消费方式,在目前疫情防控常态化背景下,某大型超市为了解 人们以后消费方式的变化情况,更好的提高服务质量
14、,收集并整理了本超市 2020年 1 月份到 8月份的人们 线上收入和线下收入的数据,并绘制如下的折线图根据折线图,下列结论正确的是( ) A. 该超市这 8 个月中,线上收入的平均值高于线下收入的平均值 B. 该超市这 8 个月中,线上收入与线下收入相差最小的月份是 7月 C. 该超市这 8 个月中,每月总收入与时间呈现负相关 D. 从这 8 个月的线上收入与线下收入对比来看,在疫情逐步得到有效控制后,人们比较愿意线下消费 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据折线图逐个判断每个选项的正误. 【 详 解 】 对 于A , 由 折 线 图 可 知 , 该 超 市 这8 个 月 中 , 线 上
15、 收 入 的 平 均 值 为 3.5 10.5 12 11.5 10.599.55.5 9 8 ,线下收入的平均值为 12.5345.56.5710.512 7.625 8 ,可知97.625,因此线上收入的平均值高于线下收入的 平均值,故 A 正确; 对于 B,由折线图可知,该超市这 8 个月中,线上收入与线下收入相差最小的月份是 7 月,相差 1 万元,故 B正确; 对于 C,由折线图可知,该超市这 8 个月中,每月总收入与时间呈现正相关,故 C错误; 对于 D,由折线图可知,从这 8 个月的线上收入与线下收入对比来看,在疫情逐步得到有效控制后,人们 比较愿意线下消费,故 D正确. 故选:
16、ABD. 【点睛】本题考查折线统计图的分析和理解,属于基础题. 11. 如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,P为 BC 的中点,Q为线段 1 CC上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是( ) A. 当 1 0 2 CQ时,S 为四边形; B. 当 1 2 CQ =时,S 不为等腰梯形; C. 当 3 4 CQ =时,S 与 11 C D的交点R满足 1 1 3 C R =; D. 当 1CQ 时,S 的面积为 6 2 . 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由题意作出满足题意的截面,由线面、面面的位置关系对四个选项逐一判断即可得解
17、. 【详解】设截面 S与 1 DD的交点为 M,分别连接 AM、MC、AP、PQ, 由平面与平面平行的性质定理知/AM PQ, 当 1 0 2 CQ时,则点 M在线段 1 DD上(不包括端点),S 为四边形,选项 A 正确; 当 1 2 CQ =时,点 M 与点 1 D重合,四边形 1 APQD为等腰梯形,选项 B错误; 当 3 4 CQ =时,延长 1 DD至 N,使 1 1 2 D N , 连接 AN 交 11 AD于点 S,连接 NQ交 11 C D于点 R,连接 SR, 可证 11 NRDQRC,可得 1111 :1:2C R D RCQ D N, 故可得 1 1 3 C R =,选项
18、 C正确; 当1CQ 时,截面 S为菱形,其对角线长分别为 2,3,则 S的面积为 16 23 22 ,选项 D正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查线面、面面的位置关系,考查逻辑思维能力和分析计算能力,考查空间想象能力,属于 常考题. 12. 关于函数( )sin x f xeax,,x ,下列结论正确的有( ) A. 当1a 时, ( )f x在 0, (0)f处的切线方程为2 10 xy B. 当1a 时, ( )f x存在惟一极小值点 0 x C. 对任意0a, ( )f x在 ,上均存在零点 D. 存在0a , ( )f x在 ,有且只有一个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】
19、 逐一验证,选项 A,通过切点求切线,再通过点斜式写出切线方程;选项 B,通过导数求出函数极值并判断 极值范围,选项 C、D,通过构造函数,将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】对于 A:当1a 时,( )sin x f xex,,x , 所以(0)1f,故切点为0,1, ( )cos x fxex ,所以切线斜(0)2kf , 故直线方程为120yx , 即切线方程为:210 xy ,故选项 A正确; 对于 B:当1a 时,( )sin x f xex,,x , ( )cos x fxex ,( )sin0, x fxexx 恒成立, 所以 ( )fx 单调递增,又20 2 f , 3
20、3 44 332 cos0 442 fee , 所以存在 0 3 , 42 x ,使得 0 0fx, 即 0 0 cos0 x ex,则在 0 ,x上,( )0fx,( )f x单调递减, 在 0, x 上,( )0fx,( )f x单调递增, 所以存在惟一极小值点 0 x,故选项 B 正确; 对于 C、D:( )sin x f xeax,x , 令( )sin0 x f xeax得: 1sin x x ae , 则令 sin ( ) x x F x e ,,x , 2sin() cossin 4 ( ) xx x xx F x ee ,令( )0F x , 得: 4 xk ,1k ,kZ,
21、由函数2sin() 4 yx 图象性质知: 5 2,2 44 xkk 时,2sin()0 4 x , sin ( ) x x F x e 单调递减, 5 2,22 44 xkk 时,2sin()0 4 x , sin ( ) x x F x e 单调递增, 所以当 5 2 4 xk ,1k ,kZ时,( )F x取得极小值, 即当 35 , 44 x 时,( )F x取得极小值, 又 35 44 35 sinsin 44 ee ,即 35 44 FF , 又因为在 3 , 4 , sin ( ) x x F x e 单调递减, 所以 3 4 32 ( ) 42 F xFe , 所以 2 4 x
22、k ,0k ,kZ时,( )F x取得极大值, 即当 9 44 x 、, 时,( )F x取得极大值. 又 9 44 9 sinsin 44 ee ,即 4 2 4 2 F xF e , 当,x 时, 3 4 4 22 ( ) 2 2 eF x e , 所以当 3 4 12 2 e a ,即3 4 2 a e 时, ( )f x在 ,上无零点,所以选项 C 不正确; 当 3 4 12 2 e a 时,即4 2ae 时, 1 y a 与 sin x x y e 的图象只有一个交点, 即存在0a , ( )f x在 ,有且只有一个零点, 故选项 D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题考查函数的极值
23、、切线、零点的问题,属于较难题. 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.请把答案填在答卷纸相应位置上请把答案填在答卷纸相应位置上. 13. 在2 n x的展开式中,只有第三项的二项式系数最大,则含 x项的系数等于_. 【答案】32 【解析】 【分析】 根据二项展开式的性质,求得4n,得出展开式的通项为 4 14 ( 2)r rr r TC x ,结合通项,即可求解. 【详解】由题意,在2 n x的展开式中,只有第三项的二项式系数最大, 根据二项展开式的性质,可得13 2 n ,解得4n, 所以该二项式为 4 2x,则展开式的通项为
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