初三数学讲义直升班 第7讲 二次函数的图象判断和几何变换（教师版）

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1、第第 7 7 讲讲 二次函数的图象二次函数的图象判断判断和几何变换和几何变换 模块模块一：一：二次函数的图象判断二次函数的图象判断 1二次函数图象与系数的关系 （1）a决定抛物线的开口方向 当0a 时，抛物线开口向上；当0a 时，抛物线开口向下反之亦然 （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异” 当0b 时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y 轴的右侧 （3）c的大小决定抛物线与y轴交点的位置 当0c 时，抛物线与y轴的交点为原点；当0c 时，交点在y轴的正半轴；当0c 时，交点在y轴的负 半轴 2二次函数的图象信息 （1）根据抛物线

2、的开口方向判断a的正负性 （2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性 （3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性 （4）根据抛物线与x轴有无交点，判断 2 4bac的正负性 （5）根据抛物线的对称轴可得 2 b a 与1的大小关系，可得2ab的正负性 （6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c的等式 （7）根据抛物线的顶点，判断 2 4 4 acb a 的大小 模块二：二次函数的几何变换模块二：二次函数的几何变换 1二次函数图象的平移 平移规律：在原有函数的基础上“左加右减” ， “上加下减” 2二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 （1）关于x轴对称 关于

3、x轴对称后，得到的解析式是 2 ()ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是 2 ()ya xhk （2）关于轴对称 关于y轴对称后，得到的解析式是 2 ()ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是 2 ()ya xhk （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是 2 ()ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是 2 ()ya xhk （4）关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ()ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ()ya xhk （5）关于点( , ) m n对称 2 ()ya xhk关于点( , ) m n对称后，得到的解析式是 2 (2 )2ya

4、 xhmnk 3二次函数图象的翻折 2 yaxbxc 2 yaxbxc y 2 yaxbxc 2 yaxbxc 2 yaxbxc 2 yaxbxc 2 yaxbxc 2 2 2 b yaxbxc a 函数的图象可以由函数通过关于x轴的翻折变换得到 具体规则为函数图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方 模块一模块一 二次函数的图象判断二次函数的图象判断 （1）二次函数 2 yaxbxc的图象如图 1-1，则一次函数()yab xac的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2） 二次函数 2 yaxbxc的图象如图 1-2， 则下列六个代数式：ab、

5、ac、abc、abc、2ab、2ab、 2 4bac中，其值为正的式子的个数是（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 （3） 二次函数 2 yaxbxc的图象如图 1-3， 则22abcabcabab _0 （填 “” 、 “” 或“=” ） 图 1-1 图 1-2 图 1-3 【解析】【解析】（1）B;（2）C； （3）由题意得0a ，01 2 b a ，0b ，20ab，20ab， 又当1x 时，0yabc ，当1x 时，0yabc ， 故原式()()(2)(2)2()0abcabcabababc 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解基本式子的正负性的判断，主要包括a，b

6、，c，2ab，2ab， 2 4bac， abc，abc等的正负性的判断 （1） 如图 2-1， 二次函数 2 yaxbxc的图象经过点( 1,2)， 下列结论： 420abc； 20ab； 2b ； 22 ()acb，其中正确的结论有_ （填序号） （2） 如图 2-2， 已知二次函数 2 yaxbxc的图象经过点(1,2)， 下列结论： 20ab； 0abc ； 1ac ； 2 84baac，其中正确结论的有_ （填序号） （3）（成外半期） 二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象如图 2-3 所示， 有下列 5 个结论： 0abc ； b a c； 420abc； 2 40bac；()

7、abm amb， （1m 的实数） ，其中正确的结论的有_.（填序 号） |( )|yf x( )yf x ( )yf x 例题 1 例题 2 O y x 1 -1 y O x y O x 图 2-1 图 2-2 图 2-3 【解析】【解析】（1）； （2）； （3）由图象可知，故准确； 当时，即bac，故错误； 由题意得，二次函数的对称轴为， 则和时的函数值一样的， 当时，故准确； 由图象知，二次函数的图像和x轴有两个不同的交点，故，故准确； 由题意对称轴为，则，得, 所以， ，故准确. 故. 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解第二类常见式子的情况判断，42abc，ac，b以及

8、2 4 4 acb a 及变形的 式子. （1） （嘉祥月考）已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的图像如图 3-1 所示，它与x轴两个交点分别为( 1,0)， 3 0（ ， ）对于下列命题：20ba；0abc ； 1 0 2 ab c ；80ac其中正确的有_ （填 序号） （2）如图 3-2，抛物线 2 (0)yaxbxc a的对称轴是1x ，且过点 1 , 0 2 ，有下列结论：0abc ； 240abc；251040abc；320bc其中正确的结论有_ （填序号） （3）如图 3-3，已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象与x轴交于点( 1 0A ，），对称轴为直线1x ，

9、与y 轴的交点B在(0, 2)和(0,3)之间 （包括这两点） ，下列结论：当3x 时，0y ；30ab； 2 1 3 a ； 2 48acba；其中正确的结论是_ （填序号） 0a 0b 0c 0abc 1x 0yabc 1x 0 x 2x 2x 4 +20yabcc 2 40bac 1x 1 2 b x a 2ba aba ()(2)m ambm ma 2 ()(=(1)0m ambabma） 例题 3 图 3-1 图 3-2 图 3-3 【解析】【解析】（1）； （2）； （3）由题意得，( 1,0)A ，对称轴为直线1x ， 另外一个交点为(3,0)， 故准确； 由题意得，对称轴为1

10、2 b x a ， 2ba ，30aba， 故准确； 由抛物线与x轴的两个交点坐标分别是( 1,0)A ，(3,0)， 0 930 abc abc ， 解得 3 2 3 c a bc ， 又23c， 2 1 3 a ，故准确； 2 4 2 4 acb a ， 故 2 48acba，故错误； 故选 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解通常题目中给定某些信息，然后去判断只含有a和b，a和c，b和c的式子 的情况，消元 （1） 已知二次函数yaxbxc 的图象如图 4-1 所示， 顶点为(, ) ， 下列结论： abc ； bac ； a ；abc 其中正确结论的个数是_ （填序号） （2

11、）二次函数 2 yaxbxc的图象如图 4-2 所示，给出下列结论：20ab；若11mn ，则 b mn a ；3| | 2| |acb；bac，其中正确的结论有_ （填序号） y A O x x 例题 4 图 4-1 图 4-2 【解析】【解析】（1）； （2） 模块二 二次函数的几何变换 （1）二次函数 2 241yxx的图象如何移动就得到 2 2yx的图象（ ） A向左移动 1 个单位，向上移动 3 个单位 B向右移动 1 个单位，向上移动 3 个单位 C向左移动 1 个单位，向下移动 3 个单位 D向右移动 1 个单位，向下移动 3 个单位 （2）一抛物线向右平移 3 个单位，再向下平

12、移 2 个单位后得抛物线 2 24yxx，则平移前抛物线的解析式为 _ （3）如果将抛物线 2 28yx向右平移a个单位后，恰好过点(3,6)，那么a的值为_ 【解析】【解析】（1）将配方得：， 要将二次函数的图象平移得到到，应选 C （2）先将得到的函数转化为顶点式 2 2(1)2yx，则先向上平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位 得到原抛物线解析式 2 2(2)4yx，即 2 284yxx （3）2 或 4 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的平移，二次函数的平移转化为顶点式，二次函数的平移即为顶点 的平移，也可以按照平移的规律 （1） 如图 6-1 所示， 已知抛

13、物线 0 C的解析式为 2 2yxx， 则抛物线 0 C的顶点坐标_； 将抛物线 0 C 每次向右平移 2 个单位，平移n次，依次得到抛物线 1 C、 2 C、 3 C、 n C（n为正整数） ，则抛物线 n C的解 析式为_ （2）如图 6-2，把抛物线 2 1 2 yx平移得到抛物线m，抛物线m经过点( 6,0)A 和原点(0,0)O，它的顶点为P， 它的对称轴与抛物线 2 1 2 yx交于点Q，则图中阴影部分的面积为_ y 1 2 O x 11 y xO 2 241yxx 2 2(1)3yx 2 2(1)3yx 2 2yx 例题 5 例题 6 图 6-1 图 6-2 【解析】【解析】（1

14、），. （2）过点P作PMy轴于点M，抛物线平移后经过原点O和点( 6,0)A ， 平移后的抛物线对称轴为3x ， 得出二次函数解析式为： 2 1 (3) 2 yxh， 将 ( 6,0)A 代入得：，解得：， 点P的坐标是， 根据抛物线的对称性可知， 阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积， 已知二次函数 2 21yxx，求： （1）与此二次函数关于x轴对称的二次函数解析式为_； （2）与此二次函数关于y轴对称的二次函数解析式为_； （3）与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为_ 【解析】【解析】（1）； （2）； （3） 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的对称，二次函

15、数的对称转化为顶点式，二次函数的对称即为顶点 的对称，也可以按照对称的规律 已知二次函数 2 441yaxaxa的图象是 1 C （1）求 1 C关于点(1,0)R中心对称的图象 2 C的解析式； （2）设曲线 1 C、 2 C与y轴的交点分别为A，B，当| 18AB 时，求a的值 【解析】【解析】（1）设 1 C上任意一点为 11 ( ,)xy， 2 C上关于(1,0)R中心对称的点为 22 (,)xy， 则有 12 12 1212 1 2 2 0 2 xx xx yyyy 由点 11 ( ,)xy在 2 441yaxaxa的图象上可知， 2 111 441yaxaxa， 即 2 222 (

16、2)4 (2)41yaxaxa x y O Cn C1C0 (1,1) 22 (42)44yxnxnn 9 0 2 h 9 2 h 9 3 2 ， 27 2 S 2 21yxx 2 21yxx 2 21yxx 例题 7 例题 8 即 2 222 (2)4 (2) 1 4ya xa xa 故图象 2 C的解析式为： 22 (2)4 (2) 1 481 16ya xa xaaxaxa （2）令 2 441yaxaxa中0 x ， 可得41ya，故(0,41)Aa； 令 2 81 16yaxaxa 中0 x ， 可得1 16ya ，故(0,1 16 )Ba 又| 18AB ， 故202181aa或

17、4 5 a 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的对称,关于某点对称，可以按照顶点的对称，也可以按照点的对称 规律 作出 2 |5 |yxx的函数图象 【解析】【解析】将位于x轴下方的图象翻折到x轴上方即可,如图； （成外周考）已知关于x的一元二次方程 2 2410 xxk 有实数根，k为正整数 （1）求k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数 2 241yxxk的图象向下平移 8 个单位，求平 移后的图象的解析式； （3） 在（2）的条件下， 将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折， 图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象请你结合这个

18、新的图象回答：当直线 1 () 2 yxb bk与此图象有两个公共点时，b的取值 范围 【解析】【解析】（1）由题意得，168(1)0k 3k k为正整数，1k ，2，3 （2）当1k 时，方程 2 2410 xxk 有一根为零； 当2k 时，方程 2 2410 xxk 无整数根； 当3k 时，方程 2 2410 xxk 有两个非零的整数根 综上所述，1k 和2k 不合题意，舍去；3k 符合题意 当3k 时，二次函数为 2 242yxx，把它的图象向下平移 8 个单位得到的 图象的解析式为 2 246yxx y x O 例题 9 例题 10 （3）设二次函数 2 246yxx的图象与x轴交于A

19、、B两点，则( 3,0)A ，(1 0)B ， 依题意翻折后的图象如图所示 当直线 1 2 yxb经过A点时，可得 3 2 b ； 当直线 1 2 yxb经过B点时，可得 1 2 b 由图象可知，符合题意的(3)b b的取值范围为 13 22 b 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的翻折 模块一 二次函数的图象判断 （1）二次函数 2 yaxbxc的图象如图 1-1，则一次函数 b yax c 的图象不经过第_象限 （2） 如图 1-2， 二次函数 2 yaxbxc的图象经过点( 1,2)和(1,0)， 给出五个结论： 0abc ； 20ab； 1ac；1a ；9640ab

20、c其中结论正确的是_ （3） 二次函数 2 yaxbxc的图象如图 1-3， 小丹观察得出了下面五条信息： 0c ； 0abc ； 0abc； 230ab；40cb，其中结论正确的是_ 图 1-1 图 1-2 图 1-3 （1）由图象可知， 一次函数的图象不经过第四象限. （2）； O y x 0a 0b 0c 0 b c b yax c 演练 1 （3） （1） 已知二次函数 2 yaxbxc的图象如图 2-1 所示， 有下列结论： 2 40bac； 0abc ； 20ab； 930abc；80ac其中结论正确的是_ （填序号即可） （2）如图 2-2，抛物线 2 yaxbxc的图象交x轴于

21、 1 ( ,0)A x、(2,0)B，交y轴正半轴于C，且OAOC下 列结论：0 ab c ；1acb； 1 2 a ；22bc，其中结论正确的是_ 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】（1）； （2） 模块二 二次函数的几何变换 （1） （树德实验半期）把抛物线 2 yx向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后的抛物线的解析 式为_ （2）将函数 2 yxx的图象向右平移(0)a a个单位，得到函数 2 32yxx的图象，则a的值为_ （3）如图，在平面直角坐标xOy中，抛物线 1 C的顶点为( 1,4)A ，且过点( 3,0)B ： 将抛物线 1 C向右平移 2 个单位

22、得抛物线 2 C，则抛物线 2 C的解析式_； 写出阴影部分的面积S _ 【解析】【解析】（1） 2 (1)3yx； （2）2； （3） 2 23yxx，8 演练 2 演练 3 已知二次函数 2 45yxx （1）指出这个二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）把这个二次函数的图像上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数yx 的图像上，求此时二次函数的 解析式 【解析】【解析】（1） 22 45(2)1yxxx ， 二次函数图象开口向下，对称轴是直线2x ，顶点坐标是( 21), （2）设此时二次函数的解析式为 2 45yxxm ，此时，顶点坐标为( 2,1)m 由题意得：1( 2)m

23、 解得：3m ， 2 42yxx （1）在平面直角坐标系中，先将抛物线 2 2yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴 对称变换，则经两次变换后所得的新抛物线的解析式为_ （2）已知二次函数 2 34yxx的图象，将其函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持 不变，得到一个新的图象，结合图象写出当直线(1)yxn n与这个新图象有两个公共点时，n的取值范围为 _ 【解析】【解析】（1）； （2）令 2 340 xx，解得： 1 1x ， 2 4x ， 故A，B两点的坐标分别为( 1,0)A ，(4,0)B 如图，当直线(1)yxn n，经过A点时，可得1n ， 当直线yxn经过B点时，可得4n ，n的取值范围为41n 2 2yxx 演练 4 演练 5 y x O y x O A B