初三数学讲义直升班 第12讲 圆二（教师版）

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1、第第 1212 讲讲圆（二）圆（二） 模块一模块一 弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距、圆周角、弦心距之间的关系之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 推论：推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等 总结：总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系 1弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角 相等 2弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等 3弧和弦不可以相互转化，弧相

2、等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦 对应的弧有两条 模块二模块二 基本定理综合基本定理综合 模块三模块三 点、直线和圆的位置关系初步点、直线和圆的位置关系初步 1 1点和圆的位置关系有点和圆的位置关系有三种三种： 点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定设O的半 径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外dr； 点在圆上dr； 点在圆内dr. 2 2三角形的外接圆三角形的外接圆 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆 （2）外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直

3、平分 线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形 注意：注意： （1）外心的确定：三条垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在它的内部；直角三角形的外心在斜边中点 处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半） ；钝角三角形的外心在它的外部 （2）外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径 3 3直线和圆的关系有三种：相交、相切和相离直线和圆的关系有三种：相交、相切和相离 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与O相交 直线与圆有两个交点， 直线叫做 圆的割线 r O O d l dr 直线l与O相切 直线与圆有唯一交点， 直线叫做 圆的切线，交点叫做圆的切点 r O O d l

4、 dr 直线l与O相离 直线与圆没有交点 r O O d l dr 模块一 弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 （1）如图 1-1，已知O中，ABAC，65C，则A_ （2）如图 1-2，=BC AD，弦AB与弦CD交于点E，90CEB，则CAB等于_ （3）如图 1-3，ABC中，70A，O截ABC的三边所截得的弦都相等，则BOC_ A BC O g A B C g E D A B C g O 图 1-1 图 1-2 图 1-3 【解析】【解析】（1）50； （2）45； （3）125 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系 已知：如图，MN

5、是O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，P是MN上一动点，O的半 径为 1，则PAPB的最小值是_ O M N A B P O M N A B P B 【解析】【解析】作B点关于MN的对称点B，连结AB与MN交于点P， 易证得，此时PAPB取得最小值 根据圆的对称性，B点在O上，且B NBN， A是半圆的三等分点， 1 3 ANMAN，60AON，B是AN的中点， 1 30 2 BONAON，30B ON，90AOBAONB ON ， O半径为 1，1OAOB，22ABOA，PAPB的最小值为2 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查弧和圆心角的关系，综合将军饮马 例题

6、 1 例题 2 例题 3 （1）在同圆中，CD所对的圆心角小于180，且2ABCD（AB可以是优弧） ，那么弦AB和弦CD的大小关系 为（ ） AABCD BABCD CABCD D无法确定 （2） （嘉祥月考）如图，在O中，2ABCD，那么（ ） A2ABCD B2ABCD C2ABCD DAB与2CD的大小关系不能确定 【解析】【解析】（1）D； （2）如图所示，作DECD，则2CECD， 在CDE中CDDECE，2CDCE， 2ABCD，ABCE， ABCE，即2ABCD故选A 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查弧和弦的关系 模块二模块二 基本定理综合基本定理综合 已知：在半

7、径为2 5的Oe内，有互相垂直的两条弦AB，CD，它们相交于P点 （1）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EFAD （2）若8AB ，6 2CD ，求O、P两点之间的距离 【解析】【解析】（1）F为BC的中点，CPB为直角三角形，PFFC，CPFC 又AC ，DPECPF ，ADPE 90AD ，90DPEDEFAD （2）作OMAB于M，ONCD于N，OMPN为矩形 连接OB，OD，OP，由垂径定理，得4AMBM，3 2CNDN 由勾股定理，得2OM ，2ON 6OP 如图所示，圆O是ABC的外接圆，BAC与ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连结BD、 CD （

8、1）求证：BDCDDI （2）若圆O的半径为 10cm，120BAC，求BDC的面积 P E D O B F C A N M P E D O B F C A 例题 4 例题 5 A C D B O A C D B O E B A C D I gO B A C D I gO 【解析】【解析】（1）AD平分BAC，BADCAD ，BDCD，BDCD DBCDAC ，BADDBC ， BI平分ABC，ABICBI ， BADABIDBCCBI ， BADABIBID，DBIBID，BDDI，BDCDDI （2）连接BO、DO， 120BAC，60BAD， 120BOD，60BCD， BDCD，BCD

9、是等边三角形， 10cmBODO，10 3cmBD ， 22 3 (10 3)75 3cm 4 BCD S 如图，已知ABC是O的内接三角形，ABAC，点P是AB的中点，连接PA，PB，PC （1）如图 6-1，若60BPC求证：3ACAP （2）如图 6-2，若 24 sin 25 BPC，求tanPAB的值 图 6-1 图 6-2 【解析】【解析】（1）证明：BCBC，60BACBPC 又ABAC，ABC为等边三角形 60ACB，点P是AB的中点， 30ACP又60APCABC ，90PAC 在RtPAC中，30ACP，3ACAP （2）解：连接AO并延长交PC于E，交BC于F，过点E作E

10、GAC于点G，连接OC ABAC，AFBC，BFCF 点P是AB的中点，ACPPCB EGEF 图 图 P A B C C B P A O O 图 图 P A B C C B P A O O 例题 6 BPCFOC 24 sinsin 25 FOCBPC 设24FCa，则25OCOAa，7OFa，32AFa 在RtAFC中， 222 ACAFFC，40ACa 在RtAGE和RtAFC中，sin EGFC FAC AEAC ， 24 3240 EGa aEGa 12EGa 121 tantan 242 EFa PABPCB CFa 在ABC中，ACBC，M是它的外接圆上包含点C的AB的中点，AC

11、上的点X使得MXAC，求证： AXXCCB 解法一：过点M作/MN AC交O于1C ， 过点N作NEAC于E ANCM，AECX， AMBM，MNBC MNBC，BCEX，AXXCCB； 解法二：如图，在XA上取一点D，使得XDXC， 连接MC，MB，MD，MA， 由XCXD，XMCD，MDMC， 又M是圆上包含点C的弧AB的中点 MAMB，又MBCMAD ， MDCMCDBAM ，AMDBMC ， MADMBC，ADBC AXADDX，AXXCBC； 解法三：如图，过M点作MEBC交BC延长线于E， 连结MA、MB、MC， M是圆上包含点C的弧AB的中点， MAMB， MXAC，MEBC，

12、90AXMBEM ， 又MAXMBE， AMXBME， MXME，AXBE MCEMABMBAMCA ， MCXMCE， CXCE， AXBEBCCEBCCX （类似此方法还可以“延长BC到E，使CECX，连结ME” ） 解法四：如图，延长AC到F，使FXAX，连结MA、MB、MC、MF， M是圆上包含点C的弧AB的中点， 例题 7 C B P A O F G E A O XM B C E N A O XM B C D A O XM B C A O XM B C E MAMB，MABMBA， MXAC，AXFX， MAMF， MBMF，MAFMFA， MACMBC ，MBCMFC ， MCAM

13、FCCMF ，MCAMBAMAB ， MABMFCCMF ， BACBMC ，CBMCAM ， MABBACCAMBMCCBM ， MFCCMFBMCCBM ， BMCCMF ， MBCMFC，CFBC， AXFXXCCFXCBC 此法还可以连接FB，利用等腰三角形的性质可以证得结论 【教师备课提示】【教师备课提示】此题为阿基米德折弦定理，还有很多种不同的解法，老师们可以引导学生拓展思维，多总结 方法. 模块三 点、直线和圆的位置关系 （1）已知矩形ABCD的边6AB ，8AD 如果以点A为圆心作A，使B、C、D三点中在圆内和在圆外都至 少有一个点，那么A的半径r的取值范围是_ （2）（七中育

14、才月考） 一个已知点到圆周上的点的最大距离为 5cm， 最小距离为 1cm， 则此圆的半径为_ 【解析】【解析】（1）610r； （2）当点在圆外时， 51 2cm 2 r ，当点在圆内时， 51 3cm 2 r 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查点和圆的位置关系 （1）确定已知弧AB所在圆的圆心 （2）在ABC中，90C，3cmAC ，4cmBC ，则它的外接圆的直径为_ （3）ABC中，10ABAC，12BC ，则其外接圆的半径为_ 【解析】【解析】（1）在AB上任取一点C，连接AC、BC 作弦AC、BC的中垂线，他们的交点即为圆心O 例题 8 例题 9 B A A O XM

15、B C F （2）5cm； （3） 25 4 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查确定圆的条件和三角形的外接圆 （1）如图 10-1，ABC为等边三角形，6AB ，动点O在ABC的边上从点A出发沿着ACBA的 路线匀速运动一周，速度为 1 个长度单位每秒，以O为圆心，3为半径的圆在运动过程中与ABC的边第二 次相切时是出发后第_秒 （2）如图 10-2，直线AB、CD相交于点O，30AOC，半径为 1cm 的P的圆心在直线AB上，开始时， 6cmPO 如果P以 1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当P的运动时间t(秒)满足条件 时，P与直线CD相交 C B A O A P D

16、B O C 图 10-1 图 10-2 【解析】【解析】（1）4； （2）48t 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查直线和圆的位置关系 模块一 弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 （1）如果两条弦相等，那么（ ） A这两条弦所对的弧相等 B这两条弦所对的圆心角相等 C这两条弦的弦心距相等 D以上答案都不对 （2）如图，在Oe中，ABAC，40A ，则B_ 例题 10 演练 1 A BC g O 【解析】【解析】（1）D； （2）70 模块二 基本定理综合 如图，AC为O的直径，4AC ，B、D分别在AC两侧的圆上，60BAD，BD与AC的交点为E （1）求点O到BD的距离及O

17、BD的度数； （2）若2DEBE，求CD的长 【解析】【解析】（1）作OFBD于点F，连接OD， 60BAD，2120BODBAD ， 又OBOD，30OBD，AC为O的直径，4AC ， 2OBOD1OF ，即点O到BD的距离等于 1 （2）OBOD，OFBD于点F，BFDF 由2DEBE，设2BEx， 则4DEx，6BDx，EFx，3BFx 3BF ， 3 3 x ， 3 3 EF ， 在RtOEF中，90OFE，1OF ， 3 3 EF ， 60OED，30BOE，90DOC， 45C22 2CDOC 已知：如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的Oe分别交BC、AC于点D、E，连接EB

18、交OD于点F （1）求证：ODBE （2）若5DE ，5AB ，求AE的长 C A B D O E F C A B D O E F 【解析】【解析】（1）连接AD， AB是Oe的直径，90ADBAEB ， ABAC，CDBD， OAOB，/OD AC， 演练 2 演练 3 B A C D O E F B A C D O E ODBE （2）方法一：90CEBAEB ，CDBD，5AB ，5DE ， 5ACAB，22 5BCDE, 在ABE、BCE中，90CEBAEB ， 则有 2222 ABAEBCEC， 设AEx，则 2222 5(2 5)(5)xx， 解得：3x ，3AE 方法二：ODBE

19、，BDDE，BFEF，设AEx， 1 2 OFx， 在OBF、BDF中，90OFBBFD ， 2222 BDDFOBOF， 222 2 5151 ( 5) 2222 xx ， 解得：3x ，3AE 方法三：BEAC，ADBC， 11 22 ABC SBC ADAC BE ， BC ADAC BE，22 5BCDE，5ACAB，4BE ，3AE 已知点A、B、C、D顺次在O上，ABBD，BMAC于M，求证：AMDCCM A B C M g O D A B C M g O D N A B C M g O D P 【解析】【解析】解法一：补短法 过B点作BNCD交DC延长线于N BMAC，BNCD，

20、90AMBDNB ， ABDB，BAMBDN ，ABMDBN， AMDN，BMBN， BCNBADBDABCM ， BCMBCN，CMCN， AMDNDCCNDCCM （或延长DC到N，使DNAM，连结BN，也可证得结论 ） 解法二：截长法 在AM上取一点P，使得APDC，连结BP 则很容易证明ABPDBC，BPBC， BMAC，PMCM， AMAPPMDCCM 演练 4 模块三 点、直线和圆的位置关系 （1）定义：定点A与O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与O之间的距离现有一矩形ABCD如 图，14cmAB ，12cmBC ，K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G， 则点A

21、与K的距离为_ B EA F K CGD （2）一个已知点到圆周上的点的最大距离为 8cm，最小距离为 2cm，则此圆的半径_ （3）如图，已知30MON，在ON上有一点P，5cmOP ，若以P点为圆心，r为半径作圆，当射线OM与 P只有一个公共点时，半径r的取值范围是_ 【解析】【解析】（1）连结KE、AK， 由题意可知K的半径为 6cm，EKAB，6cmBE ， 8cmAE ， 22 10cmAKAEEK， 点A与K的距离为1064cm （2）5cm 或 3cm； （3） 5 2 r 或5r 已知ABC中，ABAC，D是ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合） ，延长BD至E （1）

22、求证：AD的延长线平分CDE； （2）若30BAC，ABC中BC边上的高为23，求ABC外接圆的面积 C A B D E F C A B DE gO H F 【解析】【解析】（1）如图，设F为AD延长线上一点 D在ABC外接圆上（A、B、C、D四点共圆） CDFABC 又ABAC，ABCACB ， 且ADBACB ，ADBCDF 对顶角EDFADB，故EDFCDF ， K G F E DC BA 演练 5 演练 6 N M P O 即AD的延长线平分CDE （2）设O为外接圆圆心， 连接AO交BC于H，则AHBC 连接OC，由题意15OACOCA ，75ACB，60OCH 设圆半径为r，则 3 23 2 rr，得2r ，外接圆的面积为4