初三数学讲义直升班 第9讲 二次函数的线段最值和面积最值（教师版）

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1、3 -9 -6 Ox y B A 第第 9 9 讲讲 二次函数的线段最值和面积最值二次函数的线段最值和面积最值 模块一：二次函数的线段最值模块一：二次函数的线段最值 1定点在同侧，需要对称转化为异侧； 2动线段端点不重合，需要平移转化到同一点 模块二：二次函数的面积最值模块二：二次函数的面积最值 1铅垂法： 1 2 S 水平宽 铅垂高 分三步走：分三步走： （1）过动点作铅垂线，交另外两个定点连成的直线于一点； （2）设出点坐标，表示线段长； （3）利用二次函数配方求最值 2切线法：直线与抛物线相切，即联立解析式使0= 模块一模块一 二次函数的线段最值二次函数的线段最值 如图，已知抛物线 2

2、4yaxxc经过点(0,6)A和(3,9)B. （1）求出抛物线的解析式； （2）点( ,)P m m与点Q均在抛物线上（其中0m ） ，且这两点关于抛物线对称轴 对称，求m的值及点Q的坐标； （3）在满足（2）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得QMA的周 长最小 【解析】【解析】（1）由题意得， 抛物线的解析式为：； （2）由点( ,)P m m在抛物线上得， 6 9129 c ac 1 6 a c 2 46yxx 例题 1 A B A l P A B 1 l 2 l P 2 P 1 P O O Q 2 l 1 l A P A B B A l B PQ B B A A Q d P

3、C BA O x y ，即， 或（舍去） ， 6, 6P （）， 点P，Q关于对称轴2x 对称，( 2,6)Q ； （3）连接AQ，AP，直线AP与对称轴2x 相交于点M， 由于P，Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知， 此时的交点M，能够使得QAM的周长最小. 设直线PA的解析式， 直线PA的解析式为：， 设点 (2, )Mn，则有 此时点(2,2)M能够使得AMQ的周长最小 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解线段最值的方法及基本的计算 如图，已知二次函数 2 1 (0) 2 yxbxc c 的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且 2 OCOA OB （1）求

4、c的值； （2）若ABC的面积为 3，求该二次函数的解析式； （3）设D是（2）中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上 是否存在一点P使PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不 存在，请说明理由 【解析】【解析】（1）令 0y ，则 2 1 0 2 xbxc ， 即 2 220 xbxc，设 1 ( ,0)A x， 2 (,0)B x， 则 12 2xxb， 12 2xxc ，又(0, )Cc，且 2 OCOA OB，得 2 12 cx x， 2 2cc，又0c ，2c ； （2） 21 11 | | 22 ABC SAB OCxxc 22 21121 2 ()4416xxxxx

5、 xb， 当3 ABC S 时， 2 4163b ，得 2 25 4 b ，又0b ， 5 2 b ，该二次函数的解析式为 2 15 2 22 yxx ， （3） 过B作BEAC并延长BE到F使EFBE， 连续DF， 交直线AC于点P， 则所作的点P满足PBD 的周长最小由题意得，(1,0)A，(4,0)B， 5 9 , 2 8 D ， 1OA，4OB ，2OC ， 90BEAAOC，BAEOAC， EABOAC， AEOC ABAC ， 3 5 5 AE ， 6 5 5 BE ， 12 5 5 BF ， 同理，由RtRtFHBAEB得， FHAE FBAB ， BHBE FBAB ， 2 4

6、6mmm 2 560mm 1 6m 2 1m ykxb 6 66 b kb 2 6 k b 26yx 2262n 例题 2 12 5 FH ， 24 5 HB ， 244 4 55 OH ， 4 12 , 55 F ， DF的解析式为： 1723 4411 yx ，又AC的解析式为22yx， 由 1723 4411 22 yx yx ，得 12 7 10 7 x y ， 点 12 10 , 77 P 为所求 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要练习线段最小值的难点计算 如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为( 2,0)A ，(0,0)O，(0,4)B，把AOB绕点O按顺 时

7、针方向旋转90，得到COD （1）求C、D两点的坐标； （2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中的抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方)，且1EF ，使四边形ACEF的周长最小， 求出E、F两点的坐标 【解析】【解析】（1）由旋转的性质可知：2OCOA，4ODOB C点的坐标是(0, 2)，D点的坐标是(4,0). （2）设所求抛物线的解析式为 2 yaxbxc. 由题意，得 420, 4, 1640. abc c abc ，解得 1 2 a ，1b ，4c . 所求抛物线的解析式为 2 1 4 2 yxx . （3）如图，只需求AFCE最短，抛物线 2 1 4

8、 2 yxx 的对称轴为1x . 将点A向上平移至 1( 2,1) A ，则 1 AFAE，作 1 A关于对称轴1x 的对称点 2(4,1) A， 连接 2 A C， 2 A C与对称轴交于点E，E为所求. 可求得 2 A C的解析式为 1 2 4 yx . 当1x 时， 7 4 y . 例题 3 y x OD C B A F E A2A1 y x OD C B A 点E的坐标为 7 1, 4 ，点F的坐标为 3 1, 4 ， 此时周长的最小值为2 2171 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要练习线段最小值的难点变形 模块二模块二 二次函数的面积最值二次函数的面积最值 如图，已知抛物线

9、经过点( 1,0)A 、(3 0)B ，、(0,3)C三点 （1）求抛物线的解析式 （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合） ，过M作MN/y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m 的代数式表示MN的长 （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说 明理由 【解析】【解析】（1）设抛物线的解析式为：(1)(3)ya xx，则： (0 1)(03)3a，1a ； 抛物线的解析式： 2 (1)(3)23yxxxx （2）设直线BC的解析式为：，则有： ，解得； 故直线BC的解析式： 则( ,3)M mm、 2 ( ,23)N mmm

10、； 故 22 23 (3)3 (03)Nmmmmmm - （3）如图； 11 () 22 BNCMNB SSMN ODDBMN OB ， 2 2 13327 (3 ) 3(03) 2228 BNC Smmmm ， 当时，的面积最大，最大值为 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解铅垂线法，三步走 如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，6OB ， 1 tan 3 ABO，将此三角形绕原点O逆 时针旋转90，得到DOC，抛物线 2 yaxbxc经过点A、B、C （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，是否存在一点P，使PCD得面积最

11、大？若存在， 求出PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由 ykxb 30 3 kb b 1 3 k b 3yx 3 2 m BNC 27 8 例题 4 例题 5 x y N M O C BA 【解析】【解析】（1）在RtAOB中， 1 tan 3 OA ABO OB ， 1 2 3 OAOB， 由题意得，90BOCAOD ，6OCOB，2ODOA， A、B、C的坐标分别为(2,0)，0 6（， ），( 6,0) 设抛物线解析式为(6)(2)ya xx， 6 ( 2)6a ，解得 1 2 a ， 抛物线解析式为 1 (6)(2) 2 yxx ，即 2 1 26 2 yxx ； （2）设直线C

12、D的解析式为ykxb， 由题意得 60 2 kb b ，解得 1 3 2 k b ，直线CD的解析式为 1 2 3 yx， 过点P作PM/y轴交CD于M，如图 2，则 2 1 ,26 2 P ttt ， 1 ,2 3 M tt ， 22 1117 2624 2323 PMttttt ， PCDPCNPDN SSS ， 2 2 1337121 6712 22236 PCD SPMttt ， 60t ，且 3 2 2 a ，当 7 3 t 时， PCD S有最大值，最大值为121 6 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要让孩子们自己练习下，铅垂线的方法求面积 如图， 抛物线 2 3(0)ya

13、xaxc a与y轴交于C点， 与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧 点B的坐标为(1,0)， 3OCBO （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值； 例题 6 【解析】【解析】（1）(1,0)B，1OB ；3OCBO，(0,3)C； 2 3yaxaxc过(1,0)B、03C（， ）， 3 30 c aac ；解得 3 4 3 a c ，抛物线的解析式为： 2 39 3 44 yxx， （2）过点D作DM/y轴分别交线段AC和x轴于点M、N， 在 2 39 3 44 yxx中，令0y ，得方程 2 39 30 44 xx， 解这个方程，得

14、1 4x ， 2 1x ，( 4,0)A ， 设直线AC的解析式为ykxb， 04 3 kb b ，解得 3 4 3 k b ， AC的解析式为： 3 3 4 yx ， 15115 ()2 222 ABCADCABCD SSSDM ANONDM 四形边 ， 设 2 39 ,3 44 D xxx ， 3 ,3 4 Mxx ， 22 3393 33(2)3 4444 DMxxxx ， 当2x 时，DM有最大值 3， 此时四边形ABCD面积有最大值 27 2 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题可以讲解另外一种方法，切线法，让孩子们灵活运用 模块一 二次函数的线段最值 已知抛物线 2 1yaxbx

15、经过点(1,3)A和点(2,1)B （1）求此抛物线解析式； （2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值 演练 1 【解析】【解析】（1）依题意： 31 1421. ab ab ， ，解得 2 4. a b ， 抛物线的解析式为 2 241yxx （2）点(1,3)A关于y轴的对称点A的坐标是( 1,3)， 点(2,1)B关于x轴的对称点B的坐标是(2,1). 由对称性可知 ABBCCDDAABBCCDDAABA B， 由勾股定理可求5AB ，5A B 所以，四边形ABCD周长的最小值是55ABA B 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴

16、的正半轴上，OC在x轴的正半轴上， 2OAAB，3OC ，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别 交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方） ，且1PQ ，要使四边形BCPQ的周长最小，求出 P、Q两点的坐标 【解析】【解析】（1）由题意得(0,2)A、(2,2)B、(3,0)C. 设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为 2 2yaxbx. 则 4220 9320 ab ab ，解得 2 3 4 3 a b

17、 ， 2 24 2 33 yxx （2）由 22 2428 2(1) 3333 yxxx 顶点坐标为 8 1, 3 G 过G作GHAB，垂足为H 则1AHBH， 82 2 33 GH EAAB，GHAB， EA/GH， GH是BEA的中位线 FC B A D E O x y H G M F C B A D E O x y 演练 2 4 2 3 EAGH 过B作BMOC，垂足为M则MBOAAB 90EBFABM， 90EBAFBMABF RtRtEBAFBM 4 3 FMEA 321CMOCOM， 47 1 33 CFFMCM （3）要使四边形BCPQ的周长最小，可将点C向上 平移一个单位，再做

18、关于对称轴对称的对称点 1 C， 得点 1 C的坐标为( 1,1)可求出直线 1 BC的解析式为 14 33 yx 直线 14 33 yx与对称轴1x 的交点即为点Q，坐标为 5 1, 3 点P的坐标为 2 1, 3 模块二 二次函数的面积最值 已知抛物线 2 yaxbxc与x轴交于A，B两点，交y轴于C点，已知抛物线的对称轴为1x ，点(3,0)B，点 03C（， ），D为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式 （2）在x轴下方且在抛物线上有一动点F，求四边形OBFC的面积最大值 【解析】【解析】（1）由A、B关于对称轴对称，对称轴为1x ，点(3,0)B，得( 1,0)A 将A、B、C点的坐标代入函数解析式，得 0 930 3 abc abc c ，解得 1 2 3 a b c 故抛物线的解析式为 2 23yxx； （3）如图， 过F作FHx轴于H点，交BC于G点 设 2 ( ,23)F m mm，G点坐标为( ,3)m m， 演练 3 22 3 (23)3FGmmmmm OCBBCFOBFC SSS 四形边 22 1191 3 3(3 ) 33 3(3 ) 3 2222 mmmm 2 9339 2224 m ， 当 3 2 m 时， 93963 2248 S 最大