初三数学讲义直升班 第8讲 二次函数的区间最值及应用（教师版）

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1、第第 8 8 讲讲 二次函数的区间最值及应用二次函数的区间最值及应用 模块模块一：二次函数的一：二次函数的区间最值区间最值 1定轴定区间 对于二次函数 2 (0)yaxbxc a在mxn 上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值， max y表示 y的最大值， min y 表示y的最小值） （1）若自变量x为全体实数，如图，函数在 2 b x a 时，取到最小值，无最大值 （2）若 2 b n a ，如图，当xm， max yy ；当x n ， min yy （3）若 2 b m a ，如图，当xm， min yy ；当x n ， max yy （4）若 2 b mn a ， 22 bb

2、nm aa ，如图，当 2 b x a ， min yy ；当x n ， max yy 2动轴或动区间 对于二次函数 2 (0)yaxbxc a，在mxn（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n 与 2 b a 的大小 模块二模块二：二次函数的：二次函数的应用应用 1常见应用题类型按照考频从高到低可以分为： （1）经济利润类问题； （2）方案选择类问题； （3）行程问题； （4）数学建模类问题； （5）工程问题。 2解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、 一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过

3、程中一定要注意自变量 的取值范围。 模块一模块一 二次函数的区间最值二次函数的区间最值 分别求出在下列条件下，函数 2 231yxx的最值： （1）x取任意实数； （2）当20 x 时； （3）当13x 时； （4）当12x 时 x=- b 2a x=- b 2a x=- b 2a x=- b 2a 例题 1 【解析】【解析】（1） 2 317 2 48 yx ，当 3 4 x 时，函数的最大值为17 8 ，无最小值； （2） 3 4 x 在20 x 右侧， 当0 x 时，函数取得最大值 1；当2x 时，函数取得最小值13； （3） 3 4 x 在13x左侧， 当1x 时，函数取得最大值 2；

4、当3x 时，函数取得最小值8； （4） 3 12 4 ，且 33 12 44 ， 当 3 4 x 时，函数取得最大值17 8 ；当1x 时，函数取得最小值4 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解最值的求法（1）配方，求对称轴， （2）画草图 试求(1)(2)(3)(4)5yxxxx在33x 的最值 【解析】【解析】令 2 5txx，则有 222 (54)(56)5(4)(6)51029yxxxxtttt 当33x 时，t的取值范围是 25 24 4 t ， 原题转化为当 25 24 4 t 时，求 2 1029ytt的最大值和最小值 2 54yt，故当5t 时， min 4y而当 2

5、 55xx 解得： 1,2 55 2 x ， 又33x ，当 55 2 x 时， min 4y 当 25 4 t 时， 9 516y ；当24t 时， 845y ，而 9 845516 ， 当24t 时，即3x 时， max 845y 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是高次函数利用换元转化为二次函数区间最值. 已知函数 2 22yxx在1txt 范围内的最小值为s，写出函数s关于t的函数解析式 【解析】【解析】二次函数 2 22yxx的对称轴是1x ， 当1t 时，对称轴在x t左边， 2 22stt； 当11tt ，即01t 时，最小值s在顶点处取得，1s ； 当11t ，即0t

6、时，对称轴在1xt 右边， 2 1st 综上所述： 2 2 1(0) 1(01) 22 (1) tt st ttt 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题讲解动区间最值的求法（1）配方，求对称轴， （2）画草图， （3）分类讨论 例题 2 例题 3 已知函数 22 962yxaxaa在区间 11 33 x 有最大值3，求实数a的值 【解析】【解析】因为 2 92 3 a yxa ， 11 33 x，它的对称轴是直线 3 a x ， （1）当 1 33 a 时，即1a 时，y在区间 11 33 x随着x的增加而减少， 这时，当 1 3 x 时，函数的最大值是 2 41aa， 2 413aa 得2

7、6a 因 1a ，故 26a （2）当 11 333 a 时，即11a 时，这时，当 3 a x 时，函数的最大值是2a， 23a 得 3 2 a ，这与11a 矛盾 （3）当 1 33 a ，即1a 时，y在区间 11 33 x 随着x增加而增加， 这时，当 1 3 x 时，函数的最大值是 2 1a， 2 13a ，得2a 因为 1a ，故 2a 综上所述，满足题意的a为2 6 或 2 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解动轴最值的求法，和动区间最值求法一样 若函数 2 113 22 yx 在区间()axb ba上的最小值为 2a，最大值为 2b求a、b的值 【解析】【解析】函数的

8、对称轴为，下面分三种情况加以讨论： （1）若0ab时，即函数在区间axb上单调递减，有 2 2 113 2 22 113 2 22 ab ba ，解得 1 3 a b （2）若0ab时，则由函数图象知， 函数在ax 0上单调递增，在xb0 上单调递减， 因此在0 x 处有最大值 2b，即 13 2 2 b ，得 13 4 b 而函数的最小值在x a 或xb处取得， 又由于0a ，并且当xb时， 2 1 131339 0 24232 y ， 故函数的最小值在x a 处取得，则有 2 113 2 22 aa ， 解得或（舍去） 0 x 217a 217a 例题 4 例题 5 从而 217 13 4

9、 a b （3）当0ab时，即函数在区间axb上单调递增，有 2 2 113 2 22 113 2 22 aa bb 由于a、b是方程 2 113 2 22 xx的两个根，又因为两根之积为负数， 即两根异号，这与0ab矛盾，故不存在 综上所述，得 1 3 a b 或 217 13 4 a b 【教师备课提示】【教师备课提示】例题 5 和例题 6 是在动轴或动区间的基础上添加计算量，锻炼孩子们分类讨论的能力和综合 计算的能力 设 2 3yxaxa ，当22x 时，y的最小值不小于 0，求实数a的取值范围 【解析】【解析】 2 2 3 24 aa yxa ，对称轴是 2 a x 当 2 2 a ，

10、即4a 时，二次函数在2x 时取得最小值73a 由730a，得 7 3 a ，这与4a 矛盾，此时a不存在 当2 2 2 a ，即44a 时，二次函数在 2 a x 时取得最小值 2 3 4 a a 由 2 2 30412062 4 a aaaa ，此时42a 当 2 2 a ，即4a 时，二次函数在2x 时取得最小值7a 由70a，得7a，此时74a 综上所述，a的取值范围是72a 模块二 二次函数的应用 某超市销售某种玩具，进货价为 20 元 根据市场调查：在一段时间内， 销售单价是 30 元时， 销售量是 400 件， 而销售单价每上涨 1 元，就会少售出 10 件玩具，超市要完成不少于

11、 300 件的销售任务，当销售单价定为多少元 时，可以获得最大利润，最大利润是多少元？ 【解析】【解析】设销售单价应定为x元，销售利润为y元，根据题意可得： 例题 6 例题 7 (20)400 10(30)yxx (20)(700 10 )xx 2 1090014000 xx 2 10(45)6250 x， 超市要完成不少于 300 件的销售任务， 400 10(30)300 x， 解得：40 x ， 即40 x 时，销量为 300 件，此时利润最大为： 2 10(4045)62506000（元） ， 故销售单价应定为 40 元时，销售利润最大，最大为 6000 元 【教师备课提示】【教师备课

12、提示】这道题主要锻炼孩子们提取信息的能力，每每问题也是各学校的高频考点 九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第(190)xx天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x（天） 150 x 5090 x 售价（元/件） 40 x 90 每天销量（件） 2002x 已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为y元 （1）求出y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？请直接写出结果 【解析】【解析】（1）当150 x时， 2 (2002 )(40 30)2180

13、2000yx xxx， 当5090 x时，(2002 )(9030)12012000yxx， 综上所述： 2 21802000(150) 12012000(5090) xxx y xx ； （2）当150 x时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为45x ， 当45x 时， 2 2 45180 4520006050y 最大 ， 当5090 x时，y随x的增大而减小， 当50 x 时，6000y 最大 ， 综上所述，该商品第 45 天时，当天销售利润最大，最大利润是 6050 元； （3）当150 x时， 2 218020004800yxx，解得2070 x， 因此利润不低于 4800 元的天数是

14、2050 x，共 30 天； 当5090 x时，120120004800yx，解得60 x ， 因此利润不低于 4800 元的天数是5060 x，共 11 天， 所以该商品在销售过程中，共 41 天每天销售利润不低于 4800 元 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要锻炼孩子们分类讨论及综合计算能力 例题 8 二次函数的区间最值 （1）求函数 2 21yxx 的最小值； （2）若12x ，求 2 21yxx 的最大值、最小值； （3）若01x，求 2 21yxx 的最大值、最小值； （4）若20 x ，求 2 21yxx 的最大值、最小值 【解析】【解析】（1）当 11 2224 b x

15、 a 时，y的最小值是 2 47 48 acb a ； （2） 由图像可知： 当12x时， 函数 2 21yxx单调递增， 当1x 时，y最小， 且 2 1 1 12y ， 当2x 时，y最大，且 2 2 22 17y （3）由图像可知：当01x时，函数 2 21yxx是先减后增，当 1 4 x ，y最小，且 7 8 y 当0 x 时， 2 00 1 1y 当1x 时， 2 1 1 121y ，当1x 时，y最大，且 2y （4）由函数图像开口向上，且 1 20 4 x ，故当2x 时，y取最大值为 11，当0 x 时，y取最 小值为 1 已知函数 2 42yxx在1txt 范围内的最小值为s

16、，写出函数s关于t的函数解析式 【解析】【解析】二次函数 2 42yxx的对称轴是2x ， 当2t 时，对称轴在xt左边， 2 42stt；当21tt ，即12t 时，最小值s在顶点 处取得，2s ；当12t ，即1t 时，对称轴在1xt 右边， 2 21stt 综上所述： 2 2 42(2) 2(12) 21(1) ttt st ttt 已知函数 2 21yxaxa 在01x上有最大值 2，求a的值 【解析】【解析】按对称轴进行讨论： 演练 1 演练 2 演练 3 当对称轴0 xa时，如左图所示 当0 x 时，y有最大值， max 1ya ， 12a，即1a ，且满足0a ，1a 当对称轴0

17、1xa时，如中图所示， 当x a 时，y有最大值， 222 max 21yaaaa 1a 2 12aa 解得 15 2 a （01a，舍去） 当对称轴1xa时，如右图所示 当1x 时，y有最大值， max 22yaa ，且满足1a ，2a 综上可知：1a 或2a 模块二 二次函数的应用 （16 年成都中考） 某果园有 100 棵橙子树， 平均每棵树结 600 个橙子， 现准备多种一些橙子树以提高果园产量， 但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，每多种一棵树，平均 每棵树就会少结 5 个橙子，假设果园多种了x棵橙子树 （1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（

18、个）与x之间的关系； （2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？ 【解析】【解析】（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为： 6005 (0120)yxx ； （2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w， 则(6005 )(100)wxx 2 510060000 xx 2 5(10)60500 x， 则果园多种 10 棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为 60500 个 某集团公司试销一种成本为每件 60 元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 40%经试销发现，销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数图象如图 （1

19、）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 （2）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W（万元） ，试求出利润W（万 元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时， 公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？ （3） 该公司决定每销售一件产品， 就抽出 5 元钱捐给希望工程 若除去捐款后， 所获利润不低于 450 万元，请你确定此时销售单价的范围 x y Oa 1 x y O a1 x y O a1 演练 4 演练 5 【解析】【解析】（1）由题意得： 6357 7050 kb kb ，解得： 1 120 k b 故y与x之间的函数关系式为：120yx ， 成

20、本为每件 60 元的产品，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 40%，6084x； （2） 22 (60)(120)1807200(90)900wxxxxx ，抛物线开口向下，当90 x 时，w 随x的增大而增大，而6084x，故当84x 时，(8460) (12084)864w 答：当销售价定为 84 元/件时，商家可以获得最大利润，最大利润是 864 元 （3）该公司决定每销售一件产品，就抽出 5 元钱捐给希望工程， 2 (60 5)(120)1857800wxxxx ，当450w，则 2 4501857800 xx， 解得： 1 75x ， 2 110 x ，而6084x，故7584x， 即所获利润不低于 450 万元，此时销售单价的范围是：7584x