初三数学讲义直升班 第2讲 可化为一元二次方程的其他方程（教师版）

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1、第第 2 2 讲讲 可化为一元二次方程的其他方程可化为一元二次方程的其他方程 模块一模块一 可化为一元二次方程的高次方程可化为一元二次方程的高次方程 在遇到这类可转化为一元二次方程的高次方程时，通常有两种转化方法 1 1因式分解法：因式分解法： 如果所遇到的高次方程可以因式分解成两个或者多个一元二次式或一元一次式的乘积的形式，可以用因式 分解法 2 2整体换元法：整体换元法： 在一个式子中要善于观察几个式子的关系，有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数 的，可以用整体换元法，实现降次的目的 模块二模块二 可化为一元二次方程的分式方程可化为一元二次方程的分式方程 在遇到这类可转化

2、为一元二次方程的分式方程时，通常有两种转化方法 1 1去分母法去分母法： 在遇到分式方程时，往往先去分母，即通分然后求解 2 2整体换元法：整体换元法： 在一个分式方程中，如果有的式子含有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的时候 可以考虑整体换元法，实现化简的目的 注意：注意：在分式方程中，不管用什么方法解出来，最后一定要验根，因为要使得分式方程有意义，分母不为 0，在这个过程中可能产生增根 模块三模块三 可化为一元二次方程的绝对值方程可化为一元二次方程的绝对值方程 在遇到这种可转化为一元二次方程的绝对值方程时，通常有两种转化方法 1 1分类讨论法：分类讨论法：遇到绝对值方程

3、时，可以先去绝对值，而去绝对值，就意味着要分类讨论 第一步，找出分段点，考虑当绝对值符号内的式子等于 0 时，x的取值，由此划分 x 取值 第二步，根据x取值讨论去绝对值，得到相应转化的一元二次方程 第三步，用合适的方法求解，但是解得的解应该在讨论的x取值内 第四步，依次写出满足绝对值方程的所有根 2 2整体换元法：整体换元法：在遇到一个特定的方程时，如果分类讨论，虽然可行但较为繁琐，可以考虑用整体换元 法 注意：注意：在绝对值方程中，要记着考虑绝对值的非负性 模块四模块四 可转化为一元二次方程的根式方程可转化为一元二次方程的根式方程 在遇到这类可转化为一元二次方程的根式方程时，通常有两种转化

4、方法 1两边平方法：等式的两边同时平方，然后化简得到相应的一元二次方程 2整体换元法：在含根式方程的一个方程中，如果几个式子存在特殊的关系，可以考虑整体换元法 特别注意：特别注意：在根式中解的时候，解一定要使得根号下非负；在整体换元的时候要考虑到换的元的取值范围 内，在取值范围内的解才有意义，最后也要像分式方程那样进行验根 模块一 可化为一元二次方程的高次方程 解方程： （1）xxx （2）()xxxx （3）()() =xx 【解析】【解析】（1）由题意得()x xx ， 所以x 或xx ， 当xx 时，得()()xx ， 此时方程无解 综上所述，原方程得解为x （2）令txx ，则xxt

5、， 代入原方程得：()tt ， 即得到tt ，()t ，t ， 将t的表达式代入得xx ， 即xx ，解得x ， 所以,xx （3）令tx，则xt， 则() =tt ，所以tt ， 得t ，t， 将t的代数式代入得到x，x 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是想让学生们熟悉转化为一元二次方程的高次方程的方法，整体换元法和因式分 解法，让大家熟悉这两种方法的过程并且考查孩子们的观察能力，希望孩子们在做题前好 好分析式子的特点 模块二 可转化为一元二次方程的分式方程 解分式方程： （1） x xxx （2） ()()xx xx 【解析】【解析】（1）把第三个分式的分母x变形为x ，得 ()

6、() x xxxx 方程两边都乘以()()xx， 得()()()xxxxx ， 即xx ，解得x，x 检验：把x 化入最简公分母，它不等于 0，所以x 是原方程的根； 把x 代入最简公分母，它等于 0，所以x 是增根 例题 1 例题 2 因此原方程的根是x （2）设 x y x ，那么 x xy ，于是原方程变形为y y 方程的两边都乘以y，约去分母，得yy 解这个方程，得y ，y 当y 时， x x ，去分母，整理得xx 所以x ， 当y 时， x x ，去分母，整理得xx 所以x 检验：把x ，x 分别原方程的分母，各分母都不等于 0，所以它 们都是原方程的根 综上：原方程的根是x，x，x

7、 ，x 【教师备课提示】【教师备课提示】 （1）这个分式方程如果用去分母法解，方程两边要同乘以()()xx，所得到的将是一个 难题的四次方程所以，要考虑别的解法 （2）观察方程的特点，可见含未知数的两部分式子 x x 与 x x 互为倒数 （3）由于具有倒数关系，如果设 x y x ，则 x xy ，原方程就可变形为 y y ， 此方程去分母可化为一元二次方程xy 从中解出y，再解出x因此，原分式方 程可用换元法来解 （1） x xx xx （2）xxxx （3）xxxxx 【解析】【解析】（1）换元的方法x，x ，x （2）显然x ，两边同除以x， 得：xx xx ， 即xx xx ， 令t

8、x x ，则xt x ， 所以方程可化为：()tt ， 例题 3 即：tt ，解得t ，t ， 解得x x ，或x x ， x，x ，x ，x （3）观察知x 为原方程的一个解，于是x必为左边代数式的一个因式 于是有()()xxxxx 得x 或xxxx ， 下面来解xxxx ， 显然x ，两边同除以x， 得：xx xx ， 即：xx xx ， 令yx x ，则yx x ， 所以方程可化为：()yy ，即：yy 解得：y ，y ，即x x ，x x 解得：x ，x ，x ，x 于是原方程的解为x ，x ，x ，x ，x 【教师备教师备课提示】课提示】与中项距离相等的项的系数相等，这种方程称为倒数

9、方程 倒数方程有以下性质： （1）如果m是倒数方程的根，则 m 也是方程的根； （2）倒数方程没有x 的根 倒数方程的解法：当最高项次数是偶数时，方程可变成( )()a xb xc xx 的形式； 当高项次数是奇数时，由系数特征，则必有x 的根，用多项式( )x去除方程的两边， 即可变成最高项次数是偶数的情况 模块三 可化为一元二次方程的绝对值方程 解方程()|xx 【解析】【解析】原方程可写为|xx ，令|tx ，得tt ， 即()()tt ，解得t，t 由|x ，得x ，x由|x ，得x ，x 原方程的根为x，x，x ，x 例题 4 【注意】【注意】这道题也可以用分类讨论的方法，根据x和

10、大小的来去绝对讨论 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是想让学生们熟悉讲绝对值方程转化为一元二次方程的换元法，同时锻炼孩子们 解决一元二次方程的方法的练习 解方程： （1）|xx （2）()()xxx 【解析】【解析】（1）令,x 得x ，以 为分界点把数轴划分为两个区间，分别求解 当x 时，则x ，原方程可化为xx 所以x 或x （舍去） ； 当x 时，则x ，原方程可以化为xx ，所以x 或x （舍去） 综上所述，原方程的解为x，x （2）分情况讨论：令()()xx 得x 或x ，以和 2 为分界点把数轴划分为四个区间， 分别求解 当x时，方程化为()()xxx ，即x ， 解得：

11、x ，x （舍去） ； 当x 时，方程化为()()xxx ，即xx ， 解得：x，x ； 当x 时，方程化为()()xxx ，即= 9x， 解得：x（舍去） ，x （舍去） ， 综上所述，原方程的解为x ，x，x 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是想让学生们熟悉讲绝对值方程转化为一元二次方程的分类讨论法，一个含有一 个绝对值的情况要根据两个区间讨论，另一道含有两个绝对值的情况，根据四个区间进行讨 论 模块四 可转化为一元二次方程的根式方程 解方程： （1）xx （2）xxx （3） x x 【解析】【解析】（1）移项得xx ；两边平方，得xxx ， 整理，得xx ；两边平方整理，得x

12、x ， 解得x ，x；经检验，x是增根，舍去，x 是原方程的根 （2）()()xxxxx ；()()xxx ， ()xxxx ；xx ；()()xx ， x ，x ；经检验，x 是增根，舍去；x 是原方程的根 例题 5 例题 6 （3）设 x y ，则 xy ，于是原方程可变形为y y 化为整式方程得 yy ，解之得y ，y ；当y 时， x ，解得x ， 当y 时， x ，无实数解；经检验x 是原方程的解 解方程：xxxxx 【解析】【解析】移项得xxxxx =， 两边同时平方得xxxxxxxx ， 整理得xxxxx ， 两边同时除以()x x ，得xxx ， 两边同时平方得xxxx ， 整

13、理得()()xx ， 解得x ，x ， 经检验，x 是原方程的增根，则原方程的解为：x 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题难度相对较大，主要是强调孩子们遇到根式方程怎么处理，还有就是处理的技巧，当 然这道题老师也可以选择用分子有理化的方法给孩子们讲讲 解方程：()()xxxx 【解析】【解析】令xxy ，原方程为yy ，y ，y由y ，得xx ，因为 0， 所以无解由y，得xx ，x （1） xx xxxx （2） xx xx 【解析】【解析】（1）x ，x （舍去，增根） ； （2）x ，x （增根） ； 例题 7 演练 1 演练 2 （1） xx xx （2） ()()xxx xxx

14、（3）xx xx 【解析】【解析】（1）x ，x ； （2）设 xx y x ，得y ，y，由y ，得x ，x ，由y，得x （3）先别忙着把x x 展开把等号右边各式都移到等号左边，得 xx xx 可变形为xx xx ，设xy x ， 原方程可化为yy 所以y ，y 由x x ，得xx ，得x ，x 由x x ，得xx 得x ，x 经检验，这四个根都适合所以原分式方程的解是x ，x，x ，x 解方程： （1）xxxx （2）22+229 +xxxxx 【解析】【解析】（1）显然x ，两边同除以x，得：xx xx ， 即：xx xx （1） ， 令yx x ，则yx x ，所以方程（1）可化为

15、：()yy ， 即：yy 解得：y ，y ，即x x ，x x 解得：x ，x ，x ，x （2）观察知x 为原方程的一个解，于是x必为左边代数式的一个因式 于是有()()xxxxx 得-x 或xxxx ， 下面来解xxxx ， 显然x ，两边同除以x， 得：xx xx ， 演练 3 演练 4 即：xx xx ， 令yx x ，则yx x ， 所以方程可化为：()yy ，即：yy 解得：y ，y ，即x x 或x x 解得：x ，x ，x ，x 于是原方程的解为x ，x ，x ，x ，-x 解方程：|x xx 【解析】【解析】（1）当x 时，原方程化为xx ，解得x 或x （舍去） ； （2）当x时，原方程化为xx ，解得x 或x ； 综上所述，原方程有 3 个解：x ，x，x 解方程： （1）xx （2） x xx 【解析】【解析】（1）先把一个根号移到右边，然后两边同时平方，最后解得x ； （2）换元法，最后得到x 演练 5 演练 6