初三数学讲义直升班 第10讲 二次函数和方程不等式综合（教师版）

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1、 第第 1010 讲讲 二次函数和方程、不等式综合二次函数和方程、不等式综合 模块模块一：一：二次函数和方程综合二次函数和方程综合 1函数 11 ya xb和二次函数 2 22 ya xb xc的交点 （1）交点求解，联立方程组 11 2 22 ya xb ya xb xc ，并代入求解 （2）交点个数，联立方程组 11 2 22 ya xb ya xb xc ，消元得到一元二次方程，看判别式（） （3）交点关系，联立方程组 11 2 22 ya xb ya xb xc ，看判别式（） ，再用韦达定理 2一元二次方程 2 1122 a xba xb xc的解也可以看成函数 11 ya xb和二

2、次函数 2 22 ya xb xc的交点 的横坐标 模块二模块二：二次函数和不等式综合二次函数和不等式综合 1数形结合，可以通过二次函数和其它函数的图象解不等式 2根的分布： 一元二次方程根的分布问题，即一元二次方程的实根在什么区间内的问题，实质就是其相应二次函数的零 点（图象与x轴的交点）问题，因此，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的 （1）0 分布或k分布 12 0 xx 12 0 xx 12 0 xx 12 xkx 12 xxk 12 kxx （2）区间分布 12 mxxn 12 mxnpxq 模块一模块一 二次函数和方程综合二次函数和方程综合 已知二次函数 2

3、yxxc （1）若点( 1, )An、(2,21)Bn在二次函数 2 yxxc的图象上，求此二次函数的最小值； （2）若 1 (2,)Dy、 2 (, 2)E x关于坐标原点成中心对称，试判断直线DE与抛物线 2 3 8 yxxc的交点个数，并 说明理由 【解析】【解析】（1）由题意得 2 212 nc nc ，解得 1 1 n c ， 2 2 15 1 24 yxxx ， 二次函数 2 1yxx的最小值是 5 4 （2）点D、E关于原点成中心对称， (2, 2D ）、( 2,2)E ，设直线DE为ykxb， 则有 22 22 kb kb ，解得 1 0 k b 直线DE为y x 则 2 3

4、8 yx yxxc ，得 2 3 0 8 xc 即 2 3 8 xc 当 3 0 8 c 时， 3 8 c 时，方程 2 3 8 xc 有相同的实数根， 即当 3 8 c 时，直线y x 与抛物线 2 3 8 yxxc 有 1 个交点 当 3 0 8 c 时， 3 8 c 时，方程有两个不同实数根， 即当 3 8 c 时，直线与抛物线有两个不同的交点 当时，时，方程没有实数根， 即当时，直线与抛物线没有交点 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查判断图像交点的情况 （1）抛物线 22 5yxxa与一次函数21yaxa有交点，则a的取值范围_ （2）已知函数 2 32ymxx（m是常数）

5、 ，若一次函数1yx的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，则 交点坐标为_ 2 3 8 xc yx 2 3 8 yxxc 3 0 8 c 3 8 c 2 3 8 xc 3 8 c yx 2 3 8 yxxc 例题 1 例题 2 【解析】【解析】（1） 7 3 3 a ，且0a ， （2）当0m 时，函数 2 32ymxx为一次函数32yx， 令：321xx，解得 1 4 x ，交点为 1 5 4 4 ,； 当0m时，函数 2 32ymxx为二次函数若一次函数1yx的图象与函数 2 32ymxx的 图象只有一个交点， 令 2 321mxxx， 即 2 41 0m xx ， 由0， 得4m ， 此

6、时交点为 1 3 , 2 2 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解已知交点的情况，求参数的值或交点 已知二次函数 2 1 23yxx及一次函数 2 yxm （1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标； （2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请 你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线 2 yxm有三个不同公共点时m的值 【解析】【解析】（1）二次函数图象的顶点坐标为(1,4)，与x轴的交点坐标为( 1,0)A ，3 0B （， ）； （2）当直线位于 1 l时，此时 1 l过点1 0A （， ），01m ，即1m

7、 当直线位于 2 l时，此时 2 l与函数 2 23( 13)yxxx 的图象有一个公共点 方程有一根， 14(3)0m ，即 当时，满足，由知，或 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题是二次函数翻折后，和直线交点的情况 （1）抛物线 22 yxmxm与x轴两交点间距离的最大值为_ （2）设二次函数 2 yaxbxc经过点2(0, )A、(1, 1)B，且其图象在x轴上所截得的线段长为2 2求这个 二次函数的解析式 【解析】【解析】（1） 1 4 ； x y O l2 l1 6 4 2 5OBAx y 2 23xmxx 13 4 m 13 4 m 1 2 x 13x 1m 13 4 m 例题

8、 3 例题 4 1 2 3 y O 2 x （2）由题意得， 2 1 c abc ， ，即 2, (3), c ba 因此 2 (3)2yaxax 设图象与x轴的交点坐标为 1 (, 0)x， 2 (,0)x，则 1 x和 2 x是方程 2 (3)20axax的两根， 由韦达定理， 12 3a xx a ， 12 2 x x a ， 12 2 2xx 2 1212 ()4xxx x 2 32 4 a aa ， 整理得 2 7290aa，则 1a 或 9 7 a 2 42yxx，或 2 912 2 77 yxx 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查二次函数和x轴交点关系，转化为方程的韦

9、达定理，当然也可以给孩子们总 结 12 | | xx a 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 yaxbxc过点(2, 2)，且当0 x 时，y取得最小值 1 （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点(1,3)C，试探索是否存在满足下列条件的直线l；直线l过点(1,3)C；直线l交抛物线于E、F 两点且C点恰好是线段EF的中点.若存在，请求出直线l的函数解析式：若不存在，请说明理由 【解析】【解析】（1） 2 1 1 4 yx； （2）设该直线为(1)3yk x， 11 ( ,)E x y， 22 (,)F xy， 所以 1 x， 2 x是方程 2 1 1(1)3 4 xk x 的根， 12

10、4xxk， 12 48x xk， 2 1212 ()26426yyk xxkkk， 4 1 2 k ， 2 426 3 2 kk ， 1 2 k ， 所以直线解析式为 15 22 yx 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查二次函数和直线交点关系，转化为方程的韦达定理 （1）二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，则关于x的方程 2 30axbxc 的 根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B无实数根 C有两个同号不相等实数根 D有两个异号实数根 （2）若方程 2 43xxm有两个相异的实数解，则m的取值范围是_ 例题 5 例题 6 【解析】【解析】（1）D； （2）0m 或1m

11、【教师备课提示】【教师备课提示】例 1例 5 主要是函数的交点问题，转化方程的根的情况或根系关系去进行计算，这道题主 要讲解方程的解也可以想象成函数的交点 模块二模块二 二次函数和不等式综合二次函数和不等式综合 已知二次函数 2 yxbxc的图象如图所示， 它与x轴的一个交点的坐标为( 1,0)， 与y轴的交点坐标为(0,3) （1）求二次函数的解析式；并求图象与x轴的另一个交点的坐标； （2）根据图象回答：当x取何值时，30y 【解析】【解析】（1） 2 23yxx，(3,0)； （2）10 x 或23x 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解通过函数图象解不等式，数形结合 （1）

12、已知关于x的方程 2 (5)20 xmxm有实根， 且方程的两根都大于 0， 则实数m的取值范围是_ （2）已知方程 2 (2)90axaxa的两个实根 1 x和 2 x，且 12 1xx ，求实数a取值范围 【解析】【解析】（1）设 2 (5)2yxmxm， 因为方程 2 (5)20 xmxm的两根都大于 0，所以 2 (5)4(2)0 5 0 2 20 mm m m 解得 311 5 2 mm m m 或 ，23m （2）设 2 (2)9yaxaxa，由题意得，0a 方程 2 (2)90axaxa的两个实根 1 x和 2 x，且 12 1xx ， （1）当0a 时，由题意得，(2)90aa

13、a 解得 2 11 a ，此时，无解； （2）当0a 时，由题意得，(2)90aaa， 解得 2 11 a ， 2 0 11 a 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解根的分布，主要控制函数的开口，对称轴，判别式和函数端点值 （1）已知关于x的方程 2 (2)50 xa xa 的一个根大于 0 而小于 2，另一个根大于 4 而小于 6，则实数a 的取值范围是_ 例题 7 例题 8 例题 9 （2）若关于x的方程 2 420 xmxn的解都位于01x的范围中，求正整数m，n的值 【解析】【解析】（1）设 2 (2)5yxa xa ， 由题，抛物线与x轴的两交点分别落在(0, 2)和 4

14、6， 内, 50, 50, 3130, 5290, a a a a 即 5, 5, 13, 3 29 5 a a a a 解得 29 5 5 a 满足条件的a的取值范围是 29 5 5 a （2）设 2 42yxmxn， 因为方程( )0f x 的两个解都位于01x中，所以m，n满足条件 2 4160 01 4 0 420 mn m n mn 由得04m，符合条件的m值为 1，2，3由得0n 把m各值代入，得2n，0n ，2n 把m各值代入，得 1 4 n ，1n， 9 4 n 符合条件的m，n的值是2m ，1n 模块一 二次函数和方程综合 （1）二次函数 2 1yxkxk的图像与x轴的交点个

15、数_ （2）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直 线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线，有下列命题： 直线0y 是抛物线 2 1 4 yx的切线； 直线2x 与抛物线 2 1 4 yx相切于点( 2,1)； 直线yxb与抛物线 2 1 4 yx相切，则相切于点(2,1)； 演练 1 直线2ykx与抛物线 2 1 4 yx相切，则2k . 其中正确的命题是_ （3）若方程 2 |5 |xxa有四个不相等实根，则a的取值范围是_ 【解析】【解析】（1）1 个或 2 个； （2）； （3） 构造和 方程的解也即函数与图象的交点 如图：当时

16、，原方程有 4 个不同实根； 已知：抛物线与x轴交于( 2,0)A 、(4,0)B，与y轴交于(0,4)C （1）求抛物线顶点D的坐标； （2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛 物线与线段EF总有公共点试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位 长度？ 【解析】【解析】（1）设抛物线解析式为(2)(4)ya xx， C点坐标为0 4 （， ）， ， 解析式为，顶点D坐标为， （2）直线CD解析式为 则，直线CD解析式为， 8 0E （， ），(4,6)F ， 若抛物线向下移m个单位，其解析式 2 1 4

17、(0) 2 yxxm m ， 由，消去y，得， ，向下最多可平移个单位 若抛物线向上移m个单位，其解析式 2 1 4(0) 2 yxxm m 方法一：当时，当时， 要使抛物线与EF有公共点，则或， 方法二：当平移后的抛物线过点 ( 8,0)E 时，解得， 当平移后的抛物线过点 4 6F （， ）时， ， 由题意知：抛物线向上最多可以平移 36 个单位长度， 25 0 4 a 2 1 |5 |yxx 2 ya 2 |5 |xxa 1 y 2 y 25 0 4 a 1 2 a 2 2 119 41 222 yxxx 9 1 2 ， ykxb 4 9 2 b kb 4 1 2 b k 1 4 2 y

18、x 2 1 4 2 1 4 2 yxxm yx 2 11 0 22 xxm 1 20 4 m 1 0 8 m 1 8 8x 36ym 4x ym 360m6m036m 36m 6m 演练 2 A A g f x5 y O O y x B A 综上，要使抛物线与EF有公共点，向上最多可平移 36 个单位，向下最多可平移个单位 已知：y关于x的函数 2 (1)22ykxkxk的图象与x轴有交点 （1）求k的取值范围； （2）若 1 x、 2 x是函数图象与x轴两个交点的横坐标 12 ()xx，且满 2 121 2 (1)224kxkxkx x 求k的值； 当2kxk时，求y的最大值与最小值 【解析

19、】【解析】（1）当时，符合题意；当时，由 0得故的取值范围是 （2）， 代入，得. ，解得（舍去）. 当时， 当；当 模块二 二次函数和不等式综合 如图，一次函数ykxm和抛物线 2 yxbxc都经过点(1,0)A，(3,2)B （1）求一次函数和抛物线的解析式； （2）求不等式 2 xbxcxm的解集 （直接写出答案） 【解析】【解析】（1）1yx， 2 32yxx； （2）1x 或3x （1）已知方程 2 11(30)0 xxa有两实根，且两根都大于 5，则实数a的取值范围是_ （2）方程 22 7(13)20 xpxpp的两根、满足012 ，求实数p的取值范围 【解析】【解析】（1）设

20、2 11(30)yxxa，对称轴 11 5 2 x ，因为方程 2 11(30)0 xxa的两根都大于 5，所 以有 1214(30)0 2555(30)0 a a 即 140 0 a a ，解得 1 0 4 a 1 8 1k 1k 2k k2k 12 xx 2 11 21(1)22kkkxkkx且， 又 2 121 2 (1)224kxkxkx x 1212 2 ()4k xxx x 1212 22 11 kk xxx x kk ， 22 2 4 11 kk k kk 12 12kk ， 1k 2 2 13 221211 22 yxxxx 且 13xy 最小 时， 13 22 xy 最大 时， 演练 3 演练 4 演练 5 （2）设 22 7(13)2yxpxpp，由题，方程 22 7(13)20 xpxpp的两根、满足 012 ， 2 2 2 20 280 30 pp pp pp 解得， 12, 24, 03, pp p pp 或 或 解得21p 或34p，满足条件的p的取值范围是21p 或34p