初三数学讲义直升班 第3讲 一元二次方程的判别式与根系关系（教师版）

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1、第第 3 3 讲讲 一元二次方程的判别式与根系关系一元二次方程的判别式与根系关系 模块一模块一 一元二次方程的判别式一元二次方程的判别式 1 1定义：定义： 在一元二次方程()axbxca 中，只有当系数a、b、c满足条件bac 时才有实数根这 里bac 叫做一元二次方程根的判别式，记作 2 2判别式与根的关系：判别式与根的关系： 在实数范围内，一元二次方程()axbxca 的根的情况由 bac 确定 设一元二次方程为()axbxca ，其根的判别式为： bac ，则 方程()axbxca 有两个不相等的实数根 , bbac x a 方程()axbxca 有两个相等的实数根 b xx a 方程

2、()axbxca 没有实数根 特殊的： （1）若a，b，c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根； （2）若为完全平方式，同时bbac 是 2a的整数倍，则方程的根为整数根 模块二模块二 一元二次方程的根与系数关系一元二次方程的根与系数关系 1 1韦达定理韦达定理： 如果()axbxca 的两根是x，x，则 b xx a ， c x x a （使用前提：） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为 1 时，设x，x是方程xpxq 的两个根，则xxp ， x xq 2 2韦达定理的逆定理韦达定理的逆定理： 如果有两个数x，x满足 b xx a ， c x x a ，那么x，x必定是()axbx

3、ca 的两个根 特别地，以两个数x、x为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是()xxx xx x 3 3韦达定理与根的符号关系韦达定理与根的符号关系：在bac 的条件下，我们有如下结论： （1）当 c a 时，方程的两根必一正一负 若 b a ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若 b a ，则此方程的正根小于负根的绝对值 （2）当 c a 时，方程的两根同正或同负 若 b a ，则此方程的两根均为正根；若 b a ，则此方程的两根均为负根 注意：注意： （1）若ac ，则方程()axbxca 必有实数根 （2）若ac ，方程()axbxca 不一定有实数根 模块一 一元二次方程的判别式 （

4、1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： xx ()xx xx () m xmx （m为常数） （2）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程()()ab xcxab 的根的情况是（ ） A没有实数根 B可能有且只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 【解析】【解析】（1），有两个不等实根； =，有两个相等实根； ，无实根； m，方程有两个不等实根 （2）由题()()()()cababc cab abc ，cab ，故方程没有实根选 A 【点评】【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维， （2）结合三角形三 边关系来考察一元二次方

5、程的判别式和根的个数的关系 （1）若关于x的一元二次方程()kxx 有实根，则k的取值范围为_ （2）关于x的一元二次方程()k xkx 有两个不相等的实数根，则k的取值范围_ （3）当a、b为何值时，方程()xa xaabb 有实根？ 【解析】【解析】（1）k且k； （2）k 且k ， 由题意，得 ()()kk k k ，解得k 且k ； （3）要使关于x的一元二次方程()xa xaabb 有实根，则必有 ，即()()aaabb ，得()()aba 又因为()()aba ，所以()()aba ，得a ，b 【点评】【点评】这道题（1） （2）主要是结合一元二次方程的定义和判别式与根的关系的考

6、察， （3）把判别式和平方的 非负性结合起来考查 例题 1 例题 2 例题 3 已知关于x的一元二次方程()axax 有两个相等的实数根，求代数式aa a 的值 【解析】【解析】由题，一元二次方程()axax 有两个相等的实数根， 所以aa 所以有aaa ，aa 代入aa a ，得 aa aaa aaaa 【点评】【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大 在等腰ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 已知a ，b和c是关于x的方程xmxm 的两个实数根，求ABC的周长 【解析】【解析】当bc时，方程有两个相等的实数根， 则= mm ， m ，m 若m ，原方程化为xx ，

7、则xx ，即bc ， ABC的周长为 若m ，原方程化为xx ， 则xx ，不合题意 当ab或ac时，x 是方程的一个根， 则mm ，则m ， 原方程化为xx ，解得x ，x ， ABC的周长为 综上所述，ABC的周长为 7 或 【点评】【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路 模块二 一元二次方程的根与系数关系 例题 4 例题 5 （1）已知一元二次方程axaxc 的一根x ，则方程的另一根_x （2）已知x，x是方程xx 的两个实数根，则：xx ；() ()xx ；xx xx ； xx xx ；xx ；xx ； xx 【解析】【解析】（1）； （2）()xxxx

8、x x ， () ()()xxxxxx ， ()xx xxxxx x ， xxxx xxxx ，()()xxxxx x ， xx ， ()()()xxxxxx ， xx xxx x 【点评】【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况 （1）已知关于x的方程()xkxk 有两个实数根x，x，且xx xx ，求k值 （2）已知x，x是方程axaxa 的两实根，是否能适当选取a的值，使得()()xxxx 的值 等于 【解析】【解析】（1）方程()xkxk 有两个实数根x，x， ()()kkk 得：k 由韦达定理得， ()xxk x xk xx xx ， xx xx x x ，

9、xx 或x x ， 当xx 时，k ，k ，k ，所以k 符合题意 当x x 时，k ，k ，k ，k 舍去k的值为 或 （2）显然a 由()aa a 得a ， 由韦达定理知xx ， a x x a ， 所以 () ()()()() a xxxxx xxxx xxx a a a 若有()(),xxxx 则 a a ， 例题 6 a ，这与0a 矛盾， 故不存在a，使() ()xxxx 【点评】【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见， 一定不要忽视的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件 （1）若m，n是方程xx 的两个实数根，则mmn 的

10、值为_ （2）已知a，b是方程xx 的两个实数根，则aabab 的值为_ （3）已知m、n是方程xx 的两个根，则()()mmnn _ 【解析】【解析】（1）m，n是方程xx 的两个实数根，mn ，mm ， 则原式()()mmmn ， （2）a是方程xx 的实数根， aa ，aa ， aababaabababab ， a，b是方程xx 的两个实数根， ab ，ab ，aabab 故答案为 8 （3）m、n是方程xx 的两个根， mn ，mn ； mm ，nn ， ()()()()mmnnmmmnnn ()()()()mnmnmn 故答案是：2008 【点评】【点评】这道题主要考查韦达定理根系关

11、系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解 （1）已知一元二次方程()axa xa 的两根都是负数，则k的取值范围是_ （2）已知二次方程342xxk 的两根都是非负数，则k的取值范围是_ 【解析】【解析】（1）此方程两实根为,x x ，由已知得 a xx x x ， a aaa a a a a -g , 例题 7 例题 8 即a （2）此方程两实根为,x x ，由已知得 xx x x ，得： 2 ()4 3()k k 即k 【点评】【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类 题，要将这种不等的思想传授给孩子 1已知关于x的一元二次方程

12、()()kxkx 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 _ Ak Bk 且k Ck 且k Dk 且k 【解析】【解析】B 2已知关于x的一元二次方程xmxm 有两个不相等的实数根，则m的取值范围_ 3关于x的方程()()mxmx 有实根，则m的取值范围_ 【解析】【解析】2由题意可知，原方程的判别式()mmmm 又mm， 故m 3 题设中的方程未指明是一元二次方程， 还是一元一次方程， 所以应分0m和m， 两种情形讨论： 当m即m 时，()m ，方程为一元一次方程，总有实根； 当m即m 时，方程有根的条件是： 演练 1 演练 2 ()()mmm ， 解得m 当m 且m 时，方程有实根 综上所

13、述：当m 时，方程有实根 4已知关于x的方程()xkxk （1）求证：无论k为何值，方程总有实根； （2）若等腰ABC，底边a ，另两边b、c恰好是此方程的两根，求ABC的周长 【解析】【解析】（1）()()()kkk ，无论k为何值，方程总有实根 （2）当a 为底，b，c为腰时，bc，方程有两个相等的实根， ，即()k ，k ， 此时方程为xx ，解xx ，ABC的周长为 ，当a 为腰，则方程有一 根为 3，将x 代入方程，得k ，方程为xx ，解得x ，x ，ABC的周长为 ，综上所述， ABC的周长为 7 或 8 5关于x的方程xkx 的一个根是，则方程的另一根是_；k _ 6已知a，b

14、，c为正数，若二次方程axbxc 有两个实数根，那么方程a xb xc 的根的情况是 （ ） A有两个不相等的正实数根 B有两个异号的实数根 C有两个不相等的负实数根 D不一定有实数根 7设，是一元二次方程xx 的两个根，则 _ 【解析】【解析】5设另一根为x，由根与系数的关系可建立关于x和k的方程组，解之即得x ，k 6a xb xc 的()()Dba cbac bac ， 二次方程axbxc 有两个实数根， bac ， bac ， ()() ba cbac bac 方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正 故有两个负根故选 C 7，是一元二次方程xx 的两个根， ， ， ，

15、演练 3 演练 4 ，故答案为：4 8已知关于x的方程()xmxm 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大 16， 求m的值 【解析】【解析】有实数根，则 ，且xxx x ，联立解得m的值 依题意有： 2 () 3 ()() xxm x xm xxx x mm ，解得：m 或m 且m ， m 演练 5 韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因 此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达在 16 世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而 代数基本定理却是在 1799 年才由高斯作出第一个实质性的论证。韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 韦达，全名弗朗索瓦韦达，年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政 府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数 学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“现代数学之父”。 知 识 链 接