初三数学讲义直升班. 第5讲 一元二次方程的构造及应用(教师版)
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1、第第 5 5 讲讲 一元二次方程的构造及应用一元二次方程的构造及应用 模块一模块一 利用根的定义构造方程利用根的定义构造方程 如果m、n分别是一元二次方程()axbxca 的两根,那么有ambmc ,anbnc ,相 反的,如果已知m、n分别满足ambmc ,anbnc ,且a ,那就可以构造一个一元二次方程 ()axbxca 使得m、n是它的解 模块二模块二 利用根系关系构造方程利用根系关系构造方程 如果m、n分别是一元二次方程()axbxca 的两根,由韦达定理, b mn a , c mn a ,相反的, 如果已知m、n分别满足 b mn a , c mn a , 且a , 那就可以构造
2、一个一元二次方程使得m、n是它的两根 这里主要提到的是同形构造及和积构造 模块一 利用根的定义构造方程 (1)已知a,b是不相等的实数,且aa ,bb ,求a bab 的值 (2)如果实数a,b分别满足aa ,bb ,求 ab 的值 【解析】【解析】(1)由根的定义,知a,b为一元二次方程xx 的两个根 由韦达定理知ab ,ab ,于是()a babab ab (2)由题意知:a,b为方程xx 的两个根,且a ,b , 解方程xx ,得:x,x, 当ab时,有ab ,ab , ab abab ; 当ab时,方程的根为x ,x 当ab 时, aba ; 当ab 时, aba 综上所述, ab 或
3、 或 【点评】【点评】通过这道题,让孩子们深刻理解如何利用根的定义去构造方程,而且要理解这两道常考题型的区别, 抓住题目给出的条件,根据条件去决定这道题需不需要讨论通过这道题,也加深孩子们对于分类讨 论思想的理解 例题 1 已知实数ab,且满足()()aa ,()()bb ,求ab; ab ; ba ba ab 【解析】【解析】由根定义,a,b是方程()()xx 的两个根, 整理得a,b是一元二次方程xx 的两个根, 由根系关系,ab ,ab , 则 ab abab , 由可知ab ,ab ,于是a ,b , ()()b ba ababaababab baba abababababab 【点评
4、】【点评】这道题是一道特别经典的题,老师可以大概提一下把(a+1)和(b+1)看做整体去构造也是可以的, 但是相对麻烦并且老师还可以结合例 1 去掉ab,那应该要分类讨论,带着学生们在做一遍 (1)已知pp ,qq,且pq ,求p q 的值 (2)实数s,t满足ss ,tt 且st ,求 sts t 的值 (3)实数p,q满足pp ,qq 且pq ,求p q 的值 【解析】【解析】(1)由pp ,qq有p ,q ,又pq ,所以p q , 则qq可变形为 qq 由pp 及p q , 可知p与 q 是方程xx 的根,因此p q (2)由tt 可知,t ,故 tt 又ss ,sts t ,故s、
5、t 是方程xx 的两根,从而可知s t , s t ,故 stss s ttt 【注意】注意】其实构造成xx 也可,不过此时两根变为 s 和t,由根系关系可知t s , t s ,故 t sts s t t s (相对麻烦些) 例题 2 例题 3 (3)由()qqq 得: qq g且pp ,因为pq ,即p q ,故p、 q 是方程xx 的两个不相等的实数根,由韦达定理: p q ,p q ;所以 p pp qqq 【点评】【点评】锻炼分析能力和同形构造能力:对比两个方程最简形式的系数能发现什么(从条件出发怎么变成同 形)?怎么出现一个字母的倒数(从结果出发) 模块二 利用根系关系构造方程 已
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