2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级上期中数学试卷（含答案详解）

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1、2020-2021 学年浙江省绍兴市越城区九年级（上）期中数学试卷学年浙江省绍兴市越城区九年级（上）期中数学试卷 一选择题（本题有一选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）对于二次函数 y（x1）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是 x1 C顶点坐标是（1，2） D与 x 轴有两个交点 2 （4 分）如图所示圆规，点 A 是铁尖的端点，点 B 是铅笔芯尖的端点，已知点 A 与点 B 的距离是 2cm， 若铁尖的端点 A 固定，铅笔芯尖的端点 B 绕点 A 旋转一周，则作出的圆的直径是（ ） A1cm B2cm

2、 C4cm Dcm 3 （4 分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 20 个，这些球除颜色外都相同小明通过多次试验发 现，摸出红球的频率稳定在 0.25 左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A5 B10 C12 D15 4 （4 分）对于函数 yx22x2，使得 y 随 x 的增大而增大的 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx0 Cx0 Dx1 5 （4 分）将抛物线 yx2+4x+1 通过平移得到 yx2，则下列平移过程正确的是（ ） A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位

3、 D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 6 （4 分）对于二次函数 yax2+bx+c（a0） ，我们把使函数值等于 0 的实数 x 叫做这个函数的零点，则二 次函数 yx2mx5（m 为实数）的零点的个数是（ ） A1 B2 C0 D不能确定 7 （4 分）如图，在 55 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，已知点 A 的坐标是（2，3） ，点 C 的坐标是（1，2） ，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A （0，0） B （1，1） C （1，0） D （1，1） 8 （4 分）某幢建筑物，从 10 米高的窗口 A 用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平

4、面与墙 面垂直） ，（如图） 如果抛物线的最高点 M 离墙 1 米， 离地面米， 则水流下落点 B 离墙距离 OB 是 （ ） A2 米 B3 米 C4 米 D5 米 9 （4 分）已知锐角AOB，如图， （1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作，交射线 OB 于点 D，连接 CD； （2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点 M，N； （3）连接 OM，MN 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） ACOMCOD B若 OMMN则AOB20 CMNCD DMN3CD 10 （4 分）如图，一次函数 y12x 与二次函数 y2ax2+b

5、x+c 图象相交于 P、Q 两点，则函数 yax2+（b 2）x+c 的图象可能是（ ） A B C D 二填空题（本题有二填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）已知，则 12 （5 分）从甲地到乙地有 A，B，C 三条不同的公交线路为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲 地到乙地的用时情况， 在每条线路上随机选取了 500 个班次的公交车， 收集了这些班次的公交车用时 （单 位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路 30t35 35t40 40t45 45t50 合计 A 59 151 166 124 5

6、00 B 50 50 122 278 500 C 45 265 167 23 500 早高峰期间，乘坐 （填“A” ， “B”或“C” ）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过 45 分钟” 的可能性最大 13 （5 分）如图，A，B，C，D 为O 上的点，OCAB 于点 E若CDB30，OA2，则 AB 的长 为 14 （5 分）如图的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以 水平方向为 x 轴， 建立平面直角坐标系， 若选取点 A 为坐标原点时的抛物线解析式是 y （x6） 2+4， 则选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是 15 （5

7、 分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EFCD4cm，则球的 半径为 cm 16 （5 分）如图，直线 l：经过点 M（0，） ，一组抛物线的顶点 B1（1，y1） ，B2（2，y2） ，B3 （3，y3）Bn（n，yn） （n 为正整数）依次是直线 l 上的点，这组抛物线与 x 轴正半轴的交点依次是： A1（x1，0） ，A2（x2，0） ，A3（x3，0），An+1（xn+1，0） （n 为正整数） ，设 x1d（0d1）若抛物 线的顶点与 x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形， 则我们把这种抛物线就称为： “美丽抛物线” 则 当 d（0d1）的大小变化

8、时美丽抛物线相应的 d 的值是 三三.解答题（本题有解答题（本题有 8 个小题，共个小题，共 80 分）分） 17 （8 分）已知抛物线的解析式为 y3x2+6x+9 （1）求它的对称轴； （2）求它与 x 轴，y 轴的交点坐标 18 （8 分）某同学报名参加校运动会，有以下 5 个项目可供选择： 径赛项目：100m，200m，400m（分别用 A1、A2、A3表示） ； 田赛项目：跳远，跳高（分别用 B1、B2表示） （1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ； （2）该同学从 5 个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田 赛项目和一个

9、径赛项目的概率 19 （8 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象过 A（2，0） ，B（0，1）和 C（4，5）三点 （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 D，求点 D 的坐标； （3）在同一坐标系中画出直线 yx+1，并写出当 x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值 20 （8 分）如图，已知点 A、B 的坐标分别是（0，0） （4，0） ，将ABC 绕 A 点按逆时针方向旋转 90后 得到ABC （1）画出ABC（不要求写出作法） ； （2）写出点 C的坐标； （3）求旋转过程中点 B 所经过的路径长 21 （10 分）某地欲搭

10、建一桥，桥的底部两端间的距离 ABL，称跨度，桥面最高点到 AB 的距离 CDh 称拱高，当 L 和 h 确定时，有两种设计方案可供选择：抛物线型，圆弧型已知这座桥的跨度 L 32 米，拱高 h8 米 （1）如果设计成抛物线型，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立坐标系，求桥拱的函数 解析式； （2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； （3）在距离桥的一端 4 米处欲立一桥墩 EF 支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度 22 （12 分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单 价是 40 元时，销售量是 600 件，

11、而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具 （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在 40 元的基础上上涨 x（x0） ，请你分别用 x 的代数式来表示 销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 W（元） ，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） 40+x 销售量 y（件） 销售玩具获得利润 W（元） （2）在（1）问条件下，若商场获得 10000 元销售利润，则该玩具销售单价应定为多少元？ （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元，且商场要完成不少于 540 件的 销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 23 （12 分）我们知道：有一内角为直角

12、的三角形叫做直角三角形类似地，我们定义：有一内角为 45 的三角形叫做半直角三角形如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，A（4，0） ，B（4，0） ，D 是 y 轴上的一个动点，ADC90（A、D、C 按顺时针方向排列） ，BC 与经过 A、B、D 三点的M 交于 点 E，DE 平分ADC，连接 AE，BD显然DCE、DEF、DAE 是半直角三角形 （1）求证：ABC 是半直角三角形； （2）求证：DECDEA； （3）若点 D 的坐标为（0，8） ，求 AE 的长 24 （14 分）如图，已知二次函数 yx2+bx+c 经过 A，B 两点，BCx 轴于点 C，且点 A（1，0） ，C（4，

13、 0） ，ACBC （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 是线段 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，过点 E 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标及 SABF； （3）点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的 P 点，使ABP 成为直角三角形？若存在， 求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年浙江省绍兴市越城区九年级（上）期中数学试卷学年浙江省绍兴市越城区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（本题有一选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共

14、 40 分）分） 1 （4 分）对于二次函数 y（x1）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是 x1 C顶点坐标是（1，2） D与 x 轴有两个交点 【解答】解：二次函数 y（x1）2+2 的图象开口向上，顶点坐标为（1，2） ，对称轴为直线 x1，抛 物线与 x 轴没有公共点 故选：C 2 （4 分）如图所示圆规，点 A 是铁尖的端点，点 B 是铅笔芯尖的端点，已知点 A 与点 B 的距离是 2cm， 若铁尖的端点 A 固定，铅笔芯尖的端点 B 绕点 A 旋转一周，则作出的圆的直径是（ ） A1cm B2cm C4cm Dcm 【解答】解：AB2cm， 圆的直径是 4

15、cm， 故选：C 3 （4 分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 20 个，这些球除颜色外都相同小明通过多次试验发 现，摸出红球的频率稳定在 0.25 左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A5 B10 C12 D15 【解答】解：设袋子中红球有 x 个， 根据题意，得：0.25， 解得 x5， 袋子中红球的个数最有可能是 5 个， 故选：A 4 （4 分）对于函数 yx22x2，使得 y 随 x 的增大而增大的 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx0 Cx0 Dx1 【解答】解：yx22x2（x+1）21， a10，抛物线开口向下，对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y 随 x 的增

16、大而增大， 故选：D 5 （4 分）将抛物线 yx2+4x+1 通过平移得到 yx2，则下列平移过程正确的是（ ） A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 【解答】解：抛物线 yx2+4x+1 可化为 y（x+2）23， 把抛物线 y（x+2）23 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位即可得到抛物线 yx2 故选：D 6 （4 分）对于二次函数 yax2+bx+c（a0） ，我们把使函数值等于 0 的实数 x 叫做这个函数的零

17、点，则二 次函数 yx2mx5（m 为实数）的零点的个数是（ ） A1 B2 C0 D不能确定 【解答】解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数 yax2+bx+c 与 x 轴的交点， （m）241（5）m2+20， m2一定为非负数， m2+200， 二次函数 yx2mx5（m 为实数）的零点的个数是 2 故选：B 7 （4 分）如图，在 55 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，已知点 A 的坐标是（2，3） ，点 C 的坐标是（1，2） ，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A （0，0） B （1，1） C （1，0） D （1，1） 【解答】解：如图线段 AB 的垂直平分

18、线和线段 CD 的垂直平分线的交点 M， 即圆心的坐标是（1，1） ， 故选：B 8 （4 分）某幢建筑物，从 10 米高的窗口 A 用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙 面垂直） ，（如图） 如果抛物线的最高点 M 离墙 1 米， 离地面米， 则水流下落点 B 离墙距离 OB 是 （ ） A2 米 B3 米 C4 米 D5 米 【解答】解：设抛物线解析式：ya（x1）2+， 把点 A（0，10）代入抛物线解析式得： a， 抛物线解析式： y（x1）2+ 当 y0 时，x11（舍去） ，x23 OB3 米 故选：B 9 （4 分）已知锐角AOB，如图， （1）在射线 OA 上

19、取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作，交射线 OB 于点 D，连接 CD； （2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点 M，N； （3）连接 OM，MN 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） ACOMCOD B若 OMMN则AOB20 CMNCD DMN3CD 【解答】解：由作图知 CMCDDN， COMCOD，故 A 选项正确； OMONMN， OMN 是等边三角形， MON60， CMCDDN， MOAAOBBONMON20，故 B 选项正确； 设MOAAOBBON， 则OCDOCM， MCD180， 又CMNCON， MCD+CMN180， MN

20、CD，故 C 选项正确； MC+CD+DNMN，且 CMCDDN， 3CDMN，故 D 选项错误； 故选：D 10 （4 分）如图，一次函数 y12x 与二次函数 y2ax2+bx+c 图象相交于 P、Q 两点，则函数 yax2+（b 2）x+c 的图象可能是（ ） A B C D 【解答】解：把 y2x 代入 yax2+bx+c 可得 ax2+（b2）x+c0， 由图象可知方程 ax2+（b2）x+c0 有两个大于 0 的解， 故而 yax2+（b2）x+c 的图象与 x 轴正半轴交于两点， 故选：A 二填空题（本题有二填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30

21、 分）分） 11 （5 分）已知，则 【解答】解：， 12 （5 分）从甲地到乙地有 A，B，C 三条不同的公交线路为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲 地到乙地的用时情况， 在每条线路上随机选取了 500 个班次的公交车， 收集了这些班次的公交车用时 （单 位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路 30t35 35t40 40t45 45t50 合计 A 59 151 166 124 500 B 50 50 122 278 500 C 45 265 167 23 500 早高峰期间，乘坐 C （填“A” ， “B”或“C” ）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超

22、过 45 分钟” 的可能性最大 【解答】解：A 线路公交车用时不超过 45 分钟的可能性为0.752， B 线路公交车用时不超过 45 分钟的可能性为0.444， C 线路公交车用时不超过 45 分钟的可能性为0.954， C 线路上公交车用时不超过 45 分钟的可能性最大， 故答案为：C 13 （5 分）如图，A，B，C，D 为O 上的点，OCAB 于点 E若CDB30，OA2，则 AB 的长为 2 【解答】解：CDB30， COA60， A30， OEOA1， 在 RtAEO 中，AE， OCAB AB2AE2 故答案为：2 14 （5 分）如图的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12m 时，

23、桥洞顶部离水面 4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以 水平方向为 x 轴， 建立平面直角坐标系， 若选取点 A 为坐标原点时的抛物线解析式是 y （x6） 2+4， 则选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是 y（x+6）2+4 【解答】解：由题意可得出：ya（x+6）2+4， 将（12，0）代入得出，0a（12+6）2+4， 解得：a， 选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是：y（x+6）2+4 故答案为：y（x+6）2+4 15 （5 分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EFCD4cm，则球的 半径为 2.5 cm 【解答】解：EF 的中点 M，作 MNAD

24、于点 M，取 MN 上的球心 O，连接 OF， 四边形 ABCD 是矩形， CD90， 四边形 CDMN 是矩形， MNCD4， 设 OFx，则 ONOF， OMMNON4x，MF2， 在直角三角形 OMF 中，OM2+MF2OF2 即： （4x）2+22x2 解得：x2.5 故答案为：2.5 16 （5 分）如图，直线 l：经过点 M（0，） ，一组抛物线的顶点 B1（1，y1） ，B2（2，y2） ，B3 （3，y3）Bn（n，yn） （n 为正整数）依次是直线 l 上的点，这组抛物线与 x 轴正半轴的交点依次是： A1（x1，0） ，A2（x2，0） ，A3（x3，0），An+1（xn+

25、1，0） （n 为正整数） ，设 x1d（0d1）若抛物 线的顶点与 x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形， 则我们把这种抛物线就称为： “美丽抛物线” 则 当 d（0d1）的大小变化时美丽抛物线相应的 d 的值是 或 【解答】解：直线 l：， 当 x1 时，y， 即：B1（1，） ， 当 x2 时，y， 即：B2（2，） ， A1（d，0） ，A2（2d，0） ， 若 B1为直角顶点，则 A1A2的中点（1，0）到 B1的距离与到 A1和 A2的距离相等， 即：1d， 解得：d； 同理：若 B2为直角顶点，则 A2A3的中点（2，0）到 B2的距离与到 A3和 A2的距离相等， 即：2（

26、2d）， 解得：d； 若 B3为直角顶点，求出的 d 为负数，并且从 B3之后的 B 点，求出的 d 都为负数； 所以 d 的值是或 故答案为：或 三三.解答题（本题有解答题（本题有 8 个小题，共个小题，共 80 分）分） 17 （8 分）已知抛物线的解析式为 y3x2+6x+9 （1）求它的对称轴； （2）求它与 x 轴，y 轴的交点坐标 【解答】解： （1）抛物线的解析式为 y3x2+6x+9， 该抛物线的对称轴为直线 x1， 即该抛物线的对称轴为直线 x1； （2）抛物线的解析式为 y3x2+6x+9， 当 x0 时，y9， 当 y0 时，x1 或 x3， 即该抛物线与 x 轴的交点坐

27、标为（1，0） ， （3，0） ，与 y 轴的交点坐标为（0，9） 18 （8 分）某同学报名参加校运动会，有以下 5 个项目可供选择： 径赛项目：100m，200m，400m（分别用 A1、A2、A3表示） ； 田赛项目：跳远，跳高（分别用 B1、B2表示） （1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ； （2）该同学从 5 个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田 赛项目和一个径赛项目的概率 【解答】解： （1）5 个项目中田赛项目有 2 个， 该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：； 故答案为：； （2）画树状图得：

28、 共有 20 种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的 12 种情况， 恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为： 19 （8 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象过 A（2，0） ，B（0，1）和 C（4，5）三点 （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 D，求点 D 的坐标； （3）在同一坐标系中画出直线 yx+1，并写出当 x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx+c 的图象过 A（2，0） ，B（0，1）和 C（4，5）三点， ， a，b，c1， 二次函数的解析式为 yx2

29、x1； （2）当 y0 时，得x2x10； 解得 x12，x21， 点 D 坐标为（1，0） ； （3）图象如图， 当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是1x4 20 （8 分）如图，已知点 A、B 的坐标分别是（0，0） （4，0） ，将ABC 绕 A 点按逆时针方向旋转 90后 得到ABC （1）画出ABC（不要求写出作法） ； （2）写出点 C的坐标； （3）求旋转过程中点 B 所经过的路径长 【解答】解： （1）如图所示，ABC即为ABC 绕 A 点按逆时针方向旋转 90后的图形； （2）点 C（2，5） ； （3）点 B 所经过的路径长2 21 （10 分）某地欲搭建一桥

30、，桥的底部两端间的距离 ABL，称跨度，桥面最高点到 AB 的距离 CDh 称拱高，当 L 和 h 确定时，有两种设计方案可供选择：抛物线型，圆弧型已知这座桥的跨度 L 32 米，拱高 h8 米 （1）如果设计成抛物线型，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立坐标系，求桥拱的函数 解析式； （2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； （3）在距离桥的一端 4 米处欲立一桥墩 EF 支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度 【解答】解： （1）抛物线的解析式为 yax2+c， 又抛物线经过点 C（0，8）和点 B（16，0） ， 0256a+8，a 抛物线的解析式为 yx2

31、+8（16x16） ； （2）设弧 AB 所在的圆心为 O，C 为弧 AB 的中点，CDAB 于 D，延长 CD 经过 O 点，设O 的半径 为 R， 在 RtOBD 中，OB2OD2+DB2 R2（R8）2+162，解得 R20； （3）在抛物线型中设点 F（x，y）在抛物线上，xOE16412， EFy3.5 米； 在圆弧型中设点 F在弧 AB 上，作 FEAB 于 E， OHFE于 H，则 OHD E16412，O FR20， 在 RtOH F中，H F， HEODOCCD20812，EFHFHE16124（米） 在离桥的一端 4 米处，抛物线型桥墩高 3.5 米； 圆弧型桥墩高 4 米

32、 22 （12 分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单 价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具 （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在 40 元的基础上上涨 x（x0） ，请你分别用 x 的代数式来表示 销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 W（元） ，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） 40+x 销售量 y（件） 60010 x 销售玩具获得利润 W（元） 10 x2+500 x+6000 （2）在（1）问条件下，若商场获得 10000 元销售利润，则该玩具销售单价应定为多少元？ （3

33、）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元，且商场要完成不少于 540 件的 销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【解答】解： （1）由题意得，销售量为：y60010 x， 销售玩具获得利润为：W（40+x30） （60010 x）10 x2+500 x+6000； 故答案为：60010 x，10 x2+500 x+6000； （2）列方程得：10 x2+500 x+600010000， 解得：x110，x240 该玩具销售单价应定为 50 元或 80 元； 答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润； （3）销售单价为

34、在 40 元的基础上上涨 x， 根据题意得， 解得：4x6， W10 x2+500 x+600010（x25）2+12250， a100，对称轴 x25， 当 4x6 时，y 随 x 增大而增大， 当 x6 时，W最大值8640（元） ， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元 23 （12 分）我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形类似地，我们定义：有一内角为 45 的三角形叫做半直角三角形如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，A（4，0） ，B（4，0） ，D 是 y 轴上的一个动点，ADC90（A、D、C 按顺时针方向排列） ，BC 与经过 A、B、D 三点的M 交

35、于 点 E，DE 平分ADC，连接 AE，BD显然DCE、DEF、DAE 是半直角三角形 （1）求证：ABC 是半直角三角形； （2）求证：DECDEA； （3）若点 D 的坐标为（0，8） ，求 AE 的长 【解答】 （1）证明：ADC90，DE 平分ADC， ADE45， ABEADE45， ABC 是半直角三角形； （2）证明：OMAB，OAOB， ADBD， DABDBA， DEBDAB， DBADEB， D、B、A、E 四点共圆， DBA+DEA180， DEB+DEC180， DEADEC； （3）解：如图 1，连接 AM，ME，设M 的半径为 r， 点 D 的坐标为（0，8） ，

36、 OM8r， 由 OM2+OA2MA2得： （8r）2+42r2， 解得 r5， M 的半径为 5， ABE45， EMA2ABE90， EA2MA2+ME252+5250， AE5 24 （14 分）如图，已知二次函数 yx2+bx+c 经过 A，B 两点，BCx 轴于点 C，且点 A（1，0） ，C（4， 0） ，ACBC （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 是线段 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，过点 E 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标及 SABF； （3）点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的 P 点，使ABP

37、成为直角三角形？若存在， 求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）点 A（1，0） ，C（4，0） ， AC5，OC4， ACBC5， B（4，5） ， 把 A（1，0）和 B（4，5）代入二次函数 yx2+bx+c 中得： ，解得：， 二次函数的解析式为：yx22x3； （2）如图 1，直线 AB 经过点 A（1，0） ，B（4，5） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， ，解得：， 直线 AB 的解析式为：yx+1， 二次函数 yx22x3， 设点 E（t，t+1） ，则 F（t，t22t3） ， EF（t+1）（t22t3）（t）2+， 当 t时，EF 的

38、最大值为， 点 E 的坐标为（，） ， SABF （3）存在， yx22x3（x1）24， 设 P（1，m） ， 分三种情况： 以点 B 为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2PA2， （41）2+（m5）2+（4+1）2+52（1+1）2+m2， 解得：m8， P（1，8） ； 以点 A 为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2PB2， （1+1）2+m2+（4+1）2+52（41）2+（m5）2， 解得：m2， P（1，2） ； 以点 P 为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2BA2， （1+1）2+m2+（41）2+（m5）2（4+1）2+52， 解得：m6 或1， P（1，6）或（1，1） ； 综上，点 P 的坐标为（1，8）或（1，2）或（1，6）或（1，1）