2021届广东省珠海市高三上学期第一次摸底数学试题（含答案解析）

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1、珠海市珠海市 2020-2021 学年度第一学期高三摸底测试数学学年度第一学期高三摸底测试数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 设集合 2 |4Ax x ， 2 |30Bx xx ，则AB ( ) A. ( 5, 2)(2,6) B. ( 2,2) C. (, 5)(6,) D. (, 2)(2,) 【答案】A 【解析】 【分析】 本题首先可以通过对不等式 2 4x 、 2 30 xx 进行计算得出集合A和集合B中所包含

2、的元素，然后通过 交集的相关性质即可得出结果. 【详解】 2 4x ，即 2x 或2x，则集合, 22,A ， 2 30 xx ，即( )() 650 xx-+，解得56x-，则集合5,6B ， 故( 5, 2)(2,6)AB ， 故选：A. 【点睛】本题考查集合的相关运算，主要考查交集的相关运算，考查一元二次不等式的解法，考查计算能 力，是简单题. 2. 2 7 (1) i i ( ) A. 1 B. 2 C. i D. 2i 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的四则运算，计算结果即可. 【详解】化简得 2 732 (1)222 2 1 ii iii . 故选：B. 【点睛】本题考查了

3、复数的四则运算和虚数单位的幂运算，属于基础题. 3. 8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生 a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有( ) A. 280种 B. 350种 C. 70 种 D. 80 种 【答案】B 【解析】 【分析】 对医生 a去乙、丙医院进行讨论，分别按要求选派，即得结果. 【详解】若医生 a去乙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得 322 742 210C C C ； 若医生 a去丙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得 331 741 140C C C ； 所以不同的选派方式共有210 140350种. 故选：B.

4、【点睛】本题考查了组合的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题. 4. 一球O内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC，过C作与球O相切的平面 ，则直线AC与平面 所成的角为( ) A. 30 B. 45 C. 15 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】 分析得平面与圆锥底面平行，求直线AC与圆锥底面所成的角，即得结果. 【详解】 如图所示截面为正三角形的三棱锥中，, ,A B C在球O上，过C作与球O相切的平面必然与圆锥底面平 行，则直线AC与平面所成的角，即直线AC与圆锥底面所成的角，即60CAB， 故选：D. 【点睛】本题考查了球内接圆锥，直线与平面所成的角，属于基础

5、题. 5. 现有 8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5人会拉小提琴，5人会吹长笛， 现从这 8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 3 8 D. 5 8 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意：8位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5 人会拉小提琴，5 人会吹长笛即可知有 2位同学两种乐 器都会演奏，利用古典概型的概率公式求概率即可； 【详解】由题意知，8位同学中有 2 位同学两种乐器都会演奏 从 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率为：(P两种乐器都会演奏的同 学 1 2

6、1 8 1 ) 4 C C 故选：A 【点睛】本题考查了古典概型，首先根据已知判断两种乐器都会演奏的学生人数，然后利用古典概型的概 率公式求概率； 6. 若定义在R上的奇函数 f x在 0,单调递增，且50f ，则满足 0 xf x 的解集是( ) A. , 55, B. , 50,5 C. 5,05, D. 5,00,5 【答案】D 【解析】 【分析】 分析出函数 f x在,0单调递增，可得出 50f，然后分0 x、0 x、0 x三种情况解不等式 0 xf x ，综合可得出原不等式的解集. 【详解】由于定义在R上的奇函数 f x在0,单调递增，则该函数在,0单调递增， 且 00f， 550f

7、f. 显然当0 x时， 000f； 当0 x时，由 0 xf x 可得 05f xf，解得05x； 当0 x时，由 0 xf x 可得 05f xf，解得5x0 . 因此，不等式 0 xf x 的解集为 5,00,5. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等 题. 7. 已知 P 是边长为 1正方形 ABCD边上或正方形内的一点，则AP BP 的最大值是( ) A. 1 4 B. 2 C. 1 D. 1 2 【答案】C 【解析】 【分析】 构建 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设( ,

8、 )P x y则可用坐标表示 22 AP BPxxy，由于 , x y是两个相互独立的变量，即可将代数式中含x和y的部分分别作为独立函 数求最大值，它们的和即为AP BP 的最大值 【详解】构建以 A 为原点，AB为 x轴，AD为 y轴的直角坐标系，如下图示： 由正方形 ABCD边长为 1，知：(1,0),(1,1),(0,1)BCD， 若令( , )P x y，即( , )APx y，(1, )BPxy； 22 AP BPxxy，而01x，0 1y ， 则 22 11 ( )() 24 f xxxx在0 1x上0 x或1x 有最大值为 0， 2 ( )g yy在0 1y 上1y 有最大值为

9、1； AP BP 的最大值为 1 故选：C 【点睛】本题考查了利用坐标表示向量数量积求最值，首先构建直角坐标系将目标向量用坐标表示，根据 数量积的坐标公式得到函数式，进而求最大值 8. 直线: l y kxb 是曲线 ln1f xx和曲线 2 lng xe x的公切线，则b( ) A. 2 B. 1 2 C. ln 2 e D. ln 2e 【答案】C 【解析】 【分析】 由 fxk 可求得直线l与曲线 ln1f xx的切点的坐标，由 gxk 可求得直线l与曲线 2 lng xe x的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l的方程，可得出关于k、b的方程组，进而可求 得实数b的值. 【详解】设直线

10、l与曲线 ln1f xx相切于点 11 ,A x y，直线l与曲线 2 lng xe x相切于点 22 ,B x y， ln1f xx，则 1 1 fx x ，由 1 1 1 1 fxk x ，可得 1 1 k x k ， 则 111 ln1lnyf xxk，即点 1 , ln k Ak k ， 将点A的坐标代入直线l的方程可得 1 ln k kkb k ，可得ln1bkk， 2 ln2lng xe xx，则 1 gx x ，由 2 2 1 gxk x ，可得 2 1 x k ， 22 2lnyg xk，即点 1 ,2lnBk k ， 将点B的坐标代入直线l的方程可得 1 2ln1kkbb k

11、 ，1 lnbk ， 联立可得2k ，1 ln2ln 2 e b . 故选：C. 【点睛】 本题考查利用两曲线的公切线求参数， 要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力， 属于中等题. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 已知双曲线E中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为 2yx ，则双曲线E的离心率为( ) A. 5 2 B

12、. 5 C. 5 3 3 D. 3 5 5 【答案】AB 【解析】 【分析】 对双曲线的焦点位置进行讨论，得, a b关系，再计算离心率即可. 【详解】若双曲线焦点在x轴上，因为渐近线方程为2yx ，故2 b a ， 2 15 cb e aa ； 若双曲线焦点在y轴上，由渐近线方程为2yx ，得2 a b ， 2 5 1 2 cb e aa . 故选：AB. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了分类讨论思想，属于基础题. 10. 如图是函数 sin 0f xAx的部分图象，则( ) A. 1 2sin 24 f xx B. 1 2sin 22 f xx C. 1 2sin 22 f xx

13、D. 1 2cos 2 f xx 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由图象可求得函数 yf x的振幅A以及最小正周期T，可求得的值，再将点0,2的坐标代入函数 yf x的解析式可求得的值，结合诱导公式可得出合适的选项. 【详解】由图象可得 max2f xA，该函数的最小正周期T满足 1 2 2 T，可得4T， 21 2T ，所以， 1 2sin 2 fxx， 又 02sin2f，可得sin1，2 2 kkZ ， 111 2sin22sin2cos 22222 f xxkxx ，B、D 选项合乎要求； 对于 A选项， 11 2sin2sin 2422 f xxx ，不合乎要求； 对于 C选项，

14、 111 2sin2sin2cos 22222 f xxxx ，C选项合乎要求. 故选：BCD. 【点睛】本题考查利用图象求正弦型函数的解析式，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于 中等题. 11. 已知0ab，则( ) A. 22 2abab B. 22 2abab C. ()0a ab D. 2 ba ab 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由, a b异号，利用不等式性质以及基本不等式即可判断各选项的正误； 【详解】0ab即, a b异号； 22 2abab成立，故 A 正确，而 B错误； 又 2 ()0a ab =aab，故 C 正确； | ()()2 () ()2 bab

15、aba ababab 当且仅当 ab时等号成立，故 D正确 故选：ACD 【点睛】本题考查了不等式，根据两数异号，结合不等式性质以及基本不等式判断正误，属于简单题； 12. 已知随机变量X的取值为不大于()n nN 的非负整数，它的概率分布列为 X 0 1 2 3 n p 0 p 1 p 2 p 3 p n p 其中(0,1,2,3, ) i p in满足0,1 i p ，且 012 1 n pppp定义由X生成的函数 23 0123 ( ) in in f xpp xp xp xp xp x，( )g x为函数( )f x的导函数，()E X为随机变量X 的期望现有一枚质地均匀的正四面体型骰

16、子，四个面分别标有 1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两 次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为 1( ) f x，则( ) A. ()(2)E Xg B. 1 15 (2) 2 f C. ()(1)E Xg D. 1 225 (2) 4 f 【答案】CD 【解析】 【分析】 先求出 1211 123 ()()23 in in g xfxpp xp xip xnp x 和 123 ()23 in E Xpppipnp，并判断 123 ()23(1) in E Xpppipnpg， 则排除选项 A，判断选项 C正确； 再求出X的分布列和 1( ) f x的解析式，最后求出 1 225 (

17、2) 4 f，则排除选项 B；判断选项 D正确. 【详解】解：因为 23 0123 ( ) in in f xpp xp xp xp xp x， 则 1211 123 ( )( )23 in in g xfxpp xp xip xnp x ， 123 ()23 in E Xpppipnp， 令1x 时， 123 ()23(1) in E Xpppipnpg， 故选项 A 错误，选项 C正确； 连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X，则X的分布列为： X 2 3 4 5 6 7 8 p 1 16 2 16 3 16 4 16 3 16 2 16 1 16 2345678 1 1234321 ( )

18、16161616161616 f xxxxxxxx 2345678 1 1234321225 (2)2222222 161616161616164 f 故选项 B 错误；选项 D正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查导数的运算、由X生成的函数求数学期望、求随机变量生成的函数与函数值，是基础题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过原点的直线l与E交于 A，B两点， 1 AF、 2 BF都 与x轴垂直，则|AB=_ 【答案】13 【解析】 【分析】 根据

19、题中所给的椭圆方程， 以及椭圆中, ,a b c三者之间的关系， 可以求得 2 1c ， 设出 11 1,1,AyBy， 由两点间距离公式可以求得 2 1 44ABy，根据点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程，求得 2 1 9 4 y，之 后代入求得 9 4413 4 AB ，得到结果. 【详解】在已知椭圆中， 222 431cab， 因为直线l过原点，交椭圆于,A B两点， 则A与B关于原点对称， 又 1 AF、 2 BF都与x轴垂直， 设 11 1,1,AyBy，则 222 111 ( 1 1)()44AByyy ， 又A在椭圆上，则 2 1 1 1 43 y ，得 2 1 9 4 y， 则 9

20、 4413 4 AB ， 故答案为：13. 【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆中, ,a b c三者之间的关系，椭圆上点的坐标 的特征，两点间距离公式，属于基础题目. 14. 将数列 2 n 与2n的公共项从小到大排列得到数列 n a，则 n a的前10项和为_(用数字作 答) 【答案】2046 【解析】 【分析】 本题首先可以根据题意确定数列 n a的前10项，然后通过等比数列求和公式即可得出结果. 【详解】因为数列 n a是由数列 2n与2n的公共项从小到大排列得到， 所以数列 n a的前10项为2、 2 2 、 3 2、 4 2 、 10 2 ， 则 n a的前10

21、项和为 () 10 11 2 1 2 222046 1 2 - =-= - ， 故答案为：2046. 【点睛】本题考查数列的项以及等比数列求和公式的应用，能否根据题意确定数列中的项是解决本题的关 键，考查计算能力，是简单题. 15. 已知、为锐角三角形的两个内角， 4 3 sin 7 ， 5 3 sin() 14 ，则cos2_ 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系式得到cos、cos()，再用凑角得到cos，最后利用二倍角 公式得到答案. 【详解】因为、为锐角三角形的两个内角， 所以0,0 22 ， 2 +， 因为 4 3 sin 7 ， 5 3 sin()

22、 14 ， 所以 2 2 4 31 cos1 sin1 77 ， 2 2 5 311 cos()1 sin1 1414 ， 所以coscos()cos()cossin()sin 1114 35 31 1477142 ， 则 2 11 cos22cos121 42 ， 故答案为： 1 2 . 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角差的三角公式、倍角公式，属于基础题. 16. 一半径为R的球的表面积为64，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的 最大值为_ 【答案】64 2 【解析】 【分析】 由球体的表面积公式求出半径R，根据其内接长方体的过球心的对角截面为正方形

23、，设内接长方体的长、 宽、高分别为,a b c即有 222 abc、 22 32ab ，最后利用长方体的体积公式有 22 Vab ab ， 利用基本不等式即可求其最大值 【详解】由半径为R的球的表面积为64，知： 2 464R，有4R ； 由题意，若设内接长方体的长、宽、高分别为,a b c，则 222 abc， 2222 464abcR ； 22 32ab ，而长方体体积 22 Vabcab ab 3 22 2 22 () 64 2 2 ab Vab ab 当且仅当4ab时等号成立 故答案为：64 2 【点睛】本题考查了空间几何体的表面积和体积，根据球体表面积公式得到其半径，由内接长方体的对

24、角 截面为正方形即可得长、宽、高的等量关系，利用长方体的体积公式结合基本不等式求最值 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 1 cos 2 B ， 1 cos 2 C ， 2 cos 2 C 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 若问题中的三角形存在， 求c的值； 若问题中的三角形不存在， 说明理由 问题：是否存在非直角ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 sin(12cos)2sincoscossinBCACAC ，1b，_? 注：如果

25、选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】 利用两角和正弦公式化简三角函数式，得到(2sinsin)cos0BAC，结合题设可知2ab且1b、 2a，进而利用或或求得相关结论，判断是否与题设矛盾即可；若不矛盾，利用正余弦定理即可求 c 值； 【详解】ABC中，由sin(12cos)2sincoscossinBCACAC，得 sin2sincossincoscossinsincosBBCACACACsinsincosBAC (2sinsin)cos0BAC； ABC不是直角三角形； cos0C ，则有2sinsinBA，即2ab，而1b，即有2a； 选：由

26、1 cos 2 B ，及0B 得 3 B ； 由 sinsin ba BA 得sin 31A 不合理，故ABC不存在. 选：由 1 cos 2 C 得： 22 2cos3cababC ，故有 222 bca； A为直角，不合题设，故ABC不存在 选：由 2 cos 2 C 得： 22 2cos52 2cababC 【点睛】本题考查了解三角形及三角恒等变换等相关知识，利用三角恒等变换中两角和正弦公式化简已知 函数式，进而得到相关结果，再结合所给条件得到相关结论并判断是否与题设矛盾； 18. 已知数列 n a是正项等比数列，满足 345 2aaa， 12 1aa (1)求 n a的通项公式； (2

27、)设 2 log (3) nn ta，求数列 12 1 nn tt 的前n项和 n T 【答案】(1) 1 2 3 n n a ；(2) 1 n n T n . 【解析】 【分析】 (1)本题首先可设数列 n a的公比为q，然后根据题意得出 234 111 11 2 1 a qa qa q aa q ，通过计算求出 1 a和q的 值，最后根据等比数列通项公式即可得出结果； (2)本题首先可根据 1 2 3 n n a 得出 1 n tn，然后根据1 n tn得出 12 111 1 nn ttnn ，最后通过裂项相 消法求和即可得出结果. 【详解】(1)设正项等比数列 n a的公比为0q ， 因

28、为 345 2aaa， 12 1aa， 所以 234 111 11 2 1 a qa qa q aa q ，解得 1 1 3 2 a q ， 故 n a的通项公式 1 2 3 n n a . (2)因为 1 2 3 n n a ，所以 1 22 log (3)log 21 n nn tan ， 则 12 1111 (1)1 nn ttn nnn ， 故数列 12 1 nn tt 的前n项和为： 1111111 (1)()()() 2233411 n n T nnn 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，常见的裂项有： 111 (1)1n nnn 、 11 (1)1 k n

29、nnn k 骣 琪=- 琪 + 桫 、 11 11 ()n naa nna 等，考查计算能力，是中档题. 19. 如图， 三棱锥PABC中，2ACBCPCPB，120ACB ， 平面PBC 底面ABC，D、 E分别是BC、AB的中点 (1)证明：PD 平面ABC； (2)求二面角PCEB的正切值 【答案】(1)证明见解析；(2)2. 【解析】 【分析】 (1)利用等腰三角形三线合一可得PDBC，由面面垂直的性质定理可得出PD 平面ABC； (2)取CE中点F， 连接DF、PF， 证明出CE 平面PDF， 可得出二面角PCEB的平面角为PFD， 通过解PDF可求得tanPFD，进而得解. 【详解

30、】(1)证明：PCPB，D是BC中点，PDBC， 平面PBC 底面ABC，平面PBC底面ABCBC， PD 平面PBC， PD平面ABC； (2)如图，取CE的中点F，连接DF、PF，则/DF AB， 2ACBCPCPB，E是AB的中点，120ACB，则 30CBE ， CEAB，DFCE，cos303BEBC， 22 3PDPDBD ， 13 22 DFBE， PD 平面ABC，CE平面ABC，CEPD， PDDFD，CE平面PDF， PF 平面PDF，CEPF，PFD为二面角PCEB的平面角. 在Rt PDF中， 3 tan2 3 2 PD PFD DF ，因此，二面角PCEB的正切值为2

31、. 【点睛】本题考查利用面面垂直证明线面垂直，同时也考查了利用定义求解二面角的正切值，考查推理能 力与计算能力，属于中等题. 20. 某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了 100 件产品作为样本检测 某项质量指标值: 该项质量指标值落在25,30)内的产品为优等品，每件售价 240 元；质量指标值落在 20,25)和30,35)内的为一等品，每件售价为 180元；质量指标值落在35,40)内的为二等品，每件售价 为 120 元；其余为不合格品，全部销毁每件产品生产销售全部成本 50元下图是设备升级前 100个样本 的质量指标值的频率分布直方图 下表是设备升级后

32、100个样本的质量指标值的频数分布表 质量 指标 值 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 频数 2 18 48 14 16 2 (1)以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润X(元) 的期望的估计值 (2)以样本估计总体， 若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件， 设其支付的费用为(单位： 元)， 求(元)的分布列 【答案】(1)118元；(2)答案见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据产品等级得X取值，利用频数分布表计算频率，得到分布列并计算期望即可； (2)先列出患者购买一件合格品费用的分

33、布列，再写患者随机购买两件时的分布列即可. 【详解】解：(1)由题设知，产品等级分为不合格、品二等品，一等品，优等品，则50,70,130,190X ， 根据频数分布表得到X的分布列为: X 50 70 130 190 P 0.14 0.18 0.28 0.4 设备升级前利润的期望值为: ()0.14 ( 50)0.18 700.28 1300.4 190118E X 升级前一件产品的利润的期望估计值为 118元 (2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为(元) 则120,180,240，患者购买一件合格品的费用的分布列为 120 180 240 P 1 6 1 3 1 2 故患者随机购买两件

34、时240,300,360,420,480 111 (240) 6636 P 111 (300) 339 P 11115 (360)2 263318 P 111 (420)2 323 P 111 (480) 224 P 则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为 240 300 360 420 480 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 【点睛】本题考查了频率分布直方图和频率分布表的应用，以及分布列和期望的计算，属于中档题. 21. 已知函数 2 ( )e2() xx f xxaxeaxa，0a (1)讨论函数 ( )f x 单调性； (2)讨论 ( )f x的零点的个数 【答案】(

35、1)减区间是(,1)，增区间是(1,)；(2)0a时， ( )f x有两个零点； 0a时， ( )f x只有 一个零点 【解析】 【分析】 (1)利用函数求导，判断导数符号确定 ( )f x的单调性即可； (2)对a进行分类讨论，利用零点存在定理确定零点即可. 【详解】解：(1) 2 ( )e2() xx f xxaxeaxa ( )(1)(e2 ) x fxxa 0a时20 x ea，故1x时 ( )0fx ，1x 时( )0fx . 0a时， ( )f x的减区间是(,1) ，增区间是(1,)； (2)0a时，( )01 f 且 ( )f x的减区间是(,1) ，增区间是(1,) (1)0

36、fe 是 ( )f x的极小值，也是最小值，(2)0fa ， 取0b 且ln 2 a b 则 22 ( )(2)(1)(2)(1)(23)0 22 b aa f bbea bba bbb ( )f x在( ,1)b 和(1,2)上各一个零点； 0a时，( )(2) x f xxe，只一个零点2x， 综上，0a时， ( )f x有两个零点； 0a时， ( )f x一个零点 【点睛】本题考查了函数的单调性和导数的应用，函数零点问题，属于中档题. 22. 已知抛物线E的顶点在原点，焦点(0, ) 2 p F(0)p 到直线:2l yx的距离为 3 2 2 ， 00 (,)P xy为直 线l上的点，过

37、P作抛物线E的切线PM、PN，切点为MN、 (1)求抛物线E的方程； (2)若(3,1)P，求直线MN的方程; (3)若P为直线l上的动点，求| |MFNF的最小值 【答案】(1) 2 :4E xy；(2):3220MNxy；(3) 9 2 【解析】 【分析】 (1)利用点到直线距离公式直接求解p的值，便可确定抛物线方程； (2)利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点p，得到直线方程； (3)通过直线与抛物线联立，借助韦达定理将| |MFNF进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式 是解题的关键，然后利用二次函数求最小值. 【详解】(1)由(0,) 2 p F到直线:20l xy的距

38、离为 3 2 2 得 |2| 3 2 2 22 p 得2p 或10p 0p 2p 抛物线 2 :4E xy (2) 由 2 :4E xy知 2 1 4 yx 2 x y 设切点 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy 则 2 1111 111 :()2 2222 xxxx PMyyxxxxy 即 1 1 : 2 x PMyxy 2 2 : 2 x PN yxy PPM，PPN 11 22 3 10 2 3 10 2 xy xy 即 11 22 3220 3220 xy xy :3220MNxy (3)若P为直线l上的动点，设00 (,)P xy，则 00 2xy 由(2)知 PPM，PPN 0 110 0 220 0 2 0 2 x xyy x xyy 0 0 :0 2 x MNxyy与 2 :4E xy联立消x得 222 000 (24)0yyyyy“” 则 1 y， 2 y是“”的二根 2 1200 2 120 24yyyy y yy 121212 | | (1)(1)1MFNFyyyyy y 2 00 225yy 当 0 1 2 y 时，| |MFNF得到最小值为 9 2 【点睛】本题是一道抛物线与直线的综合性应用问题，解题的关键是掌握抛物线的简单性质.