初二数学讲义春 直升班 第9讲 特殊四边形的存在性问题（教师版）

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1、特殊四边形的存在性问题特殊四边形的存在性问题 模块一 平行四边形的存在性问题 模块二 菱形的存在性问题 模块三 矩形的存在性问题 模块一：坐标系下平行四边形的存在性问题模块一：坐标系下平行四边形的存在性问题 1已知三点求第四点构成平行四边形： 如图所示，已知 11 ( ,)B xy， 22 (,)C xy， 33 (,)D xy，在平面内找一点( , )A x y，使得以 A、B、C、D 为顶点的 四边形为平行四边形 2解决方法，分两步走： （1）找点：连接 BC、CD、BD 得到BCD，以三角形中任意一条边作为平行四边形的对角线，另外两条 边作为平行四边形的一组邻边，依次做两邻边的平行线，分

2、别相交于 A、A、A三点 （2）求点定点：分类讨论，以哪条线为对角线分类讨论 几何中心法（适用解答大题） ： 在平行四边形 ABCD 中， 连接其对角线 AC、 BD 相交于点 00 (,)E xy， 则 E 是 BD 的中点，E 点坐标可表示为 1313 , 22 xxyy ， 同理 E 也是 AC 的中点，E 点坐标也可表示为 22 , 22 xxyy ， 132 22 xxxx ， 132 22 yyyy ，由此即可求出 A 点坐标 同理可以求得，A、A的坐标 公式法（填空选择题） ： 直接利用对角的点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，即 132 xx =xx， 132 yy =yy 模

3、块二：菱形的存在性问题模块二：菱形的存在性问题 1题型描述：已知两个定点 A、B，在定直线 l 上有一点 C，在平面内有一点 D 使得以 A、B、C、D 为顶 点的四边形为菱形 2解决方法，分两步走： （1）转化：转化为等腰三角形的存在性问题 （2）等腰三角形存在性问题： 找点：两圆一线； 求点：以谁为顶点分类讨论 模块三：矩形的存在性问题模块三：矩形的存在性问题 1题型描述：已知两个定点 A、B，在定直线 l 上有一点 C，在平面内有一点 D 使得以 A、B、C、D 为顶 点的四边形为矩形 2解决方法，分两步走： （1）转化：转化为直角三角形的存在性问题 （2）直角三角形存在性问题： 找点：

4、两线一圆； y A D A x B E CO A 求点：以谁为直角分类讨论 模块一 平行四边形的存在性问题 （1）在平面直角坐标系内 A，B，C 三点的坐标分别是 1 5 , 2 2 ， 1 9 , 2 2 ，(2, 0)，以 A，B，C 三点为顶点画 平行四边形，则第四个顶点坐标为_ （2）（嘉祥） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知直线 PA 是一次函数(0)yxm m 的图象，直线 PB 是一次函数3()yxn nm 的图象，点 P 是两直线的交点，点 A、 B、C、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点若四边形 PQOB 的面积是 5.5，且 :1: 2CQ AO，若存在一点 D，

5、使以 A、B、P、D 为顶点的四边形是平行四边形，则 点 D 的坐标为_ （1）( 2, 7)，(3, 2)，(1,2)； （2） 1 59 , 22 D 、 2 11 9 , 2 2 D 、 3 13 9 , 2 2 D 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查已知三点，求另外一点的坐标 如图，已知一次函数 3 6 3 yx的图像分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，点(0, 2)D，点 N 在 x 轴上，直线 AB 上是否存在点 M，使以 M、N、B、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 M 点的坐标；若不存在， 请说明理由 由题意得，(0,6)B，(0, 2)D， 设

6、3 ,6 3 M mm ，( ,0)N n， 当 BD 为对角线时， 由题意得， 3 86 3 0mn m ，解得 2 3 2 3 m n ， (2 3,8)M； 当 BM 为对角线时， 由题意得， 3 122 3 m m n ，解得 10 3 10 3 m n ，( 10 3, 4)M ， 当 DM 为对角线时， 例题 1 例题 2 备用图 A B Q P C B A y O x O x y 由题意得， 3 86 3 m m n ，解得 2 3 2 3 m n ，( 2 3,4)M ， 综上所述，(2 3,8)M或( 10 3, 4)M 或( 10 3, 4)M 【教师备课提示】【教师备课提

7、示】这道题主要考查已知两点，另外有一点在特殊的直线上 如图 3-1，在平面直角坐标中，直角梯形 OABC 的顶点 A 的坐标为(4, 0)，直线 1 3 4 yx 经过顶点 B，与 y 轴交于顶点 C，AB/OC （1）求顶点 B 的坐标； （2）如图 3-2，直线 l 经过点 C，与直线 AB 交于点 M，点 O 为点 O 关于直线 l 的对称点，连接 CO ，并延长 交直线 AB 于第一象限的点 D，当5CD 时，求直线 l 的解析式； （3）在（2）的条件下，点 P 在直线 l 上运动，点 Q 在直线 OD 上运动，以 P、Q、B、C 为顶点的四边形能否 成为平行四边形？若能，求出点 P

8、 的坐标；若不能，说明理由 图 3-1 图 3-2 （1）(4,0)A，AB/OC，设点 B 的坐标为(4,)y， 把4x 代入 1 3 4 yx中，得2y ， (4, 2)B； （2）过 C 点作CNAB于 N， AB/OC，OCMDMC ， 由题意DCMOCM ， DCMDMC 5CDMD， 1 3 4 yx ，当0 x 时3y ， 3OC ， 4CNOA， 2NM ， 1AM ， (4,1)M 设 l 解析式ykxb把(0 3)，(4,1)代入得 图2图1 l O D M y O x A B C C B A x O y 图2图1 l O D M y O x A B C C B A x O

9、 y 例题 3 N M B A C O D O x y U V 备用图1 C Q M A P B D Ox y 3 14 b kb ，解得 1 2 3 k b ， l 的解析式 1 3 2 yx ； （3）6AD ，BC 为一边， (4,6)D， OD 的解析式为 3 2 yx， 过 P 作 y 轴垂线交直线 AD 于点 U，过点 Q 作 x 轴平行线与 y 轴交于点 V， 设点 1 ,3 2 P xx ， OCQABP,90CVQPUB，且CQPB， CVQBUP，则4PUQVx， 1 4, 4 2 Q xx ，代入 3 2 yx中，得5x ， 1 1 5, 2 P ， 如图，同理 2( 2

10、, 4) P ， 当BC为对角线时，设 1 ,3 2 P aa ， 3 , 2 Q bb ， 即 4 13 35 22 ab ab ， 解得 2 2 a b ， 3(2, 2) P 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查已知两点，另外两点均在一般的直线上 模块二 菱形的存在性问题 （1）已知如图，直线 3 2 3 yx与坐标轴交于 A、B 两点，若点 P 是直线 AB 上的一个动点，试在坐标平面内 找一点 Q，使以 O、B、P、Q 为顶点的四边形为菱形，则 Q 的坐标是_ （2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的边 OC、OA 分别与 x 轴、y 轴重合，AB/OC90A

11、OC， 45BCO，12 2BC ，点 C 的坐标为( 18,0) 求点 B 的坐标； 若点 P 是直线:4DE yx 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点 Q，使以 O、E、P、Q 为顶点的四边 形是菱形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 例题 4 A M P B D C y O Q x （1）3,1)（或(3,3)或3 3（， ）或( 3,3) （2）过点 B 作BFx轴于 F， 在RtBCF中，45BCO，12 2BC ，12CFBF， C 的坐标为( 18,0)，6ABOF， 点 B 的坐标为( 6,12) 结论：存在将菱形的问题转化成等腰三角形的问题 1）当 OP

12、 为对角线，即EOEP， 则有 12 4PEP EOE， 11 2 42 2 2 PNNFPF； 1(2 2,4 2 2)P， 1(2 2 2 2)Q，； 2( 2 2,4 2 2)P ， 2( 2 2 2 2) Q ，； 2）当 EP 为对角线，即OEOP， 3(4,0) P， 3(4, 4) Q； 3）当 OE 为对角线，即EPOP， 4(2,2) P， 4( 2, 2) Q 综上所述，存在点 Q，使以 O、E、P、Q 为顶点的四边形是菱形； 点 Q 的坐标为： 1(2 2, 2 2)Q， 2( 2 2, 2 2) Q ， 3(4, 4) Q， 4( 2, 2) Q 【教师备课提示】【教师

13、备课提示】这道题主要考查菱形存在性问题转化为等腰三角形的问题，当然直线都是倾斜角度比较特殊 的直线 如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是平行四边形，6AD ，4OA 、3OB ，若点 M 在平面直角坐 标系内，则在直线 AB 上是否存在点 F，使以 A、C、F、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，求 F 点的坐标， 若不存在，请说明理由 1(3,8) F； 2( 3, 0) F ； 3 7522 147 F ，； 4 42 44 , 25 25 F 【教师备课提示】【教师备课提示】 这道题主要考查菱形存在性问题转化为等腰三角形的问题， 直线 是一般的直线 A E D B CxO y 例

14、题 5 y B A O x y x A D BOC 模块三 矩形的存在性问题 如图，平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的函数解析式为23yx，点 P 在直线 l 上，已知( 1, 0)A 、3 2B （， ）， 在坐标平面内是否存在一点 Q，使得以 P、A、Q、B 为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出 P、Q 两点的坐 标，若不存在，请说明理由 存在，将矩形的问题转化成直角三角形的问题 由题意得，( 1, 0)A 、3 2B （， ）， 直线 AB 为： 11 22 yx 当90A时，则APAB，点 P 在过点 A 且垂 直于 AB 的直线上， 此时直线 AP 的解析式为：22yx ， 由

15、题意得， 22 23 yx yx ，解得 5 4 1 2 x y ， 5 1 , 4 2 P ， 11 5 , 4 2 Q ， 当90B，则BPAB，点 P 在过点 B 且垂直于 AB 的直线上， 此时直线 BP 的解析式为：28yx ， 由题意得， 28 23 yx yx ，解得 5 4 11 2 x y ， 5 11 , 4 2 P ， 11 7 , 4 2 Q ， 当90P，则PAPB，设点( ,23)P mm， 由题意得， (23)(21) 1 (1)(3) mm mm ，即 2 560mm， 解得 1 0m ， 2 6 5 m ，0,3P或 6 3 , 5 5 P ， (2, 1)Q

16、或 16 7 , 55 Q ， 综上所述， 5 1 , 4 2 P ， 5 11 , 4 2 P ，(0,3)P， 6 3 , 5 5 P ， 对应的点 Q 为 11 5 , 4 2 Q ， 11 7 , 4 2 Q ，(2, 1)Q， 16 7 , 55 Q 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查矩形的问题转化为直角三角形的问题 例题 6 AO x B P l y 如图，已知直线 1 :2 2 l yx 与 x 轴，y 轴交于 M，N 两点，直线yxm与直线 l 交于点 P （1）若点 P 在第一象限，试求出 m 的取值范围 （2）当直线yxm经过线段 OM 的中点 B，求出两直线交

17、点 P 的坐标 （3） 若点 M 关于原点的对称点为 C， 过 C 作 x 轴的垂线xn， 点 A 在 x 轴上， 与原点 O 关于直线xn对称， 设点 Q 在直线 1 2 2 yx 上，点 E 在直线xn上，若以 A，O，E，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 E 的坐标 （1）直线 1 2 2 yx 和直线yxm相交点 P， 可得： 1 2 2 yx yxm ，解得 42 3 4 3 m x m y ，点 P 的坐标为 424 , 33 mm ， 点 P 在第一象限，可得 42 0 3 4 0 3 m m ，解得 2 4 m m ， 解得42m ，m 的取值范围为42m （2）直线 1

18、2 2 yx 与 x 轴交于 M 点， 把0y 分别代入解析式中，可得：点(4,0)M， B 为 OM 的中点，点 B 的坐标为(2, 0)，(2,0)B在yxm上， 得：20m，解得：2m ， 直线的解析式为：2yx， 8 2 , 3 3 P （3）(4,0)M，( 4,0)C ，可得直线的解析式为：4x ， 且可得( 8,0)A ，又(0,0)O，设( 4,)Em， 1 ,2 2 Q nn 演练 1 y N P OBM x y N P OBM x C D 当 OA 为对角线时，由题意得， 480 1 20 2 n mn ，解得 4 4 m n ，( 4, 4)E ， 当 OE 为对角线时，

19、由题意得， 840 1 200 2 n nm ，解得 0 4 m n ，( 4,0)E （舍去） 当 AE 为对角线时，由题意得， 048 1 200 2 n nm ，解得 8 12 m n ，( 4,8)E ， 综上所述，( 4, 4)E 或( 4,8)E 模块二 菱形的存在性问题 如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上，线段 OA、OB 的长()OAOB是方程 2 18720 xx 的两个根，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 在线段 OC 上，2ODCD （1）求点 C 的坐标； （2）求直线 AD 的解析式； （3）P 是直线 AD 上的点，在平面内是否存在点

20、 Q，使以 O、A、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直 接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 （1）由题意得， 2 18720 xx，解得 1 6x ， 2 12x ， 6OA ，12OB ，(6,0)A，(0,12)B，(3,6)C （2）作DFx轴于点 F，CEx轴于点 E， 则OFDOEC， 2 3 OFOD OEOC ， 可得2OF ，4DF (2, 4)D 设直线 AD 的解析式为 ykxb 60 24 kb kb ，解得 1 6 k b ，6yx 直线 AD 的解析式为6yx （3）存在如图：分为 P 在 x 轴上方和 P 在 x 轴下方两种情况， 1( 3 2,3

21、2) Q ； 2(3 2, 3 2)Q； 3(3, 3)Q； 4(6, 6) Q x y O D C A B 演练 2 模块三 矩形的存在性问题 如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，且 OA、OB 的长满足 2 |8| (60OAOB），ABO的平分线交 x 轴于点 C 过，点 C 作 AB 的垂线，垂足为点 D， 交 y 轴于点 E （1）求线段 AB 的长； （2）求直线 CE 的解析式； （3） 若 M 是射线 BC 上的一个动点， 在坐标平面内是否存在点 P， 使以 A、 B、 M、P 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由 （1） 2222 8610ABOAOB； （2） 4 4 3 yx ； （3） 1(3, 2) P或 2( 4,8) P 演练 3 y x O A E C D B