初二数学讲义春 直升班 第13讲 函数初步及一次函数（教师版）

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1、 第第 1313 讲讲 函数初步及一次函数函数初步及一次函数 模块一：函数初步模块一：函数初步 1常量常量与变量的与变量的概念概念：在一些变化过程中，有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量；在一 些变化过程中，有一种量，可以取不同数值的量，叫做变量 2函数的概念函数的概念：在某一变化过程中，有两个量 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯唯 一一 的值与之对应，此 时称 y 是 x 的函数其中 x 是自变量，y 是因变量 例如：圆的面积 S 与圆的半径 r 存在相应的关系： 2 Sr ，这里表示圆周率；它的数值不会变化，是常 量，S 随着 r 的变化而变化，r 是自变量，S 是因

2、变量 3数学上表示函数关系的方法通常有三种：数学上表示函数关系的方法通常有三种： （1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法譬如：30St， 2 SR （2）列表法：通过列表表示函数的方法 （3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法 4关于函数的关系式（解析式）的理解：关于函数的关系式（解析式）的理解： （1）函数关系式是等式例如4yx就是一个函数关系式 （2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边 的一个字母表示函数 例如24yxx中 x 是自变量，y 是 x 的函数 （3）函数关系式在书写时有顺序性 例如：31yx 是表示 y

3、是 x 的函数，若写成 1 3 y x 就表示 x 是 y 的函数 （4）求 y 与 x 的函数关系时，必须是只用变量 x 的代数式表示 y，得到的等式右边只含 x 的代数式 5函数图象：函数图象： （1）列表：对应到 x 的每一个值，y 有唯一确定的值，列表； （2）描点：把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，画点； （3）连线：坐标平面内把这些点连接起来所组成的图形，就是这个函数的图象 6函数解析式与函数图象的关系：函数解析式与函数图象的关系： 以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； 函数图象上点的坐标满足函数解析式 模块二：一次函数图像、性质及模块二：一次函数

4、图像、性质及解析解析式式 1正比例函数正比例函数 （1）定义：一般地，形如ykx（k 为常数，0k ）的函数，叫正比例函数，k 叫比例系数 （2）图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线.函数(0)ykx k也叫直线ykx. （3）性质： ykx 示意图（草图） 图象位置 变化趋势 性质（增减性） 0k 经过原点和 第一、三象限 从左向右 上升 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的减小而减小 0k 经过原点和 第二、四象限 从左向右 下降 y 随 x 的增大而减小 y 随 x 的减小而增大 2一次函数一次函数 O y x x y O （1）定义：一般地，形如ykxb（k，b 为常数，0k

5、）的函数，叫做一次函数 当0b 时，ykxb即为ykx，所以正比例函数是特殊的一次函数 （2）图象：一次函数ykxb的图象是一条直线，我们称它为直线ykxb，它可以看作直线ykx平 移|b个单位长度而得到（当0b 时，向上平移；当0b 时，向下平移） （3）图象与坐标轴交点：图象与 y 轴交于点(0, )b，与 x 轴交于点0 b k , （4）性质： ykxb 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性） 0k 0b 一、二、三 从左向右 上升 y 随 x 的增大而增大， y 随 x 的减小而减小 0b 一、三、四 0k 0b 一、二、四 从左向右 下降 y 随 x 的增大而减小，

6、y 随 x 的减小而增大 0b 二、三、四 （5）一次函数的解析式 待定系数法： 因为两点确定一条直线，所以有两个已知的点 11 ( ,)xy， 22 (,)xy带入解析式ykxb中，通过解关于 k、b 的二元一次方程组确定 k 与 b 的值，就可以求出解析式步骤：一设二代三解 点斜式，让学生理解这种方法，并熟练使用，提升解题速率 判断下列式子中，y 是否是 x 的函数 （1）3yx （2）1yx （3） 2 y x （4） 2 321yxx （5） 22 (35)yx （6） 315 yx （7）|12yx （8）| 8 |yx 【解析】【解析】（1） （2） （3） （4） （6） （8）

7、中，y 是 x 的函数； （5） （7）中，y 不是 x 的函数 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查函数的基本概念，函数判断：对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应， 则 y 是 x 的函数 O y x O y x x y O O y x 模块一 函数初步 例题1 求下列函数中自变量的取值范围 （1） 3 231yxx （2） 2 2 3 x y x （3） 2 1 1 y x （4）72yx （5）2373yxx （6） 24 | 3 x y x 【解析】【解析】（1）x 为任意实数； （2）3x ； （3）0 x ，且1x ； （4） 7 2 x ； （5）由 230 73

8、0 x x ，解得 37 23 x； （6）由 240 | 3 x x ，解得2x ，且3x 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查函数关系式中，自变量 x 的取值范围的求法： （1）分母不为 0； （2）偶次根号下非负； （3）代数式有意义 （1） 三角形的周长是 y cm， 三边长分别为 4cm， 6cm， x cm， 则以 x 为自变量表示 y 的函数关系式为_， 自变量 x 的取值范围是_ （2）矩形周长为 30，则面积 y 与一条边长 x 之间的函数关系式为_ （3）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过 12 立方米，按每立 方米 2 元收费

9、；若超过 12 立方米，则超过部分每立方米按 4 元收费，某户居民五月份交水费 y（元）与用水量 x（立方米） （12x ）之间的关系式为_，若该月交水费40元，则这个月的实际用水_立方 米 【解析】【解析】（1）10yx，210 x； （2） 2 15yxx，015x； （3）424yx，16 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查函数关系式的理解，y 用 x 来表示或者 y 与 x 的函数关系式都是指的函数关 系式，注意自变量 x 的取值范围 x 例题2 例题3 （1）下图分别给出了变量y与x之间的对应关系，y是x的函数的图象是（ ） A B C D （2）下面的曲线不表示 y 是 x

10、 的函数的是（ ） （3） 如图， 在等边ABC中， 直线 l垂直底边BC， 现将直线 l沿线段BC从B 点匀速平移至 C点， 直线 l与ABC 的边相交于 E、F 两点设线段 EF 的长度为 y，平移时间为 t，则下图中能较好反映 y 与 t 的函数关系的图象是 （ ） A B C D 【解析】【解析】（1） C， 对于 x 的每个值， y 都有唯一确定的值与之对应， 由 x 与 y 之间的一对一的关系即可判断；（2） B； （3）B （1）若函数 2 27 (2) m ymx 是正比例函数，则 m 的值是_ （2）下面哪个正比例函数的图象经过第一、三象限（ ） A( 23)yx B(3.1

11、4)yx C 2 (1)ymx（m为常数） D( 21)yx DC BA x y Ox y Ox y OO y x 例题4 模块二 一次函数图像、性质及解析式 例题5 A B C D y xxxx yy y l A E BFC y Ot y Ot y Ot y Ot （3）若正比例函数(12 )ym x的图象经过点 11 ( ,)A xy和点 22 (,)B xy，当 12 xx时， 12 yy，则 m 的取值范围 是_ （4） 一个正比例函数的图象经过第四象限内的两点(2,3 )Aa及B 3 ,9 2 a ， 则这个正比例函数为_ 【解析】【解析】（1） 2 271m 且20m ，所以2m

12、； （2）D； （3） 1 2 m ； （4）3yx 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查正比例函数的基本概念，正比例函数的判定： 形如ykx（k 为常数，0k ）的函数，叫做正比例函数 （1）下列函数中，2ypx（p 为常数） ；2yx ； 31 2 x y ； 2 3yx；(1)yx，其中是一 次函数的是_ （2）当m _时，函数 2 1 (2)2 m ymxm 表示一次函数，其表达式是_ （3）当m _时，函数 2 8 (2)56 m ymxx 是一次函数 【解析】【解析】（1）； （2）2；2 22 2yx ； （3）由定义可知： 2 81 250 m m 或20m ，3m 或2

13、m 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一次函数的基本概念，一次函数的判定： 形如ykxb（k，b 为常数，0k ）的函数，叫做一次函数 （1）已知一次函数为31yx，其与 x 轴的交点坐标为_，与 y 轴的交点坐标为_ （2）已知一次函数ykxb，其中0kb ，则所有 符合条件的一次函数的图象一定都 经过（ ） A第一、二象限 B第二、三象限 C第三、四象限 D第一、四象限 （3）如果直线yaxb经过一、三、四象限，那么直线ybxa经过第_象限；直线 b yx a 经过第 _象限 （4）如果一次函数yaxb不经过第一象限，那么 ab_0 （5）一次函数(21)ykxk不经过第一象限，则

14、 k 的取值范围是_ 【解析】【解析】（1） 1 , 0 3 ，(0,1)； （2）B（k 和 b 同号） ； （3）一、二、三，二、四； （4）0ab此题有两种情况：0a ，0b ；0a ，0b ； 例题6 例题7 （5）由题意得 210 0 k k ， 1 0 2 k . 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一次函数中k和b的作用： （1）k的正负性决定一次函数的上下坡趋势，0k 时，一定经过一三象限；0k 时， 一定经过二四象限； （2）b的正负性决定一次函数与 y 轴交点位置 （1） （石室联中期末）已知正比例函数(0)ykx k的函数值 y 随 x 的增大而增大，则一次函数yx

15、k的图像 大致是（ ） （2）下列图像中，不可能是关于 x 的一次函数(3)ymxm的图像的是（ ） A B C D （3）如图，一次函数ykxb和正比例函数ykbx在同一坐标系的大致图像是（ ） A B C D 【解析】【解析】（1）B； （2）D； （3）B 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查正比例函数和一次函数图象的判断 （1）若点( 2,)Pm，点(2, )Qn是直线 2 3 yxk（k 为常数）上的点，则 m、n 的大小关系是（ ） Amn Bmn Cmn D无法确定 A B C D x y OO y xx y O O y x x y OO y xx y OO y x A B

16、 C D 例题8 例题9 x y D O x y C O x y B O x y A O （2） （嘉祥期末）在函数3(0)ykxk的图像上有 1 ( 2,)Ay、 2 (1,)By、 3 ( 1,)Cy三个点，则 1 y、 2 y、 3 y从 小到大排列为_ （3） 三个一次函数 11 yk xb、 22 yk xb、 33 yk xb在同一直角坐标系中的图象如图所示， 分别为直线 1 l、 2 l、 3 l，则 1 k、 2 k、 3 k的大小关系是_ 【解析】【解析】（1）A； （2） 231 yyy； （3） 231 kkk （有个简便的判断斜率大小的方法：在x轴正方向的远端（一定要足

17、够远）画一条垂直于x轴的判定 线，观察并比较直线与判定线交点的纵坐标大小，就可以得到斜率的大小关系.记住判断方法可以帮助 我们更快更准确比较斜率大小） 【教师备课提示教师备课提示】0k 时，y 随 x 的增大而增大，一定经过一三象限；0k 时，y 随 x 的增大而减小，一 定经过二四象限 求下列一次函数解析式： （1）已知一次函数的图象经过( 1, 2)和(2, 4)两点则解析式为_ （2）已知一次函数的图象经过( 2,3)和(2, 4)两点则解析式为_ （3）已知一次函数的图象经过( 3, 0)和(1,3)两点，则解析式为_ （4）已知一次函数的图象经过( 3,1)和(1,3)两点，则解析式

18、为_ 【解析】【解析】（1）法一：设一次函数为ykxb，将点代入， 2 24 kb kb ， 解得： 2 3 8 3 k b ，则解析式为： 28 33 yx 法二： 21 21 422 2( 1)3 yy k xx ，设一次函数为 2 3 yxb， 将任意一个点代入，可得 8 3 b ，则解析式为： 28 33 yx （2） 17 42 yx 例题10 2 l 3 l x 1 l （3） 39 44 yx （4） 15 22 yx 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一次函数的解析式的求法：待定系数法，通过这道题总结斜率公式， 21 21 yy k xx 并让学生们使用另外一种方法：点

19、斜式重新练习下并快速写出解析式 一次函数(0)ymxn m，当25x 时，对应的 y 值为07y，求一次函数的解析式 【解析】【解析】若0m ，所以当2x 时，0y ；当5x 时，7y ； 则 20 57 mn mn ，解得1m ，2n ，2yx； 若0m ，所以当2x 时，7y ；当5x 时，0y ； 则 27 50 mn mn ，解得1m ，5n ，5yx 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题结合增减性来考查一次函数的解析式，分类讨论 复习巩固复习巩固 （1）下列各图中，是函数图象的是（ ） A B C D （2）下列图形中的曲线不表示 y 是x的函数的是（ ） A B C D x y

20、O B.A. O y xx y O C. x y O D. 例题11 模块一 函数初步 演练1 （3）边长为 1 和 2 的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形， 设穿过的时间为 t，大正方形内除去小正方形部分的面积为 s（阴影部分） ，则 s 与 t 的大致图象为（ ） A B C D 【解析】【解析】（1）D，y 有唯一值与 x 对应 （2）C （3） 选择 A， 当小正方形完全进入大正方形中时， 所剩面积为 3， 是大正方形面积的， 所以选择 A， C 的描述比例不符合 判断下列式子中 y 是否是 x 的函数，若是，请指出自变量 x 的取值范围 （

21、1）35yx； （2） 2 1 x y x ； （3） 2 yx； （4）| 3 |yx ； （5）|2yx ； （6） 2 1 x y x ； （7） 2 3 x y x ； （8） 3 yx 【解析】【解析】（3） （5）不是，其余均是.其中： （1）任意实数； （2）1x ； （4）任意实数； （6）1x ； （7）2x且3x ； （8）任意实数 （1）函数 2 3 (1)3 m ymxx 是正比例函数，则 m 的值是为_ （2）当a_时，函数 22 (1)(1)2yaxax是一次函数 （3）若一次函数5)2( 8 2 m xmy，y 随 x 增大而减小，m 的值为_ 【解析】【解析】（

22、1）2m 或1m ； （2）由 2 10a 且10a ，得1a ； （3）3 m t s O t s OO s tt s O 3 4 演练2 模块二 一次函数图像、性质及解析式 演练3 y xO （1）函数ykxb的图象在第一，三，四象限，那么 k，b 的符号同时正确的是（ ） A0k ，0b B0k ，0b C0k ，0b D0k ，0b （2）若一次函数ykxb的函数值 y 随 x 的增大而减小，且图象与 y 轴的负半轴相交，那么对 k 和 b 的符号 判断正确的是（ ） A0k ，0b B0k ，0b C0k ，0b D0k ，0b 【解析】【解析】（1）D； （2）D （1）已知一次函

23、数(5)1ya xa的图象如图所示，则 a 的取值范围是_ （2）一次函数(31)ymxm图象不经过第一象限，则 m 的取值范围是_ （3）若 abc t bccaab ，则一次函数 2 ytxt的图象必定经过第_象限 【解析】【解析】（1）由题意可得： 50 10 a a ，解得15a； （2）由题意可得： 310 0 m m ，解得 1 0 3 m ； （3）由题意知，1t 或 1 2 ，从而判断一定过一、二象限 （1）如下图，在同一直角坐标系中，直线yxa和直线yax的图象可能是（ ） A B C D （2）函数yaxb和ybxa(0)ab 在同一坐标系中的图象可能是（ ） O y xx

24、 y OO y xx y O A B C D Ox y Ox y Ox yy xO 演练4 演练5 演练6 A B C D 【解析】【解析】（1）B； （2）D （1）已知一次函数ykxb的图象经过点(2,5)A和点B，点B是一次函数21yx的图象与y轴的交点，则 这个一次函数的表达式是_ （2）已知：一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点( 2, 2)P ，且一次函数的图象与 y 轴的交点 Q 的纵坐 标为 4正比例函数的解析式是_，一次函数的解析式是_ 【解析】【解析】（1）31yx； （2）yx ，4yx 已知一次函数ykxb，当31x 时，对应的 y 值为19y求 kb 的值 【解析】【解析】由题意可得：将 k 分为两种情况： 若0k ，则当3x 时，1y ； 当1x 时，9y ，则 31 9 kb kb ， 解得2k ，7b ，14kb ； 若0k ，则当3x 时，9y ； 当1x 时，1y ，则 39 1 kb kb ， 解得2k ，3b ，6kb ； 综上所述，kb 的值为 14 或6 演练7 演练8