初二数学讲义春 直升班 第16讲 一次函数和代数综合（教师版）

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1、 第十二讲第十二讲 一次函数和代数综合一次函数和代数综合 模块模块一一：一次函数一次函数(0)ykxb k图像图像的的变换及特殊位置关系：变换及特殊位置关系： 1平移平移：上加下减，左加右减； 2对称对称：关于哪轴对称那轴对应坐标不变，另外一个变为原来的相反数； 3中心对称：中心对称：x 和 y 值都变 4三大变换通解方法：三大变换通解方法：找两个点（如与坐标轴的两个交点） ，进行相应变化后，再确定解析式 5特殊位置关系：特殊位置关系： （1）若两直线平行：k（斜率）相等（b 值不等） （2）若两直线垂直：两直线 k（斜率）互为负倒数，即 12 1kk 模块模块二二：一次函数和方程（组）综合：

2、一次函数和方程（组）综合 模块模块三三：一次函数和不等式综合：一次函数和不等式综合 （1）把函数24yx的图象向上平移 2 个单位，所得函数图象的解析式为_； （2）把函数34yx的图象向右平移 2 个单位，所得函数图象的解析式为_； （3） 把函数31yx 的图象向左平移 3 个单位， 再向下平移 2 个单位， 所得函数图象的解析式为_； （4）若将直线 l 的图象向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位后，得到直线21yx ，则原直线解析式为 _ 解一元一次方程 一次函数 当时，求的值 确定直线 与轴交点的横坐标 解二元一次方程组 求一次函数 与图 象 的 交点坐标 两条直线 与相交

3、解一元一次不等式 或 一次函数 求当或时 的取值范围 当时，直线上的 点 在轴 上 方 时，点在轴下方 解一元一次不等式 一次函数与 ，求当 时的取值范围 以交点为界限， 直线 位于直线上方的那 部分 模块一 一次函数的图像变换 例题1 【解析】【解析】（1）26yx ； （2）32yx； （3）312yx ； （4）27yx 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一次函数的平移规律：上加下减，左加右减规律可以记不住，但是一定要 让学生掌握本质，通过寻找特殊点（一般是与坐标轴交点）变换后的点，运用两点式或点斜 式来确定直线的解析式。 （1）若直线(0)ykx k经过点(1,3)，则该直线关

4、于轴对称的直线解析式为_ （2）函数2yx 的图象关于y轴对称，得到的函数图象的解析式为_ （3）函数23yx的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称，得到函数的解析式为_ _ 【解析】【解析】（1）将点(1,3)关于轴对称，得到(1,3)，解析式为3yx （2）2yx； （3）23yx 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一次函数的对称规律：关于哪轴对称哪个不变 （1）直线23yx关于(0, 0)对称的直线的解析式为：_ （2）直线 1111 (0)yk xb k与直线 2222 (0)yk xb k平行，则 12 _kk （3）直线 l 平行于直线2yx ，且过点(4,5)，则 l 的解

5、析式为_ （4）直线 1111 (0)yk xb k与直线 2222 (0)yk xb k垂直，则 12 _k k （5）直线 l 垂直于直线32yx，且过点(1, 4)，则 l 的解析式为_ （6）点(1, 2)A关于直线5yx 的对称点A的坐标是_ 【解析】【解析】（1）23yx； （2）=； （3）213yx ； （4）1； （5） 113 33 yx ； （6） （3, 4） 【教师备课提示教师备课提示】要求学生们记住一次函数中特殊情况的基本结论平移、轴对称、及中心对称变换的通用解 法：找两个点（如与坐标轴的两个交点） ，也相应变化后，确定解析式最后，学会点关于直 线对称的求解方法（点

6、斜式或两点式，垂直+中点） x x 例题2 例题3 （1）如图所示的是函数ykxb与ymxn的图象，则方程组 ykxb ymxn 的解是 _ （2）已知直线3yx与22yx的交点为( 5,8)，则方程组 30 220 xy xy 的解是 _ （3）（育才期末） 两个关于 x、 y 的一次函数52yaxb和32yaxb的图象的交点坐标为(1,4)， 则_a ， _b 【解析】【解析】（1） 3 4 x y ； （2） 5 8 x y ； （3）1a ， 1 2 b 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要理解一次函数和二元一次方程组之间的关系： （1）每一个二元一次方程都可以看成一次函数； （2）

7、以二元一次方程的解为横纵坐标的点是两个一次函数的交点 （可以这样来理解，解就是交点，交点就是解，但是形式不同） 直线 111 yk xb经过原点和点(2, 4)，直线 222 yk xb经过点(8,2)和点(1,5) （1）求 1 y及 2 y的函数关系式，并作出图象； （2）若两直线相交于 M，求点 M 的坐标 【解析】【解析】（1）由题意得，直线 111 yk xb经过原点和点(2, 4)， 1 11 0 24 b kb ，解得 1 1 2 0 k b ， 1 2yx， 同理， 22 22 82 5 kb kb ，解得 2 2 1 6 k b ， 2 6yx 图略，都是直线，各自找两个点即

8、可 （2）由题意得， 2 6 yx yx ，解得 2 4 x y ，交点(2, 4)M 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要告诉孩子们求交点，联立方程组 模块二 一次函数和方程（组）综合 例题4 例题5 4 3x y O 一次函数 211 44 xm y 与 9 33 xm y 图象在第四象限内交于一点，求整数 m 的值 【解析】【解析】由题意得， 211 44 9 33 xm y xm y ，解得 23 2 xm ym ，交点坐标为(23,2)mm 交点(23,2)mm在第四象限内， 230 20 m m ， 解得 3 2 2 m m ， 3 2 2 m整数m的值为1，0，1 【教师备课提

9、示教师备课提示】这道题主要考查含参一次函数求交点，主要是考查二元一次方程组和不等式 在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设 k 为整数，当直线3yx与直线ykxk的交点为整 点时，求此时 k 的值 【解析】【解析】由题意得， 3 (1) yx k ykxk ，解得 3 1 3 3 1 k x k k y k ，交点 33 ,3 11 kk kk 只需保证 3 1 k x k 为整数，将 x 的值分离常数得 4 1 1 x k ， 11,2,4k ，故5,3, 2,0,1,3k 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一次函数的整点问题，整点问题分离常数 注意：这道题的易错点在于直线

10、y kxk 中，k 是可以取 0 的 （1）无论k取何实数，函数3ykx一定过定点_ （2）无论k取何实数，函数5ykxk一定过定点_ （3）已知函数(2)23ymxm，求证：无论m取何实数，此函数图象恒过一定点，并求出此定点 【解析】【解析】（1）(0, 3)； （2）(5, 0)； （3）由题意得，(2)23yxmx，则此函数图象恒过定点( 2,1)； 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一次函数过定点的问题，相对来说理解较难 例题6 例题7 例题8 在同一直角坐标系中画出 1 1yx 与 2 2yx的图象，通过观察图象，填空： 当 x_时， 1 0y =，当 x_时， 1 0y ；

11、 当 x_时， 2 0y =，当 x_时， 2 0y ； 当 x_时， 12 yy，当 x_时， 12 yy； 当 x_时， 12 1yy 【解析】【解析】1 ，1 ；2 ，2 ； 3 2 ， 3 2 ； 3 0 2 x 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一次函数和不等式的关系： （1） 把不等式的每一边都看成函数； （2） 函数值比大小， 图象比高低， 谁高谁就比较大； （3） 注意求得是 x 的取值范围 （1） 如图 10-1， 直线(0)ykxb k与 x 轴的交点为( 2, ) 0， 则关于 x 的不等式 0kxb的解集是_ （2） （嘉祥期末）如图 10-2，已知函数yxb和

12、3yax的图象交点为 P，则不等式3xbax的解集为 _ （3）如图 10-3，直线经过( 2, 1) A 和( 3,0) B 两点，则满足不等式组 1 0 2 xkxb的 x 的取值范围 为_ 图 10-1 图 10-2 图 10-3 【解析】【解析】（1）2x ； （2）1x ； （3）画出直线的图象恰好过点( 2,1)，利用图象法解得 【教师备课提示教师备课提示】一次函数和不等式结合，不太好理解，需要让孩子们多练习下，多巩固一下 ykxb 1 2 yx32x 模块三 一次函数和不等式综合 例题9 例题10 x y B A O x y yxb=+ 3yax=+ P O1 x y O 2-

13、（1） 将直线l向左平移2个单位， 并向下平移4个单位， 得到直线31yx， 则原直线l的解析式为_ （2）将直线2(1)yx关于 x 轴对称所得直线的解析式为_ （3） （育才期末）平面直角坐标系中，把直线3yx 沿y轴平移后得到直线 AB，如果点( , )A a b是直线 AB 上 的一点，且 1 1 3 ab ，则直线 AB 解析式为_ （4）直线35yx 关于(0,0)对称的直线的解析式为：_ （5）直线 l 平行于直线22yx ，且过点(3, 2)，则 l 的解析式为_ （6）直线 l 垂直于直线45yx，且过点(2,1)，则 l 的解析式为_ （7）点(4,3)A关于直线21yx

14、的对称点A的坐标是_ 【解析】【解析】（1）31yx； （2）22yx ； （3）33yx ； （4）35yx ； （5）28yx ； （6） 11 42 yx ； （7）( 4,1). 复习巩固 模块一 一次函数的图像变换 演练1 -1 P(1,1) 2 2 O y x （1）已知一次函数yxa 与yxb的图象相交于点( ,8)m，则ab_ （2）用图象法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象，如图所示，则所解 的二元一次方程组是（ ） A 20 3210 xy xy B 210 3210 xy xy C 210 3250 xy xy D 20 210 xy xy

15、 【解析】【解析】（1）由题意得， 8 8 ma mb ， 16ab； （2）D k 取何值时，直线210 xyk ，220 xyk的交点在第三象限内 【解析】【解析】由题意得， 210 220 xyk xyk ， 得 1 3 2 3 xk y ， 由 1 0 3 k，得 1 3 k 求证：不论k为何值，一次函数(21)(3)(11)0kxkyk的图象恒过一定点 【解析】【解析】由一次函数解析式得(21)(311)0 xykxy 因为该等式对一切k值均成立，所以得 210 3110 xy xy ，解得 2 3 x y 当2x ，3y 时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图象过定点(2,3)

16、模块二 一次函数和方程（组）综合 演练2 演练3 演练4 如图，已知直线yaxb与直线yxc的交点的横坐标为 1，根据图象有下列四个结论：0a ；0c ； 对于直线yxc上任意两点(,) AA A xy，(,) BB B xy， 若 AB xx， 则 AB yy； 1x 是不等式axbxc的 解集 其中正确的结论是（ ） A B C D 【解析】【解析】C 如图，直线ykxb经过点(0,5)A，(1, 4)B （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线24yx与直线 AB 相交于点 C，求点 C 的坐标； （3）根据图象，写出关于 x 的不等式24xkxb的解集 【解析】【解析】（1）直线ykxb 经过点(5,0)A，(1, 4)B 50 4 kb kb ，解方程得 1 5 k b ， 直线 AB 的解析式为5yx ； （2）直线24yx与直线 AB 相交于点 C， 解方程组 5 24 yx yx ，得 3 2 x y ，点 C 的坐标为(3, 2) （3）3x 模块三 一次函数和不等式综合 演练5 演练6 1 y=ax+b y=x+c O y x y x 24yx 4 15O C B