初二数学讲义春季 直升班 第1讲 二次根式（一）教师版

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1、 第第 1 1 讲讲 二次根式（一）二次根式（一） 模块一：二次根式的基本概念模块一：二次根式的基本概念 1二次根式：二次根式： 一般地，形如(0)a a 的代数式叫做二次根式，a 叫做被开方数 2n 次根式：次根式： 形如 n a的代数式叫做 n 次根式，其中若 n 为偶数，则必须满足0a 3最简二次根式：最简二次根式： 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 一般地，被开方数不含分母，即被开方数是整数或整式； 被开方数中不含有能开方的因数或因式 4两个重要性质：两个重要性质： (0,0)abab ab；(0,0) aa ab bb 5同类二次根式：同类二次根式： 几个二次根式化成最简

2、二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式 模块二：二次根式的四则运算模块二：二次根式的四则运算 1乘除法：乘除法： (0,0)abab ab；(0,0) aa ab bb 2加减法：加减法： ()a mb mabm，()a mb mabm 3混合运算：混合运算： 遵循有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用 4乘法公式的推广：乘法公式的推广： 12312312 (0,0,0) nnn aaaaaaaaaaa； 2 ()2ababab； ()()ababab 5二次根式的分母有理化二次根式的分母有理化 定义：定义：在二次根式中，将无理数的分母化为有理数的过程 方法：方法

3、：分子分母同时乘以有理化因式（有理化因式是指相乘之后使分母变为有理数的因式） 6 （1）单项根式的分母有理化，同乘以分母本身例： 1a aa （2）两项根式的分母有理化，同乘以使分母构成平方差公式的因式 例： 1ab abab 12.（3）分母有理化和最简是对二次根式结果的两大要求 模块三：二次根式的基本题型（方法）模块三：二次根式的基本题型（方法） 1分母有理化+知二推二 2暴算；移项平方后，运用整体代入或者降次思想（巧算） 3裂项相消、换元等 （1）当 x 取何值时，下列二次根式在实数范围内有意义 2 3 x x ；213xx； 12 21 xx x ； 3 12 21 xx x （2）在

4、二次根式 1 7 、0.5、 2 x、 2 1a 中，是最简二次根式的是_ （3）将下列二次根式化成最简二次根式： 18；48；75；80；90； 1 32 2 ； 27 4 ； 32 9 【解析】【解析】（1）2x且3x ； 1 3 2 x ；12x ； 1 2 2 x； （2） 2 1a ； （3）3 2；4 3；5 3；4 5；3 10；2 2； 3 3 2 ； 4 2 3 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查最简二次根式的判定以及二次根式的化简 （1）数必须是整数，式子必须是整式； （2）根号下不能含有可开方因子 建议：讲解二次根式的化简，通过最特殊的开始让学生们做大量的练习

5、 （开火车） （1）已知最简根式2aab与7 a b 是同类二次根式，则a _，b _ （2）在1，2，3，20这 20 个式子中，与2是同类二次根式的共有_个 （3）在1，2，3，1999这 1999 个式子中，与2000是同类二次根式的共有_个 （4）方程2016xy的整数解有_组 【解析】【解析】（1）根据同类二次根式定义可知： 2 27 ab ab ，解之得 3 1 a b （2）2，2 2，3 2与2同类，共 3 个 （3）200020 5，所以5，2 5，19 5与2000同类，共 19 个 （4）x，y，2016为同类二次根式，201612 14， 原方程为：12 14xy设14

6、xm，14yn， 12mn，0m 、1、2、11、12，m、n 的值有 13 组， 故原方程的整数解有 13 组 模块一 二次根式的基本概念 例题1 例题2 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查同类二次根式的概念，相对较难 计算下列各式： （1） 233 1 98200(3)(10) 2 （2） 2275 111 33549 （3） 2 451880( 25) （4） 2 155 12( 32)13 34 【解析】【解析】（1）132 2； （2） 7 5 ； （3）2 2； （4）62 3 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要练习二次根式的四则运算： （1）加减法：先化简二次

7、根式，然后合并同类二次根式； （2）乘除法：二次根式的除法转化为乘法 计算下列各式： （1） 4 273327 92 aa aaa （2） 2 2 225 544 abcbc bca （3）2(1)(1) 312 xyy xxx 【解析】【解析】（1）3a； （2） 2 ab ； （3）1x 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要练习含字母的二次根式的计算，实际上方法是一样的 将下列二次根式分母有理化： 1 3 ； 1 21 ； 2 53 ； 2 33 ； 1 62 ； 4 3 22 5 ； 3 52 3 3 52 3 ； ab ab 【解析】【解析】 3 3 ；21；53； 3 26 6

8、 ； 62 4 ；6 24 5； 194 15 11 ； 模块二 二次根式的四则运算 例题3 例题4 例题5 法 1：当ab时， ()() ()() ababab ab ababab ， 当ab时，原式0； 法 2： ()()ababab ab abab 【教师备课提示】【教师备课提示】最终结果分母不能有根式；这道题主要大量练习分母有理化注意第（8）题如果使用分母有 理化一定注意要讨论 计算下列各式： （1） 1617 (2 311) (2 311) （2）(56)(5 22 3) （3）( 236)( 236) （4） 22 ( 1025)( 1025) （5） 2 2 11 2( 12)

9、221 （6） 0 31 0.5(3)13 31 【解析】【解析】（1）原式 16 (2 311)(2 311) (2 311)2 311 （2）原式(56) 2(56)2(56)(56)19 2 （3）原式= 2+( 36) 2( 36) 2 =236 =23+6 26=6 27（） （4）原式 22 ( 1025)( 1025)4 204 508 520 2 （三元完全平方法或平方差） （5）原式422+112 22 =0（）（） （6）原式 2 23122 +131=+232+ 3= 2222 （） （） 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要练习可以利用平方差公式进行二次根式的计算

10、对于根号里面有小数可将小数换 成分数后进行计算 （1） （七中高新）已知 32 32 x ， 32 32 y ，求代数式 2 2 () () xyxy xyxy 的值 （2） （石联半期） 23 23 x ， 23 23 y ，则 22 22xxyy的值为_ 【解析】【解析】（1）52 6x ，52 6y ，则1xy ，10 xy， 原式 2 2 110101 99110 例题6 模块三 二次根式的基本题型 例题7 （2）74 3x ，74 3y ，则1xy ，14xy 原式 2 2()5387xyxy 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查分母有理化化简再运用知二推二求值 （1）设7

11、1a ，则 32 312612aaa的值为_ （2） （树德实验半期）已知： 2012 20131 m ，则 543 22012mmm的值为_ 【解析】【解析】（1）17a ，则 2 26aa， 22 =3 (2 )6612a aaaa原式 2 366612aaa 2 6(2 ) 12aa 24； （2）20131m ，12013m ， 原式 3232 (22012)(1)20130m mmmm 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查平方有理化（消根号）的化简求值 此类题型：法 1：代入暴算求值； 法 2：移项平方后运用整体代入或降次思想 （1） 1111 12233420152016

12、 _ （2） 1111 2 123 22 34 33 4100 9999 100 _ 【解析】【解析】（1）原式2132432016201520161 12 141 ； （2）先找到它的通项公式： 111 (1)111nnn nnnnn 111 11 nn nnnn ， 故原式 111111119 11 10102233499100 2 200520062007200812006 _ 【解析】【解析】令2005k，则 原式 2 (1)(2)(3)1(1)k kkkk 例题8 例题9 例题10 222 (3 )(32) 1(1)kk kkk 2222 (3 )2(3 ) 1(1)kkkkk 22

13、 31 (21)2005kkkkk 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查换元法（糖葫芦） ；来求根式的值 （1） （树德实验半期）已知实数 a 满足 3 1 5 4 a a ，则 a 的取值范围是_ （2）下面各式： mm nn ； 1 mm m ；1 mn nm ； m mnm n 成立的是（ ） A B C D （3）化简 3 a a _ （4）下面与2是同类二次根式的是（ ） A 1 4 B12 C8 D21 （5）方程1998xy的整数解有_组 【解析】【解析】（1）4a ； （2）B； （3）由题意知0a ，所以 3 aaa a aa . （4）C;（5）1998xy，为同

14、类二次根式，19983 222， 原方程为：3 222xy 设222xm，222yn， 3mn，m、n 的值有四组， 即 0 3 m n ， 1 2 m n ， 2 1 m n ， 3 0 m n ， 故原方程的整数解有 4 组 第（2） 、 （3）题易错，可以讲一下 复习巩固 模块一 二次根式的基本概念 演练1 计算下列各式： （1）( 352)( 352) （2） 41 182 4512 53 【解析】【解析】（1）原式= 3+( 52) 3( 52) 2 =352=35+2 102=2 104（） （2）原式 9251 121 53180 计算： （1） 20 12( 3)(3)2732

15、 （2） 1 3 183 ( 32)( 23)8 323 （3） 22 2 +52( 25) 62 （） （4） 22 (1) x xyxyxx y 【解析】【解析】（1）2 3； （2）33； （3）32； （4）1x （1） （实外半期）已知 1 23 x ， 1 23 y ，则 22 232xxyy的值为_ （2） （育才半期）若 1 21 x ， 1 21 y ，则 22 xxyy的值为_ 【解析】【解析】（1）25； （2）5 模块二 二次根式的四则运算 演练2 演练3 模块三 二次根式的基本题型 演练4 （1）当 51 2 a ， 51 2 b 时，代数式 22 22 2aabb ab 的值是_ （2） （全国初中联赛题）当 11994 2 x 时，多项式 32001 (419971994)xx的值为（ ） A1 B1 C22001 D 2001 2 【解析】【解析】（1） 5 5 ； （2）B 演练5