初二数学讲义春季 直升班 第4讲 直角三角形（教师版）

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1、 第第 4 4 讲讲直角三角形直角三角形 一、解直角三角形一、解直角三角形 1直角三角形中的特殊线直角三角形中的特殊线： “直角三角形斜边中线 2 c d ” “直角三角形斜边高 ab h c ” 2特殊直角三角形特殊直角三角形的三边关系：的三边关系： “等腰直角三角形” “含30和60的直角三角形” 边的比：1 12 边的比：13 2 3基本图形（方法：作垂线构造含特殊角的直角三角形）基本图形（方法：作垂线构造含特殊角的直角三角形） 4解题技巧解题技巧 解含特殊角的斜三角形，方法是作高，利用特殊角构造直角三角形. 并且应注意以下问题：作高时不能不能 破坏破坏已知的特殊角（30、45、60、1

2、20、135、150） ；作高时注意判断三角形是锐角、钝角还是直角 三角形，尤其对于无图题，须讨论高线在三角形内部和外部的情况高线在三角形内部和外部的情况. 注意高线是否在三角形内部 二、最短路径问题：二、最短路径问题： 将立体图形适当地展开成平面图形后，利用两点之间线段最短的原理，用勾股定理计算，并比较得出最短 路径长度 d c b a a c b h 45 60 两侧型 重叠型 60 45 4560 45 30 翻折 4530 探究下列三角形三条边长之间的关系 （1）ABC中，90C，45AB ； （2）ABC中，90C，30A ，60B 【解析】【解析】（1）如图所示，不妨设ACABa，

3、 则在ABC中，因为90C， 由勾股定理可知 22 2ABaaa 所以三边的比值为1:1:2 （2）如图所示，设30所对的直角边为 a，因为直角三角形中，30所对的直 角边等于斜边的一半，所以 AB 为 2a 由勾股定理可知 22 (2 )3ACaaa所以三边的比值为1:3:2 【教师备课提示】【教师备课提示】 上述两个有特殊角的直角三角形边长之间的关系 （1:1:2、1:3:2） 经常会用到，一定要让孩子们记住这个结论。反过来如果知道三边的这种特殊的长度比也可 以推出角度 （1）如图 2-1，在RtABC中，30B，BDAD，12BD ，则BC _ （2） 如图2-2，ABC中，90C， 点

4、D在AC上， 已知45BDC，15ABD，10 2BD ，AB _ 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】（1）18； （2）20 【教师备课提示】【教师备课提示】熟练运用含特殊角的直角三角形的结论进行求解 模块一 解特殊直角三角形 例题1 例题2 (1) (2) CC B BA A (1) (2) CC B BA A A BDC A B DC 45 4 3 E CA B D C BA （1）如图 3-1 所示，已知在ABC中，60A ，45B，2AC ，则AB _，BC _ （2）如图 3-2，在ABC中，4AB ，3BC ，120ABC，求AC的长度 （3）如图 3-3，在ABC中，2A

5、B ，3AC ，135BAC，则 2 BC _ （4）在ABC中，30A，40AC ，25BC ，那么AB _ 图 3-1 图 3-2 图 3-3 【解析】【解析】（1）1 3 ， 6； （2）过A作CB延长线的垂线，垂足为E， 120ABC， 60ABE， 4AB ， 2 3AE ，2BE ，5CE 2222 (2 3)537ACAEEC； （3）136 2; （2） 20 315 或20 315 （无图注意分行内高和行外高）. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 E，90BAC，45CED，30DCE，2DE ， 2 2BE 求 AC 长和四边形 ABCD 的面积 【

6、解析】【解析】（1）过点 D 作DHAC， 45CED，DHEC，2DE ， 1EHDH， 又30DCE， 2DC ，3HC ， 45AEB，90BAC，22BE ， 2ABAE， 31323AC ， AB C 例题3 例题4 D A BC E H A B 43 C A B C D A BC E 11 2(33)1 (33) 22 ABCD S 四边形 3 39 2 【教师备课提示】【教师备课提示】例 3、例 4 主要通过作垂线构造含特殊角的直角三角形进行求解但是一定注意作垂线要创 造含特殊角的直角三角形，不破坏特殊角 （1）如图 5-1，一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面

7、爬到 B 点，那么它所爬行的最短路线的长 是_ （2） （育才半期）如图 5-2，长方体的长、宽、高分别是 8cm，2cm，4cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，则蚂蚁爬行的最短 路径长为_ 图 5-1 图 5-2 【解析】【解析】（1）如图：展开后由勾股定理得： 222 1(1 1)5AB ， 5AB （2）展开图为： 展开后的长和宽分别为：6cm，8cm， 最短路径为：10cmAB 注意：注意：第（2）题有三种展开方式，最短路径一定为其中两条边的和与第三边长度最接近 的情况，这里 2+4 与 8 差值最小（和一定，分成两个差越小的数，平方和越小，可 以证明） 这里如果是解答

8、题需要比较一下几种展开情况 （1） （成外半期）一个几何体的三视图如图 6-1 所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点 B 出发，沿表面爬 到 CD 的中点 E，则蚂蚁爬行的最短路程为_ （2）如图 6-2 所示，圆柱形纸杯高 8cm，底面周长为 12cm，在纸杯内壁离杯底 2cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，一 只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿 2cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_ 模块二 最短路径问题 例题5 例题6 B A 4 8 2 A B A B B A C 图 6-1 图 6-2 【解析】【解析】（1）展开后连接 BE，则 BE 为最短路线， 根据题意得：2 1

9、2 BC， 1 3 2 CECD， 在RtBCE中，由勾股定理得： 222 9BEBCCE， 这条路线的最短距离是 2 9 （2）如图所示： 将被子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点A，连结A C，则A C即最短距离由题意可得出： 22 10cmA CA DCD 俯视图 B 2 主视图 C AD 66 左视图 蚂蚁 A蚂蚁 C蜂蜜 （1）如图 1-1，已知ABC中，90ACB，CDAB，30A ，40AB ，求 DB 的长为_ （2）如图 1-2，在RtABD中，90D ，45B ，60ACD ，10BC ，则 AD 的长为_ （3）已知：如图 1-3，ABC中，135A，2 2AC ，8

10、AB ，求 BC 图 1-1 图 1-2 图 1-3 【解析】【解析】（1）10； （2）155 3AD ； （3）2 26 （1）某楼梯的侧面视图如图 2-1 所示，其中2AB 米，30BAC，90C，因某种活动要求铺设红色地 毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为_ （2）如图 2-2，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，E 是 AB 上的点，沿 CE 折叠后，点 B 恰好与点 O 重 合，若3BC ，则折痕 CE 的长为（ ） A2 3 B 3 3 2 C3 D6 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】（1）(13)米； （2）A，易得30CABOCEBCE 复习巩固

11、模块一 解特殊直角三角形 演练1 演练2 DAB C A BCD A BC A B C 30o D C O A E B 如图，已知在四边形 ABCD 中，8ABAD，60A ，150ADC ，90ABC，求 ABCD S四边形 【解析】【解析】连接 BD，则ABD是边长为 6 的等边三角形， BDC为含30角的直角三角形。所以： 2 31880 3 = 88 4233 ABDBCDABCD SSS 四边形 （成外半期）如图，长方体的高为 5cm，底面长为 4cm，宽为 1cm （1）点 1 A到点 2 C之间的距离是多少？ （2）若一只蚂蚁从点 2 A爬到 1 C（只能从长方体表面爬行） ，则

12、爬行的最短路程是多少？ 【解析】【解析】（1）长方体的高为 5cm，底面长为 4cm，宽为 1cm， 22 17A C （cm） ， 12 42AC （cm） ； （2）爬行的最短路程是5 2cm （5 与4 1最接近，平方和最小） （西川半期）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为56 10 （单位：cm） ，在上盖中开有一孔 便于插吸管，吸管长为 13cm，小孔到图中边 AB 距离为 1cm，到上盖中与 AB 相邻的两边距离相等，设插入吸 管后露在盒外面的管长为 h cm，则 h 的最小值为_cm 【解析】【解析】如图所示：连接 DC，CF， 由题意：3ED ，5 14EC ， 2222 34255CD ， 222 510125CF ， 吸管口到纸盒内的最大距离= 1255 5，(135 5)cmh 故答案为：135 5 演练3 模块二 最短路径问题 演练4 演练5 1 A 1 D 1 C 1 B 2 B 2 A 2 C 2 D 吸管 B 10 A 5 6 AB D C