初二数学讲义春季 直升班 第3讲 勾股定理（教师版）

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1、 c b a c b a E D C BA C A B 图2 c b a 第第 3 3 讲讲 勾股定理勾股定理 模块一：勾股定理及证明模块一：勾股定理及证明 1勾股定理勾股定理： 如果直角三角形的两直角边分别是 a，b，斜边为 c，那么 222 abc 即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 注：勾较短的边、股较长的直角边、弦斜边 2勾股定理的证明：勾股定理的证明： （1）弦图证明 内弦图 外弦图 22 1 ()4 2 ABCD Sabcab 正方形 22 1 ()4 2 EFGH Scabab 正方形 222 abc 222 abc （2） “总统”法（半弦图） 如图所示将两个直角三角

2、形拼成直角梯形： 2 ()()11 2 222 ABCD ab ab Sabc 梯形 222 abc 3勾股数：勾股数： 满足 222 abc的三个正整数，称为勾股数 （1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25 等 （2）( , , )a b c是组勾股数，则(,)ka kb kc（k 为正整数）也是一组勾股数. （3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61 等 （4）21an， 2 22bnn， 2 221cnn（n 为大于 1 的自然数） （5） 22 amn-，2bmn， 22 cmn（mn，且 m 和 n 均

3、为正整数） 模块二：勾股定理逆定理及应用模块二：勾股定理逆定理及应用 1勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角即在ABC中，如果 222 ACBCAC，那么ABC是直角三角形 2勾股定理的常见题型勾股定理的常见题型 D CB A G F E H （1）勾股证明的方法成百上千种，其中几何原本中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中 实现的（如图所示） ，如果直角三角形 ABC 的三边长为 a，b，c（c 为斜边） ，以这三边向外作三个正方形，试 利用此图证明 222 abc （2）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三

4、角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm，则正 方形 A，B，C，D 的面积之和为_ 【解析】【解析】（1）如上图可知：ACFADB， 2 ACEDADB SS 正方形 ，2 AFGPACF SS 矩形 ， 2 AFGP bS 矩形 ，同理 2 GHBP aS 矩形 ， 222 abc （2）49cm2 【教师备课提示教师备课提示】这道题考查勾股定理证明和勾股树 （1）若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，则斜边扩大到原来的（ ） A1 倍 B2 倍 C3 倍 D4 倍 （2）若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为_ （3）下面几组数：7

5、，8，9；12，9，15； 22 mn， 22 mn,2mn（m，n 均为正整数，mn） ； 2 a， 2 1a ， 2 2a 其中能组成直角三角形的三边长的是（ ） A B C D 【解析】【解析】（1）B； （2）可知三边为 3，4，5，所以周长为 12； （3）B；容易知道错误正确，对于，由 22 24224 ()2mnmm nn， 222 (2)4mnm n， 22 24224 ()2mnmm nn 所以 22 2242242222 2 ()(2)(2)4()mnmnmm nnm nmn 所以，以这三条线段的长为边的三角形是直角三角形答案选 B c b a N M H F E D C

6、B A A B C D E F H M N P G 模块一 勾股定理及证明 例题1 例题2 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查常见的勾股数，常见的勾股数五种境界要了解 ABC中，BCa，ACb，ABc若90C，如图 3-1，根据勾股定理，则 222 abc若ABC不 是直角三角形，如图 3-2，90C；如图 3-3，90C请你类比勾股定理，试猜想 22 ab与 2 c的关系， 并证明你的结论 图 3-1 图 3-2 图 3-3 【解析】【解析】图 2 猜想： 222 abc 证明：过点 A 作ADBC于 D，设CDx， 222 ADbx， 22222222 ()()2caxbxaaxx

7、bx， 即 222 20abcax，故 222 abc 图 3 猜想： 222 abc 证明：过 B 作BDAC，交 AC 的延长线于 D 设 CD 为 x，则有 222 BDax 根据勾股定理，得 2222 ()bxaxc 即 222 2abbxc， 0b ，0 x ，20bx ， 222 abc （1）如果直角三角形的两边长为 4、5，则第三边长为_ （2）如果直角三角形的三边长为 10、6、x，则最短边上的高为_ （3） （七初半期）若|1|240abab，则以 a、b 为边的直角三角形的第三边为_ 【解析】【解析】（1）3 或41； （2）8 或 10； （3）5或3 【教师备课提示教

8、师备课提示】题型：已知直角三角形的两边求第三边，A 卷填空必考题，也是易错点，在斜边不确定的情 况下，切记要分类讨论，以斜边讨论 图3 图2图1 a b c a b cc b a A BC A BCCB A 图3 图2图1 a b c a b cc b a A BC A BCCB A 图3 图2图1 a b c a b cc b a A BC A BCCB A 例题3 模块二 勾股定理的逆定理及应用 例题4 D a b c A CB D a b c A B C 在ABC中，15AB ，13AC ，高12AD ，则三角形的周长是_ 【解析】【解析】32 或 42 【教师备课提示教师备课提示】题型

9、：已知三角形的两边及第三边高求第三边，B 卷填空必考题，一般题目无图，为易错题， 切记要分类讨论,分形内高和形外高 （1）如图 6-1，四边形 ABCD 中，ABBC，1AB ，2BC ，2CD ，3AD ，求四边形 ABCD 的面积 （2）如图 6-2，在四边形 ABDC 中，BDCD，6BD ，8CD ，24AB ，26AC ，求该四边形面积 图 6-1 图 6-2 【解析】【解析】（1）5+1； （2）96四边形 ABDC 的面积为 96 连接 BC，根据勾股定理可得10BC ， 因为 222 BCABAC，所以ABC为直角三角形， 故四边形 ABDC 的面积1202496 ABCBCD

10、 SSS 【教师备课提示教师备课提示】题型：利用直角三角形求不规则四边形面积，即为直角三角形的构造 （1）如图，梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停 在 DE 位置，BD 长 0.5 米，则梯子顶端 A 下落了_米 （2）梯子靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离 2 米，梯子的顶端 B 到地面的距离为 7 米，现将梯子的底 端向外移动到 C，使梯子底端 C 到墙根 O 的距离等于 3 米，同时梯子的顶端 B 下降至 D，那么 BD（ ） A等于 1 米 B大于 1 米 C小于 1 米 D以上结果都不对 A

11、 BC D D C B A 例题5 例题6 例题7 E A B C D （3）如图，梯子 AB 斜靠在墙面上，ACBC，ACBC，当梯子的顶端 A 沿 AC 方向下滑 x 米时，梯子 B 沿 CB 方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小关系是（ ） Axy Bxy Cxy D不确定 【解析】【解析】（1）0.5； （2）C； （3）选 B，设ACBCa米， 由勾股定理得： 2222 ()()aaaxay， 化简得 22 2 ()0a xyxy，xy 【教师备课提示教师备课提示】题型：扶梯问题，相对较简单，主要是理解 （1） （成外半期）若直角三角形斜边长为 4，周长为43 2，则三角形面积等

12、于_ （2） （西川半期）如图，ABC中，90BAC，ADBC于点 D，若 4 5 5 AD ， 2 5BC ，请求出ABC的周长 【解析】【解析】（1） 1 2 ； （2） 222 (2 5) 4 5 2 5 5 ABAC ABAC ，解得6ABBC，62 5 ABC C 【教师备课提示教师备课提示】题型：直角三角形与知二推二综合，各校 B 卷高频考点 （1） 已知 9-1，如图所示， 折叠长方形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，如果8cmAB ，10cmBC ， 求 EC 的长 （2）如图 9-2，已知矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在C处，BC交 AD

13、 于 E，16AD ，8AB ， 则 DE 的长度为_ （3）如图 9-3，矩形纸片 ABCD 的长9cmAD ，宽3cmAB ，沿 EF 将其折叠，使点 D 与点 B 重合，则折痕 EF 的长为_cm 图 9-1 图 9-2 图 9-3 【解析】【解析】（1）由题意得，10cmAFAD E D C CB A 例题8 例题9 A B C 在ABF中，应用勾股定理得，6cmBF 所以1064FCBCBFcm 在CEF中，应用勾股定理，设cmECx， 得 222 (8)4xx解得3x ，即3cmEC （2）设EDx，因为CBDEBDEDB ， 则EBEDx，16AEADEDx， 在RtEAB中，由

14、勾股定理可得： 222 (16)8xx，10 x ，即10DE （3）设AEx，因为BEFDEFBFE， 则9BEDEBxF， 根据勾股定理得： 222 ABAEBE，即 2222 39(9)xxx，解得：4x ； 4AE ，5DEBF，4CFDM，1EM ， 根据勾股定理得： 22 3110EF(cm)； 【教师备课提示教师备课提示】题型：翻折问题，对应边相等，对应角度相等 若0 x ，0y 且12xy，求： 22 49xy的最小值 【解析】【解析】如下图，不妨设12AB ，ACAB，BDAB，2AC ，3BD ， P 为线段 AB 上的动点，APx，于是PBy， 2 4PCx ， 2 9P

15、Dy，则问题转化为求点 C， D 之间距离的最小值 当 P， C， D 三点不共线时， 有PCPDCD； 当 P， C， D 共线时，PCPDCD 于是点 C，D 之间距离的最小值为 22 (23)1213 【教师备课提示教师备课提示】数形结合，几何构造，将军饮马 y2+9 x2+4 3 2 y x P D C B A 12 3 y2+9 x2+4 3 2 y x P D C B A 非常挑战 复习巩固 模块一 勾股定理及证明 演练1 如图 1-1，分别以直角三角形 A、B、C 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 1 S、 2 S、 3 S表示，则不难 证明 123 SSS （正三角形面积

16、是边长平方的 3 4 ） （1） 如图 1-2，分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 1 S、 2 S、 3 S表示， 那么 1 S、 2 S、 3 S之间有什么关系？（不必证明） （2）如图 1-3，分别以直角三角形 A、B、C 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 1 S、 2 S、 3 S表示， 请你确定 1 S、 2 S、 3 S之间的关系并加以证明 图 1-1 图 1-2 图 1-3 【解析】【解析】（1）设 BC、CA、AB 长分别为 a、b、c，则 222 cab， 123 SSS； （2） 123 SSS证明如下：显然， 2 1 3 4 Sc，

17、2 2 3 4 Sa， 2 3 3 4 Sb， 222 231 33 () 44 SSabcS 【点评点评】 分别以直角三角形 ABC 三边为一边向外作“相似形”， 其面积对应用 1 S、 2 S、 3 S表示， 则 123 SSS（设 斜边所做图形面积为 1 S） 已知 a， b， c 是三角形的三边长， 2 22ann，21bn， 2 221cnn（n 为大于 1 的自然数） ， 试说明ABC 为直角三角形 【解析】【解析】因为 22 2212221nnnnn ， 222222 (221)(22 )441(21)nnnnnnn 所以 22222 (21)(22 )(221)nnnnn，所以

18、ABC为直角三角形 如图， 四边形 ABCD 中，6cmAB ，8cmBC ，24cmCD ，26cmDA ， 且90ABC， 则四边形 ABCD 的面积是（ ）cm2 A336 B144 C102 D无法确定 【解析】【解析】答案：B连接 AC，运用勾股定理逆定理 AB C S1 S3 S2 图3 A B C S1 S3 S2 图2 图1 S2 S3 S1 C BA AB C S1 S3 S2 图3 A B C S1 S3 S2 图2 图1 S2 S3 S1 C BA AB C S1 S3 S2 图3 A B C S1 S3 S2 图2 图1 S2 S3 S1 C BA 演练2 模块二 勾股

19、定理的逆定理及应用 演练3 A BDC 如图，一根长 5 米的竹篙 AB 斜靠在与地面垂直的墙上，顶端 A 距离墙根 4 米，若竹篙顶端 A 下滑 1 米，则底 端 B 向外滑行了多少米？ 【解析】【解析】设竹篙顶端下滑 1 米到 1 A点，底端向外滑行到 1 B点 由题意得 1 1mAA ， 11 3mACACAA， 在 11 RtACB中： 22 1111 4mBCABAC， 在RtABC中： 22 3mBCABAC， 11 1BBBCBCm， 即竹篙顶端 A 下滑 1 米，则底端 B 向外滑行了 1 米 （1） （石室期末）在ABC中15AB ，13AC ，高12AD ，则 ABC S

20、_ （2） （育才期末）如图，ABC中，90BAC，ADBC于点 D，若 3 3 AD ，2 3BC ， 则ABC的周长为_ 【解析】【解析】（1）24 或 84（分类讨论：行外高和行内高，对应例 5） （2）42 3 （对应例 8 考查直角三角形与知二推二综合） （1）如图 6-1，已知ABC是直角边长为 1 的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等 腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第 n 个等腰直 角三角形的斜边长是_ （2）如图 6-2，矩形 ABCD 中，5cmAB ，3cmBC ，如图所示折叠矩形纸片 ABCD，使

21、 D 点落在边 AB 上 一点 E 处， 折痕端点 G、 F 分别在边 AD、 DC 上， 则当折痕端点 F 恰好与 C 点重合时， AE 的长为_cm 图 6-1 图 6-2 （3）若0 x ，0y 且15xy，则 22 64144xy的最小值是_ G FE D C B A 演练4 演练5 演练6 A B C 【解析】【解析】（1）由题意可得： 第 1 个等腰直角三角形，ABC中，斜边长1ABBC， 22 112AC； 第 2 个等腰直角三角形，ACD中，斜边长 222 2( 2)ADACCD； 第 3 个等腰直角三角形，ADE中，斜边长 223 2 2( 2)AEADDE； 依此类推，第 n 个等腰直角三角形中，斜边长为( 2)n （2）F 点与 C 点重合时（如图） ， 在矩形 ABCD 中，5AB ，3BC ， 5CDAB，90B， 由折叠的性质可得：5CECD， 22 4CEBEBC， 1AEABBE （3）答案：25（对应例题 10，几何构造）