初二数学讲义直升班 第6讲 矩形和菱形（教师版）

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1、矩形和菱形矩形和菱形 模块一 矩形 模块二 菱形 一、矩形：一、矩形： 1定义：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 2性质：性质：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质： 性质 1：矩形的四个内角都相等，且为 性质 2：矩形的两条对角线相等 性质 3：矩形是轴对称图形，对称轴是一组对边中点的连线所在的直线 另外，由矩形的性质可以得出： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）矩形的对角线把矩形 分成四个小的等腰三角形 3判定判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形 （3）有三个角是的四边形是矩形 （4）

2、对于平行四边形 ，若存在一点到两对对顶点距离的平方和相等，则为矩形 二、菱形：二、菱形： 1定义：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2性质性质：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质： 性质 1：菱形的四条边相等 性质 2：菱形的对角线互相垂直平分 性质 3：菱形的对角线平分一组对角 性质 4：菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线 另外，由菱形的性质可以得出： （1）菱形的面积除了可以用平行四边形面积的求法外，还可用对角线乘积的一半来计算 （2）菱形的对角线把菱形分成四个小的直角三角形 3判定判定： （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）两

3、条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （3）四条边相等的四边形是菱形 （4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 【教师备课提示】【教师备课提示】各位老师在讲解菱形的面积时可以进行拓展，就是对角线互相垂直的四边形的性质： （1）四边形面积等于对角线乘积的一半；即 ABCD SAC BD （2）四边形对边的平方和相等即ABCDADBC 模块一 矩形 （1） 如图 1-1， 在矩形 ABCD 中， 对角线 AC、 BD 相交于点 O， 点 E、 F 分别是 AO、 AD 的中点， 若cmAB ， cmBC ，则AEF的周长_cm （2）如图 1-2，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，

4、M 是 AD 的中点，若AB ，AD ，则四边形 ABOM 的周长为（ ） A17 B18 C19 D20 图 1-1 图 1-2 （3） 如图 1-3， 矩形 ABCD 中， 对角线 AC、 BD 交于 O，AEBD于 E，:DAEBAE ， 则EAC_ （4） 如图1-4， 矩形ABCD的对角线相交于点O， AE平分BAD交BC于E， CAE， 则B O E_ 图 1-3 图 1-4 （1）9（利用中位线的性质） ； （2）选 D； （3）DABDAEBAE ， .DAE ，.BAE ； AOBO，.EAC （4）由 AE 平分BAD可知，BAEDAEAEB ，又CAE， 故BAC ，从而

5、ABBEOB，故()BOE 【教师备课提示【教师备课提示】例 1 的 4 个例题主要是让孩子们理解矩形基本性质的运用（倒边和倒角）还加入矩形的一些 结论，让孩子们能够充分练习，打好基础 例题 1 A D BC O E A D BC O E A MD BC O A FD BC E O F A D B C A EB （1）P 为矩形 ABCD 内一点，已知PA ，PB ，PC ，则 PD 的长为_ （2） 如图， 把矩形ABCD沿EF翻折， 点B恰好落在AD边的B处， 若AE ，DE ， EFB ，则矩形 ABCD 的面积是_ （3）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O

6、，点 P 在 AD 上，PMAC于 M，PNBD于点 N若AB ，BC ，则PMPN_ （1）过 P 作 AB 的平行线分别交 AD、BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线分别交 AB、CD 于 G、H 设AGDHa，BGCHb，AEBFc， DECFd，于是APCPBPDP ， 故DPAPCPBP ，PD （2）在矩形 ABCD 中，AD/BC，DEFEFB， 把矩形 ABCD 沿 EF 翻折点 B 恰好落在 AD 边的 B处， AEFA EF ，A EBA EFDEF ， 在RtAEB中，A B E ，B EA E ，而A E， B E，AB ，即AB ，AE ，DE ， ADAED

7、E ，矩形 ABCD 的面积ABAD （3）连接 PO AB ，BC ，AC ，AODO AODABCD SS AODAOPDOP SSS()AO PMDO PNAOPMPN PMPN 【教师备课提示】【教师备课提示】 第 （3） 题推广： 等腰三角形底边上的点到两腰的距离之和等于一腰上的高 当出现垂线段时， 联想到面积法解题； 在等腰三角形底边延长线上的点到两腰的距离之差等于一腰上的高， 可以 联想面积法；最特殊的在等边三角形内一点到三边的距离之和等于任何一边上的高 例题 2 A G B F D H C E P O AD BC M N P O AD BC M N P 如图，已知ABAC，AD

8、AE，DEBC，且BADCAE ，求证：四边形 BCED 是矩形 在ABD和ACE中 ABAC BADCAE ADAE ABDACE， BDCE，ADBAEC ， 四边形 BCED 是平行四边形 ADAE，ADEAED， BDECED ， BD/CE， BDECED ，四边形 BCED 是矩形 【教师备课提示】【教师备课提示】矩形的判定方法，给学生梳理清楚，此题的难点是判定有一个角为直角老师还可以讲一种 方法，就是利用对角线相等的平行四边形为矩形来解答，也就是连接 CD、BE，证明 ABEACD即可 如图，在ABC 中，AB ，AC ，BC ，P 为边 BC 上一动点（且点 P 不与点 B、C

9、 重合） ，PEAB 于 E，PFAC于 F求 EF 的最小值 连接 PA在ABC中，AB ，AC ，BC ， BCABAC ，A ， 又PEAB于点 E，PFAC于点 F AEPAFP ， 四边形 PEAF 是矩形 APEF 当 PA 最小时，EF 也最小，即当APCB时，PA 最小， AB ACBC AP ， 即. AB AC AP BC ， 线段 EF 的最小值为 4.8 例题 3 例题 4 A D B C E A B C P EF A B C P EF 模块二 菱形 （1）在菱形 ABCD 中，AC ，BD ，则菱形的边长为（ ） A5 B10 C6 D8 （2）菱形周长为 52cm，

10、一条对角线长为 10cm，则其面积为_ （3）已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为 ，则另一条对角线的长为_ （4）下列给出的条件，能判定一个四边形为菱形的是（ ） A有一组对边平行且相等，有一个角是直角 B有一组对边平行，另一组对边相等，两条对角线互相垂直 C两组对边分别相等，且有一组相邻的角相等 D一组对边相等，一组相邻的边相等，一组对角相等 （1）由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选 A （2）菱形的边长为(cm) ，由勾股数和菱形对角线的性质得另一对角线长为 24(cm)，故面积 为 120(cm2) （3）2 或 6； （4）D 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是理解

11、菱形性质，以及会利用相应的性质进行计算 如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BEDE，延长 DE 到点 F，使得EFBE，连接 CF求 证：四边形 BCFE 是菱形 证明：D、E 分别是 AB、AC 的中点， DE/BC，且DEBC， 又BEDE，EFBE， EFBC，EF/BC， 四边形 BCFE 是平行四边形， 又BEFE， 四边形 BCFE 是菱形 例题 5 例题 6 A D EF BC （金牛区期末）如图，矩形纸片 ABCD（ADAB）中，将它折叠，使点 A 与 C 重合，折痕 EF 交 AD 于 E， 交 BC 于 F，交 AC 于 O，连接 AF、CE （1）求

12、证：四边形 AFCE 是菱形； （2）若 AB=4，EF ，求四边形 AECF 的面积 （1）证明：当顶点 A 与 C 重合时，折痕 EF 垂直平分 AC， OAOC，AOECOF ， 在矩形 ABCD 中，AD/BC， EAOFCO， (AAS)AOECOF， OEOF， 四边形 AFCE 是菱形 （2）过 E 点EMBC，则：AEBM， 设OAx， EF ， OE ， AEAFx， AB ， BFx，FM ， BMBFFMx， AEBM， xx ， x 即OA ， ACOA ， 菱形AECF SAC EF 例题 7 A B C D F E O M A B C D F E O 1如图 1-1

13、，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于一点 O，OFAD，AEBD，且:BE ED 若cmAC ，则OF _cm 2 （14 年嘉祥上期期末）如图 1-2，点 O 是矩形 ABCD 的中心，E 是 AB 上的点，沿 CE 折叠后，点 B 恰好与 点 O 重合，若BC ，则折痕 CE 的长为（ ） A B C D6 3如图 1-3，四边形 ABCD 是一张矩形纸片，ADAB ，若沿过点 D 的折痕 DE 将 A 角翻折，使点 A 落在 BC 上的A处，则EA B _ 图 1-1 图 1-2 图 1-3 1 ； 2A；由题意可以得到，BCOC，BCEOCE， 连接 OB，由矩形的性质有，O

14、BOC， BOC为等边三角形，BCO ， BCE ，CE 360 演练 1 E O DC AB A BC D O E F A E B C D 1 A 4如图，在平行四边形 ABCD 中，以 AC 为斜边作RtAMC，又BMD求证：四边形 ABCD 是矩形 连接 OM四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，AMC是直角三角形 OMAC ，同理OMBD ，ACBD 四边形 ABCD 是矩形 5已知：如图，在矩形 ABCD 中，AC 是对角线点 P 为矩形外一点且满足APPC，APPCPC 交 AD 于点 N，连接 DP，过点 P 作PMPD交 AD 于 M （1）若AP ，ABBC ，求矩形

15、ABCD 的面积； （2）若CDPM，求证：ACAPPN （1）解：APCP且APCP， APC为等腰直角三角形， AP ，AC ，ABBC ，设ABx，BCx ， 在RtABC中，()xx ，x，x ， 矩形 = ABCD SAB BC ； （2）解：延长 AP，CD 交于 Q， CNDPNA， 且CNDANP， ，又 ，(ASA)APMCPD， DPPM，又CDPM，CDPD， ，Q，Q， DQDPCD， D 为 CQ 中点，又ADCQ，ACAQAPPQ， (ASA)APNCPQ， PQPN，ACAPPQAPPN 演练 2 演练 3 A D B C M O P A BC D M 2 Q 3

16、 6 4 1 5 N P A BC D MN 6菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，且AEBC，AFCD，那么EAF等于_ 7如图，四边形 ABCD 是菱形，AEF是等边三角形，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且ABAE，则B等 于_ 8在菱形 ABCD 中，AB ，BCD，则对角线 AC 等于（ ） A20 B15 C10 D5 9.菱形的一个内角为，周长为 8cm，则菱形的面积为（ ）cm A B C D4 660；780；8D；9C 10已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M，与 BD 相交于点 O，与 BC

17、相交于点 N，连接 BM、DN （1）求证：四边形 BMDN 是菱形； （2）若AB ，AD ，求 MD 的长 （1）证明： 四边形 ABCD 是矩形 AD/BC，A ，MDONBO ，DMOBNO ， (ASA)DMOBNO，OMON，OBOD， 四边形 BMDN 是平行四边形，MNBD，平行四边形 BMDN 是菱形 （2）解：四边形 BMDN 是菱形，MBMD，设 MD 长为 x，则MBDMx， 在RtAMB中，BMAMAB ，即()xx ，解得：x ，MD 演练 4 演练 5 在三角形中有两类比较特殊的三角形，一类是有两个边长相等的等腰三角形，另一类是有一个角度是的 直角三角形。 在平行四边形中也有同样的两类比较特殊的平行四边形， 一类是有一组邻边相等的平行四边形也就 是菱形，另一类是有一个角度是的平行四边形也就是矩形，所以说菱形和矩形的性质，判定同学们要很熟悉 呦！ 知 识 链 接 A B E D F C A B C D N M O