初二数学讲义直升班 第8讲 梯形（教师版）

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1、梯形梯形 模块一 梯形的性质和判定 模块二 梯形中的常见辅助线 模块一模块一 梯形的性质与判定梯形的性质与判定 一、一、梯形定义梯形定义 名称名称 梯形梯形 等腰梯形等腰梯形 直角梯形直角梯形 定义 一组对边平行，另一组对边不 平行的四边形叫做梯形 两腰相等的梯形叫做等腰 梯形 有一个角是直角的梯形叫 做直角梯形 图形 符号 语言 梯形 ABCD 中，AD/BC 梯形 ABCD 中，AD/BC， ABCD 梯形 ABCD 中，AD/BC， B 相关 概念 梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底较短的底叫做上底，较长的底叫做下底（与 位置无关） ； 梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做腰； 梯形的高

2、：两底间的距离叫做高 二、等腰梯形的性质及判定二、等腰梯形的性质及判定 1性质：性质： （1）由定义可知：两腰相等，两底平行； （2）同一底上的两个角相等； （3）对角线相等； （4）等腰梯形是轴对称图形，对称轴为两底中点的连线所在的直线 2判定：判定： （1）两腰相等的梯形是等腰梯形； （2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； （3）对角线相等的梯形是等腰梯形 三、梯形中位线定理：三、梯形中位线定理： 在梯形 ABCD 中，AD/BC，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接 EF，则EF为梯 形 ABCD 的中位线，且有 EF/AD/BC，()+EFAD BC 【教师备课提示】【教

3、师备课提示】在讲解梯形中位线的时候可以先回顾三角形的中位线的知识，然后可以证明下梯形中位线定 理 连接 AF 并延长交 BC 的延长线与点 Q， 则可以得到点 F 也是 AQ 的中点， 且ADQC， 则 EF 为ABQ的中位线，即可证明梯形中位线定理 还可以以此继续推导梯形的面积公式： () 梯形ABQABCD SSADBCh AD EF B C AD BC 上底 腰 腰 下底 E AD BC A D BC 模块二模块二 梯形中的常见辅助线梯形中的常见辅助线 一、一、梯形中的常见辅助线梯形中的常见辅助线 类型 图形 作法 本质 典型应用 与高有关 过 A 作AEBC于 E， 过 D 作DFBC

4、于 F （简称作双高） 把梯形转化为一个矩 形和两个直角三角形 面积计算 与腰有关 过D作DE/AB交BC 于 E（平移一腰） 把梯形转化为一个平 行四边形和集中两 腰、上下底之差的三 角形（DEC） 梯形中四边 关系 过 C 作 CE/AB，交 AD 延长线于 E（平移一腰） 过E作 EM/AB交BC 于 M，EN/DC 交 BC 于 N （平移两腰） 把梯形转化为两个平 行四边形和一个集中 两腰和上下底之差的 三角形（EMN） 分别延长 BA、CD 交于 点 E（补成三角形） EBC为三角形 中考热点， 梯形中构造 特殊三角形 与对角线 有关 过D作DE/AC交BC延 长线于 E（平移对角

5、线） 把梯形转化为一个平 行四边形（ADEC） 和一个集中两条对角 线与上下底之和的三 角形（BDE） 集中对角线 与腰中点 有关 连结AM并延长交BC延 长线于 E（倍长类中线） 将梯形切割拼接成一 个与它面积相等的三 角形（ABE） 梯形的中位 线证明； 梯形拼接成 三角形或四 边形 过 M作EF/AB交BC 于 F， 交 AD 延长线于 E （倍 长类中线） 将梯形切割拼接成一 个和与它面积相等的 平行四边形（ABFE） 模块一 梯形的性质和判定 A BFC D E A B D E C B AD E C B AED MNC B E A D C BCE AD O BCE AD M A B

6、D E M FC （1）下列说法正确的是（ ） A梯形是特殊的平行四边形 B等腰梯形的两底角相等 C有两邻角相等的梯形是等腰梯形 D有且只有一组相邻角为直角的四边形是直角梯形 （2）如图 1-1，梯形 ABCD 中，AD/BC，ADAB，BCBD，A，则C_ （3）如图 1-2，在直角梯形 ABCD 中，ABC ，AD/BC，AD ，= 8AB，BC ，点 P 是 AB 上一个 动点，则PCPD的最小值为_ （4）如图 1-3，梯形 ABCD 中，AB/CD，ABED ，C ，AB ，CD ，则BCE 的 面积是_ 图 1-1 图 1-2 图 1-3 （1）D； （2）； （3）17； （4）

7、 +3 【点评】【点评】这道题主要考察学生们对梯形基本概念的理解，第三题为考试的真题，也比较综合，第四题主要是培 养孩子去求解含有特殊角的三角形 （1）如图 2-1，梯形中位线的长是 20cm，它被一条对角线分成的两部分的差是 5cm，则这个梯形较长的底边长 是_ （2）如图 2-2，点 A、B 在一直线上，以 AB、BC 为边在同侧分别作正方形 ABGF 和正方形 BCDE，点 P 是 DF 的中点，连接 BP已知cmAB ，cmBC ，则BP _ 图 2-1 图 2-2 例题 1 例题 2 AB CD E AD P B C AD BC CAB D E F P G A E B C D F G

8、 （1）25cm； （2） cm 模块二模块二 梯形中的常见辅助线梯形中的常见辅助线 （1）如图 3-1，在梯形 ABCD 中，AD/BC，AD ，BC ，A，D，则梯形ABCD面积为 _ （2） 如图所示3-2， 已知梯形ABCD中， DC/AB，BDAD，ACAB，ADB ，BC ， 则=C A B_， BE _ 图 3-1 图 3-2 （1） ； （2），2 【点评】【点评】这两道题都是通过作双高的方法来求解，意图就是让同学们掌握题型中最基础的辅助线作法，也考查 同学们的计算能力 （1）在梯形 ABCD 中，AB/CD，A ，B ，ADCD ，则 AB 的长度为_ （2）梯形 ABCD

9、中，AD/BC，AD ，BC ，C ，B ，则 AB 的长为_ （3）如图，在梯形 ABCD 中，B，C ，AD ，BC ，点 E、F 分别是 AD、BC 的中点， 则 EF 的长度_ （1）18可平移一腰（或延长两腰）得到含的直角三角形 （2）3可平移一腰（或延长两腰）得到等腰三角形 （3）过点 E 作 EM/AB、EN/CD 交 BC 于 M、N BC ， MEN ， AEDE，BFCF 又BMAEDECN， MFNF，MNBCAD ， 例题 3 例题 4 DC A E B A B C D AE D BF C MN AE D BF C EFMN 【点评】【点评】 在梯形 ABCD 中，BC

10、 ，EF是两底中点的连线，则()EFBCAD 同样的，如果反过来也是对的，即在梯形ABCD中，EF是两底中点的连线，且()EFBCAD ， 则BC （1） 如图 5-1， 梯形 ABCD 中， AD/BC，ACBD，AD ，BC ， E 在 BC 上，CE ， 则DE _ （2）如图 5-2，等腰梯形 ABCD 中，AB/CD，ACBD ，且30CAB ，则梯形 ABCD 的面积为_ 图 5-1 图 5-2 （1）5； （2） 【点评】【点评】这两道题都是通过平移对角线的方法来 求解，意图就是培养孩子通过题目所给的条件来 分析辅助线的作法的能力 两对角线互相垂直，即想到平移对角线来构造直角三角

11、形； 两对角线相等，即想到平移对角线来构造等腰三角形 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，B ，C ，AD ，BC ，E 为 AB 中点，EF/DC 交 BC 于 点 F，求 EF 的长 解法一：如图 1，过点 D 作DGBC于点 G AD/BC，B，A 可得四边形 ABGD 为矩形 BGAD，ABDGBC ，GC DGC ，C ，CDG ， DGGC ，AB O C D A BE F 例题 5 例题 6 F E D CB A A BC D E AB DC O 又E 为 AB 中点，BEAB EF/DC，在BEF中，B，EF 解法二：如图 2，延长 FE 交 DA 的延长线于点 G AD/

12、BC，EF/DC， 四边形 GFCD 为平行四边形，G GDFC EAEB，GAEFBE AGBFAD ，BC ， 设AGx，则BFx，CFx ，GDx xx 解得x C ， ，在BEF中，B， EF 【点评】【点评】 以上两种方法是标答给出的，此外，本题方法还有： （1）延长 BA，CD 交于一点； （2）过点 A 作 DC 的平行线当然不排除还有其它方法，此题几乎囊 括了梯形所有常见的辅助线作法，比较精彩！ 1有两个角相等的梯形是（ ） A等腰梯形 B直角梯形 C一般梯形 D等腰或直角梯形 2（武汉市中考题） 如图， 在直角梯形 ABCD 中， AD/BC，ABC ，ABBC， E 为 A

13、B 边上一点，BCE， 且AEAD连接 DE 交对角线 AC 于 H，连接 BH下列结论： ACDACE； CDE为等边三角形； EH BE ； EDC EHC SCD SAH 其中结论正确的是（ ） A只有 B只有 C只有 D 1D；2B 【点评】【点评】 此题让学生进一步掌握中考中梯形为背景的题目 演练 1 H E D CB A 3 （成都七中初中 2014 年上期期中） 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD/BC，ABBC 点 M 为直角梯形 ABCD 内一点，满足AMD ，将ADM绕点 A 顺时针旋转得到对应的ABN（AD 与 AB 重合， ADMABN） ，连接 MN （1）判断线

14、段 MN 和 BN 的位置关系，并说明理由； （2）若AM ，MD ，求 MB 的长及点 B 到直线 AN 的距离； （3）在（2）的情况下，若BC ，求四 边形 MBCD 的面积 （1）MNBN，理由：由题意得，ADMABN，且MAN ， ANBAND ，AMAN， ANM ，MNB ， MNBN； （2）由题意得，ADMABN，且MAN ， NBMD ，ANAM， 由勾股定理，MN ，MB 作BPAN交AN 的延长线于点P，则BNP ，BP ，即点B 到直线AN 的距离为3 （3）由（2）得，BPNP ，AP ，ADAB ， BMN SBN MN ， AMN SAN AM ， 所以 ANB

15、MBMNAMNANBAMBAMDAMB SSSSSSS 四边形 ， MBCDANBMABCD SSS 四边形四边形梯形 【点评】【点评】这是一道考察直角梯形和全等结合的去年半期考试的真题，整体难度一般，但是重点考察学生对梯形 中面积公式，长度和角度的一些计算 4如图，梯形 ABCD 中，AD/BC，AD ，BC ，AC ，BD ，则梯形 ABCD 的面积是_ 24 【点评】【点评】此题常规可以用做双高的方法求解，但是过于麻烦，如果深入发掘题目，会发现 6、8、10 这组勾股数 的存在，所以运用平移对角线会更加巧妙，老师可以好好评讲这道题目，比较精彩 演练 2 演练 3 AD N M BC A

16、B C D 5等腰梯形的两底长为 4cm 和 10cm，一底角为，则它的面积为_ cm2 6已知梯形的上底长为 2，下底长为 5，一腰长为 4，另一腰长为 x，则 x 的取值范围是_ 7如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，BC ，E、M、F、N 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，已知 BC ，MN ，则 EF 的值为_ 521；6x ；74 8如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ADAB，E 是 AD 上的点，BECE，BEC ，M 是 BC 的中 点求证：ADM是等腰直角三角形 取 AD 中点 F，连接 FM DFAF，CMBM， ()FMABCD BEC ，ADAB， DECA

17、BE BECE，ADAB，ADCD， DCEAEB(AAS)， CDAE，DEAB， ADABCD，FMAD ， AMDM，FM/AB，ABAD， FMAD， DFAF，DMAM， ADM是等腰直角三角形 【点评】【点评】这是一道比较综合的题，难度中偏高，也可以有另外的解法 延长 DM、AB 交于点 F，可证ADAF，DMFM，则ADM是等腰直角三角形 演练 4 演练 5 A B E N M F D C E DC M AB E DC M AB F 三角形我们知道其实是有一个很大的家族，其实四边形也是一个很大的家族，四边形是一个温暖和谐的大 家庭，里面住着平行四边形和梯形两兄弟。平行四边形又有矩形这个儿子和菱形这个儿子，它们俩又生了正方 形。同样的，梯形呢，也有两个儿子，一个是两腰长相等的等腰梯形，还有一个是有一个角是直角的直角梯形。 族谱的关系不可以乱，所以说同学们也要弄清楚平行四边形、菱形、矩形和正方形的关系及等腰梯形、直角梯 形和梯形的关系。 知 识 链 接