初二数学讲义直升班 第11讲 几何变换之平移（教师版）

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1、第第 11 讲讲 几何变换之平移几何变换之平移 平移的性质： 1经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等 2平移前后，所对应的图形全等 模块一 平行多边形和平移的构造 1平行四边形与平移变换平行四边形与平移变换 由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件 中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理平移沿平行四边形的某条边进行 2平行六边形和平移变换平行六边形和平移变换 因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行 线 （或平行线段） 的平面几何问题当然也

2、可以考虑用平移变换处理， 平移方向平行于平行线 （或平行线段） ， 平移距离则要视具体情况（特别是所要证明的结论）而定这种平移方式经常用来对分散图形进行集中 如图所示，P 为平行四边形 ABCD 内一点，求证：以 AP、BP、CP、DP 为边可以构成一个四边形，并且所 构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于 AB 和 BC A C D B 0 P A C D B 0 P Q 如图所示， 将PAB平移至QDC的位置， 易证DQAP，CQBP， 则四边形 DPCQ 恰好是一个以 AP、 BP、CP、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形 ABCD 的两条邻边 如图 2-1，四边形 E

3、FGH 中，若12 ，则3必然等于4 请运用结论证明下述问题：如图 2-2，在平行四边形 ABCD 中取一点 P，使得56 ，求证：78 F G H E 14 2 3 B AD C 5 8 6 7 P 图 2-1 图 2-2 【分析】【分析】 此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若1和2，位置为时，可 例1 例2 得出3和4相等（本质为四点共圆） ，图（2）中，5与6关系并不像条件所示，因此，需要 改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决而构造平行四边形，恰可以达到改变角位 置作用，为使5与6成形，我们可有如下四种方法 分别过点 B、P 作BKAP，PKAB，交于点

4、K，连接 CK BKAP，PKAB，BKAP，PKAB，5BKP ，7BPK ABCD，ABCD，PKCD，PKCD 四边形 PKCD 为平行四边形，PDCK，ADBC ADPBCK，8BCK 在四边形 BKCP 中，56BKP ，BPKBCK ，78 8 7 6 5 B D C A K P K 8 7 6 5P D C B A （6不动移5） （5不动移6） K A B C D P5 6 7 8 K 8 7 6 5P D C B A （5，6均移动） （5，6均移动） 【教师备课提示】【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐 如图，以ABC的边 AB、AC、BC

5、 为一边，分别向三角形的外侧作正方形 ABDE、正方形 ACGF、正方形 BCMN以 EF、DN、GM 为边能否构成三角形？为什么？ D E F G NM BC A D E F G NM BC P A 过点 E 作PEDN，过点 N 作PNDE，PE 与 PN 交于点 P，连结 PM、PF 例3 PEDN，DEPN，DEPN，PEDN ABDE，PNDE，ABPN，BCMN， ABCPNM ，ABDEPN，BCNM，ABCPNM ACPMFG，ACBPMN ，ACFGPM， 四边形 FGMP 是平行四边形， MGPF PEF就是以 EF、DN、GM 的长为边的三角形 【教师备课提示】【教师备课

6、提示】这道题还可以给学生拓展PEF的面积为ABC的 3 倍. 如图所示，一个六边形的六个内角都是120，连续四边的长依次是 1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？ C1 E1 2 1 3 3 A1 D F E C B A （方法 1） ：如图所示，由于六边形的内角都是120， 易知CDAF，ABED，BCFE 把 BC、DE、FA 分别平移至 1 AC、 1 CE、 1 EA， 可得等边 111 AC E， 其边长 1111 1C ECECCDEBA 在此基础上可求得 EF、AF 的长， 进而求得六边形的周长： 1111 13 12EFAAACC ABC ， 1111 1134AFAEAEE

7、 ECD ， 故六边形的周长是13322415 （方法 2） ： 如图所示， 将六边形补全为等边PQR 易得PQR的边长为1337， 则7322EF ，7124FA ， 故六边形的周长是13322415 在六边形 ABCDEF 中，ABDE，BCEF，CDAF， 对边之差BCEF 0EDABAFCD 求 证：六边形 ABCDEF 的各内角均相等 2 1 3 3D F E C B A 例4 例5 2 1 3 3 R QP D F E C B A P F E R Q D C BA 平移线段 DE 到 CR，平移线段 BC 到 AQ，平移线段 FA 到 EP，如图所示，得到PQR 易知PQ AQAP

8、BCEF ， RQRCQCEDAB， PRPEREAFCD 由于BCEFEDABAFCD， PQRQPR，即PQR是等边三角形， 60PQRQRPRPQ 故6060120DEFDERREFQRPRPQ 18018060120CDECREQRP 同理，120DCBCBABAFAFE ， 六边形 ABCDEF 的各内角均相等 如图所示，在六边形 ABCDEF 中，ABED，AFCD，BCFE，ABED，AFCD，BCFE又 知对角线FDBD，24FD 厘米，18BD 厘米请你回答：六边形 ABCDEF 的面积是多少平方厘米？ A C D B F E A C D B F E G 将DEF平移到BAG

9、的位置； 将BCD平移到GAF的位置， 则长方形 BDFG 的面积等于六边形 ABCDEF 的面积 易知长方形 BDFG 的面积等于24 18432（平方厘米） ， 六边形 ABCDEF 的面积是 432 平方厘米 F ED C BA 例6 例7 设凸六边形 ABCDEF 的三组对边分别平行求证：ACE的面积与BDF的面积相等 如图，将 B、D、F 分别沿 CD、EF、AB 平移至 B 、 D 、 F ，则 F 在 BB 上， B 在 DD 上， D 在 FF 上， 且DFABDE ，FBCDFA ，BDEFBC 记六边形 ABCDEF 的面积为 S，B D F 的面积为 T 因四边形FABF

10、、BCDB、DEFD均为平行四边形， 于是， 11 ()() 22 BDF SSTTST 同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与一个三角形A C E ， 则有|ACABDE ，|C ECDFA ，|EAEFBC 因而ACE 的面积也为 T，于是也有 1 () 2 ACE SST ，故 BDFACE SS 模块二 共端点的平移构造 如果两条相等线段既不平行也不共线， 则其中一条线段不可能是另一条线段在某个平移变换下的像 但 我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再 加上其他相关条件使问题得到解决 如图所示，两

11、条长度为 1 的线段 AB 和 CD 相交于 O 点，且60AOC，求证：1ACBD A BC D E F BD F A BC D E F AC E 例8 A BC D E F C A O B D C A O BD B 考虑将 AC、BD 和 AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系 作CBAB 且CBAB = ，则四边形ABB C是平行四边形，从而AC BB 在BB D中可得BBBDB D， （当ACBD时，BBBDB D） ，即ACBDB D由于 1CDABCB，60B CDAOC ，所以BCD是等边三角形，故1B D，所以1ACBD 如图，ABC中，ABAC，D、E 是 AB

12、、AC 上的点且ADCE求证：2DEBC 方法一： 通过构造平行四边形把 DE 和 1 2 BC平移成共顶点的线段 （如下图， 作中位线利用斜边大于直角边） 方法二：通过构造平行四边形平移 DE，使得 DE 和 BC 共顶点 下面写出方法二的解析： （如下图 2） 过点 B 作BFDE，且BFDE，连接 EF、FC DAECEF，AEBDEF 又ADEC ADEECF，DECF BFCFBC 即2DEBC，当且仅当 DE 为ABC的中位线时，取到等号 另外，此题还可以如图 1，3，4 那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等 腰三角形 E D CB A G H F E

13、D CB AA BC D E F HG H G H F E D CB A 例9 已知：ABC （1）如果ABAC，D、E 是 AB、AC 上的点，若ADAE，请你写出此图中的另一组相等的线段； （2）如果ABAC，D、E 是 AB、AC 上的点，若BDCE，请你确定 DE 与 BC 的数量关系，并证明你的 结论 C A E B D （1）DBEC； （2）结论：BCDE 过 E 点作EFAB，截取EFDB，连结 BF，作CEF的平分线 EN 交 BC 于 N，连结 NFDBEF， 又DBEC，EFEC EN 平分CEF，FENCEN 在ENF和ENC中，EFEC，FENCEN ，EN 为公共边

14、，ENFENC NFNCDBEF，DBEF，四边形 BDEF 是平行四边形DEBF 在BFN中，BNFNBF，即BNCNDE，所以BCDE 模块一 平行多边形和平移的构造 已知：矩形 ABCD 内有定点 M，试证： 2222 AMCMBMDM 图1图2图3 图4 A BC D E F A B C D E F A BC D E F F E D CB A N F E D C B A 例10 演练1 C A B D M C A B D M F E 过点 B、点 M 分别作 AM、AB 的平行线，交于点 E，连接 CE，ME，BC 交 ME 于点 F ABEM，AMBE AMBE，ABEM ABCD，

15、ABCD EMCD，EMCD ECDM 为平行四边形，CEDM EMBC 222 BMBFFM， 222 CEEFCF， 222 CMCFFM， 222 BEBFEF 2222 AMCMBMDM 如图所示，设 ABCD 是矩形，K 为矩形所在平面上的一点，连接 KA 与 KD 均与 BC 相交由点 B 向直线 DK 引垂线，由点 C 向直线 AK 引垂线，两垂线相交于 M，求证MKAD 如图，过点作，且 连接 PB，PC，KM ， 四边形为平行四边形 又 ， 又在矩形中， ， 四边形为平行四边形 A B C D E F M P KK M F E D C B AA B C D E F M P K

16、K M F E D C B A KKPABKPAB PKBAPKBA PKAB BPKA CFAKCFPB ABCDABCDABCD PKCDPKCD PKDC 演练2 又 ， 为的重心 又， ， ，三点共线 且 又ADBC ， 模块二 共端点的平移构造 如图 A、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN。桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直.） （1）设河宽为 d，作 1 ACL且ACd； （2）连接 CB 交 2 L于 N 点； （3）作 2 MNL交 1 L于 M 点； （4）连接 AM，则路线 AMNB 最短 如图所示，长为 2 的三条线段AA，BB，CC交于 O 点，并且B OAC OB 60A OC ，则三个 三角形的面积的和 123 SSS_3 （填“” 、 “=”或“” ） PCKD BEKDBEPC MPBC PMBC ABBCABPKPKAB PKM KMBC KMAD L2 L1 B A N M C L2 L1 B A 演练3 演练4 图6 S3 S2 S1 O C C A B B A