2021年中考数学分类专题突破专题07 圆的切线证明(解析版)
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1、专题专题 07 07 圆的切线证明圆的切线证明 1如图,等边 ABC 内接于O,P 是上任意一点(不与点 A、B 重合),连 AP、BP,过点 C 作 CMBP 交 PA 的延长线于点 M (1)求APC 和BPC 的度数试; (2)探究 PA、PB、PM 之间的关系; (3)若 PA1,PB2,求四边形 PBCM 的面积 解:(1)ABC 是等边三角形, ABCBACACB60 , , APCABC60 ,BPCBAC60 ; (2)CMBP, BPM+M180 ,PCMBPC60 , M180 BPM180 (APC+BPC)180 120 60 , MBPC60 , PCMPCAACBP
2、CA,即ACMBCP, 又BCAC, ACMBCP(AAS), AMBP, PMPA+AM, PMPA+PB; (3)ACMBCP, CMCP, 又M60 , PCM 为等边三角形, CMCPPM1+23, 如图,过点 P 作 PHCM 于 H, 在 Rt PMH 中,MPH30 , PH , S梯形PBCM(PB+CM) PH(2+3) 2如图所示,线段 AC 是O 的直径,过 A 点作直线 BF 交O 于 A、B 两点,过 A 点作FAC 的角平分 线交O 于 D,过 D 作 AF 的垂线交 AF 于 E (1)证明 DE 是O 的切线; (2)证明 AD22AEOA; (3)若O 的直径
3、为 10,DE+AE4,求 AB (1)证明:连接 OD, DE 为O 切线; (2)证明:连接 CD AC 为O 的直径,DEAF ADC90 ,DEA90 , ADCAED, 在 ACD 和 ADE 中,DACEAD,ADCAED, ACDADE, AD2AEAC AC2OA, AD22AEOA; (3)解:过点 O 作 OMAB 于点 M,则四边形 ODEM 为矩形,设 DEOMx,则 AE4x, AM5(4x)1+x, 在 Rt AMO 中,OA2AM2+OM2,即:(1+x)2+x252 解得:x13,x24(舍去) AM4 OMAB,由垂径定理得:AB2AM8 3如图 1, ABC
4、 内接于O,过 C 作射线 CP 与 BA 的延长线交于点 P,BACP (1)求证:CP 是O 的切线; (2)若 PC4,PA2,求 AB 的长; (3)如图 2,D 是 BC 的中点,PD 与 AC 交于点 E,求证: (1)证明:如图 1,连结 OA、OC,则 OAOC OACOCA AOC+2OCA180 由圆周角定理,得AOC2B 2B+2OCA180 B+OCA90 BACP ACP+OCA90 ,即OCP90 CP 是O 的切线; (2)BACP,ACPCPB, APCCPB , PB8 ABPBPA826; (3)如图 2,延长 ED 至 F,使 DFED,连结 BF, 易得
5、 BDFCDE, BFCE,CEDF BFEC, 由(2)得,PB, , 4定义:如果一个点能与另外两个点构成直角三角形,则称这个点为另外两个点的勾股点如矩形 OBCD 中,点 C 为 O,B 两点的勾股点,已知 OD4,在 DC 上取点 E,DE8 (1)如果点 E 是 O,B 两点的勾股点(点 E 不在点 C),试求 OB 的长; (2)如果 OB12,分别以 OB,OD 为坐标轴建立如图 2 的直角坐标系,在 x 轴上取点 F(5,0)在 线段 DC 上取点 P,过点 P 的直线 ly 轴,交 x 轴于点 Q设 DPt 当点 P 在 DE 之间,以 EF 为直径的圆与直线 l 相切,试求
6、 t 的值; 当直线 l 上恰好有 2 点是 E,F 两点的勾股点时,试求相应 t 的取值范围 解:(1)如图 1,连接 OE,BE, 若点 E 是 O,B 两点的勾股点, 则OEB90 , OED+CEB90 , OED+DOE90 , DOECEB, 又CODE, BCEEDO, , 即, CE2, OBDE8+210; (2)如图 21,设以 EF 为直径的圆的圆心为 Q,与直线 l 的切点为 M,直线 l 与 OB 的交点为 H, 连接 QM, 则FME90 ,QMPH, HMF+PME90 , PME+PEM90 , HMFPEM, 又MHFEPM90 , MHFEPM, , QMP
7、H,ly 轴, HFMQPE, , FQQE, HMMP2, 又DPOHt,DE8,OF5, HF5t,PE8t, , 解得,t14,t29(点 P 在 DE 之间,舍去), t4; 如图 22,当直线 l 在Q 的右侧与Q 相切时, 由知 MHFEPM, , 此时,HMMP2,HFt5,PEt8, , 解得,t14,t29, 当 t4 或 9 时直线 l 与Q 相切, 点 E,F 以及直线 l 上的点均可为直角三角形的直角顶点, 当直线 l上恰好有 2点是 E, F两点的勾股点时, 相应 t 的取值范围为 0t4或 t5 或 t8 或 9t12 5如图,AB 是O 的直径,点 P 是圆上不与
8、点 A,B 重合的动点,连接 AP 并延长到点 D,使 APDP, 点 C 是 BD 的中点,连接 OP,OC,PC (1)求证:AD; (2)填空:若 AB10cm,当 AP cm 时,四边形 AOCP 是菱形; 当四边形 OBCP 是正方形时,DPC (1)证明:如图,连接 PB, AB 是O 的直径, BPAD, APPD, BP 是线段 AD 的垂直平分线, BABD, AD; (2)解:APPD,BCDC, , AB 是O 的直径, , OAPC, 四边形 AOCP 是平行四边形, 当 时,平行四边形 AOCP 是菱形, 故答案为:5; 当四边形 OBCP 是正方形时,POB90 ,
9、 OAOP, OPAA45 POB, PCAO, DPCA45 , 故答案为:45 6如图,在矩形 ABCD 中,BC60cm动点 P 以 6cm/s 的速度在矩形 ABCD 的边上沿 AD 的方向匀 速运动,动点 Q 在矩形 ABCD 的边上沿 ABC 的方向匀速运动P、Q 两点同时出发,当点 P 到达终 点 D 时,点 Q 立即停止运动设运动的时间为 t(s), PDQ 的面积为 S(cm2),S 与 t 的函数图象如 图所示 (1)AB cm,点 Q 的运动速度为 cm/s; (2)在点 P、Q 出发的同时,点 O 也从 CD 的中点出发,以 4cm/s 的速度沿 CD 的垂直平分线向左
10、匀速 运动,以点 O 为圆心的O 始终与边 AD、BC 相切,当点 P 到达终点 D 时,运动同时停止 当点 O 在 QD 上时,求 t 的值; 当 PQ 与O 有公共点时,求 t 的取值范围 解:(1)设点 Q 的运动速度为 acm/s, 则由图可看出,当运动时间为 5s 时, PDQ 有最大面积 450,即此时点 Q 到达点 B 处, AP6t, S PDQ(606 5) 5a450, a6, AB5a30, 故答案为:30,6; (2)如图 1,设 AB,CD 的中点分别为 E,F,当点 O 在 QD 上时, QCAB+BC6t906t,OF4t, OFQC 且点 F 是 DC 的中点,
11、 OFQC, 即 4t(906t), 解得,t; 设 AB,CD 的中点分别为 E,F,O 与 AD,BC 的切点分别为 N,G,过点 Q 作 QHAD 于 H, 如图 21,当O 第一次与 PQ 相切于点 M 时, AP6t,AB+BQ6t,且 BQAH, HPQHAB30, QHP 是等腰直角三角形, CGDNOF4t, QMQG904t6t9010t,PMPN604t6t6010t, QPQM+MP15020t, QPQH, 15020t30, t ; 如图 22,当O 第二次与 PQ 相切于点 M 时, AP6t,AB+BQ6t,且 BQAH, HPQHAB30, QHP 是等腰直角三
12、角形, CGDNOF4t, QMQG4t(906t)10t90, PMPN4t(606t)10t60, QPQM+MP20t150, QPQH, 20t15030, t , 综上所述,当 PQ 与O 有公共点时,t 的取值范围为:t 7如图,矩形 ABCD 中,AB2BC,以 AB 为直径作O (1)证明:CD 是O 的切线; (2)若 BC3,连接 BD,求阴影部分的面积(结果保留 ) 解:(1)过点 O 作 OECD 于 E, 四边形 ABCD 是矩形, AADCOED90 , 四边形 ADEO 是矩形, ADOE, AB2BC, AB2AD2OE, AOOE, CD 是O 的切线; (2
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