2021年中考数学分类专题突破专题09 圆中的长度与面积动点问题(解析版)
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1、专题专题 09 09 圆中的长度与面积、动点问题圆中的长度与面积、动点问题 1定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个 内角的遥望角 (1)如图 1,E 是 ABC 中A 的遥望角,若A,请用含 的代数式表示E (2)如图 2,四边形 ABCD 内接于O,四边形 ABCD 的外角平分线 DF 交O 于点 F,连结 BF 并延长交 CD 的延长线于点 E求证:BEC 是 ABC 中BAC 的遥望角 (3)如图 3,在(2)的条件下,连结 AE,AF,若 AC 是O 的直径 求AED 的度数; 若 AB8,CD5,求 DEF 的面积 解:(1)BE
2、 平分ABC,CE 平分ACD, EECDEBD(ACDABC), (2)如图 1,延长 BC 到点 T, 四边形 FBCD 内接于O, FDC+FBC180 , 又FDE+FDC180 , FDEFBC, DF 平分ADE, ADFFDE, ADFABF, ABFFBC, BE 是ABC 的平分线, , ACDBFD, BFD+BCD180 ,DCT+BCD180 , DCTBFD, ACDDCT, CE 是 ABC 的外角平分线, BEC 是 ABC 中BAC 的遥望角 (3)如图 2,连接 CF, BEC 是 ABC 中BAC 的遥望角, BAC2BEC, BFCBAC, BFC2BEC
3、, BFCBEC+FCE, BECFCE, FCEFAD, BECFAD, 又FDEFDA,FDFD, FDEFDA(AAS), DEDA, AEDDAE, AC 是O 的直径, ADC90 , AED+DAE90 , AEDDAE45 , 如图 3,过点 A 作 AGBE 于点 G,过点 F 作 FMCE 于点 M, AC 是O 的直径, ABC90 , BE 平分ABC, FACEBCABC45 , AED45 , AEDFAC, FEDFAD, AEDFEDFACFAD, AEGCAD, EGAADC90 , EGAADC, , 在 Rt ABG 中,AB8,ABG45 , AG , 在
4、 Rt ADE 中,AEAD, , , 在 Rt ADC 中,AD2+DC2AC2, 设 AD4x,AC5x,则有(4x)2+52(5x)2, x , EDAD , CECD+DE , BECFCE, FCFE, FMCE, EMCE , DMDEEM, FDM45 , FMDM , S DEFDEFM 2如图,在 Rt ABC 中,ACB90 ,O 是线段 BC 上一点,以 O 为圆心,OC 为半径作O,AB 与O 相切于点 F,直线 AO 交O 于点 E,D (1)求证:AO 是 CAB 的角平分线; (2)若 tanD,求的值; (3)如图 2,在(2)条件下,连接 CF 交 AD 于点
5、 G,O 的半径为 3,求 CF 的长 (1)证明:连接 OF, AB 与O 相切于点 F, OFAB, ACB90 ,OCOF, OAFOAC, 即 AO 是 ABC 的角平分线; (2)如图 2,连接 CE, ED 是O 的直径, ECD90 , ECO+OCD90 , ACB90 , ACE+ECO90 , ACEOCD, OCOD, OCDODC, ACEODC, CAECAE, ACEADC, , tanD , , ; (3)由(2)可知:, 设 AEx,AC2x, ACEADC, , AC2AEAD, (2x)2x(x+6), 解得:x2 或 x0(不合题意,舍去), AE2,AC
6、4, AOAE+OE2+35, 如图 3,连接 CF 交 AD 于点 G, AC,AF 是O 的切线, ACAF,CAOOAF, CFAO, ACOCGO90 , COGAOC, CGOACO, , OC2OGOA, OG , CG , CF2CG 3如图,O 是 ABC 的外接圆,BC 为O 的直径,BAC 的平分线交O 于点 D,连接 BD、CD,过 点 D 作 BC 的平行线,与 AB 的延长线相交于点 P (1)求证:PD 是O 的切线; (2)求证: PBDDCA; (3)当 AB2,AC4 时,直接写出线段 PB 的长 解:(1)连接 OD, BC 是O 的直径, BAC90 AD
7、 平分BAC, DACBAC45 DOC2DAC, DOC2 45 90 , PDBC, DOCPDO90 ODPD, OD 为O 的半径, PD 是O 的切线; (2)PDBC, PABC, ABCADC, PADC, PBD+ABD180 , ACD+ABD180 , PBDACD, PBDDCA; (3)ABC 为直角三角形, BC2AB2+AC222+4220, OD 垂直平分 BC, DBDC, BC 为O 的直径, BDC90 , 在 Rt DBC 中,DB2+DC2BC2,即 2DC2BC220, DCDB , PBDDCA, , 则 PB 4如图,已知 BCAC,圆心 O 在
8、AC 上,点 M 与点 C 分别是 AC 与O 的交点,点 D 是 MB 与O 的交 点,点 P 是 AD 延长线与 BC 的交点,且 ADAOAMAP (1)连接 OP,证明: ADMAPO; (2)证明:PD 是O 的切线; (3)若 AD12,AMMC,求 PB 和 DM 的值 (1)证明:连接 OD、OP、CD ADAOAMAP, ,AA, ADMAPO (2)证明:ADMAPO, ADMAPO, MDPO, DOPMDO,POCDMO, ODOM, DMOMDO, DOPPOC, OPOP,ODOC, ODPOCP(SAS), ODPOCP, BCAC, OCP90 , ODAP,
9、PD 是O 的切线 (3)解:连接 CD由(1)可知:PCPD, AMMC, AM2MO2R, 在 Rt AOD 中,OD2+AD2OA2, R2+1229R2, R3, OD3,MC6, , , AP18, DPAPAD18126, O 是 MC 的中点, , 点 P 是 BC 的中点, PBCPDP6, MC 是O 的直径, BDCCDM90 , 在 Rt BCM 中,BC2DP12,MC6, BM 6, BCMCDM, ,即, DM2 5 如图, 点 P 在 y 轴的正半轴上, P 交 x 轴于 B、 C 两点, 交 y 轴于点 A, 以 AC 为直角边作等腰 Rt ACD, 连接 BD
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