2021年中考数学分类专题突破专题18 勾股定理实际应用(解析版)
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1、专题专题 18 18 勾股定理实际应用勾股定理实际应用 一选择题 1如图,一根长 5 米的竹竿 AB 斜靠在竖直的墙上,这时 AO 为 4 米,若竹竿的顶端 A 沿墙下滑 2 米至 C 处,则竹竿底端 B 外移的距离 BD( ) A小于 2 米 B等于 2 米 C大于 2 米 D以上都不对 解:由题意得:在 Rt AOB 中,OA4 米,AB5 米, OB3 米, 在 Rt COD 中,OC2 米,CD5 米, OD米, BDODOB(3)1.58(米) 故选:A 2 在以下列长度为边长的4个正方形铁片中, 若要剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片, 则符合要求的正方形铁片边长
2、的最小值为( ) A B C D 解:如图所示: CEF 是直角三角形,CEF90 ,CE4,EF1, AEF+CED90 , 四边形 ABCD 是正方形, AD90 ,ADCD, DCE+CED90 , AEFDCE, AEFDCE, , 设 AExcm,则 ADCD4xcm, DEADAE3xcm, 在 Rt CDE 中,由勾股定理得:(3x)2+(4x)242, 解得:x, AD4 故选:B 3如图,有一个水池,水面是一边长为 10 尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面 1 尺如 果把这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,这根芦苇的长度为( )尺 A10 B12 C
3、13 D14 解:设水深为 x 尺,则芦苇长为(x+1)尺, 根据勾股定理得:x2+()2(x+1)2, 解得:x12, 芦苇的长度x+112+113(尺), 答:芦苇长 13 尺 故选:C 4在我国古代数学著作九章算术“勾股”章中有一题:“今有开门去阃(kn)一尺,不合二寸,问门广 几何?”大意是说:如图,推开双门(AD 和 BC),门边缘 D,C 两点到门槛 AB 的距离为 1 尺(1 尺 10 寸),双门间的缝隙 CD 为 2 寸,那么门的宽度(两扇门的和)AB 为( ) A103 寸 B102 寸 C101 寸 D100 寸 解:设 OAOBADBCr,过 D 作 DEAB 于 E,
4、则 DE10,OECD1,AEr1 在 Rt ADE 中, AE2+DE2AD2,即(r1)2+102r2, 解得 2r101 故门的宽度(两扇门的和)AB 为 101 寸 故选:C 5如图,一棵大树在离地面 3m,5m 两处折成三段,中间一段 AB 恰好与地面平行,大树顶部落在离大树 底部 6m 处,则大树折断前的高度是( ) A9m B14m C11m D10m 解:如图,作 BDOC 于点 D, 由题意得:AOBD3m,ABOD2m, OC6m, DC4m, 由勾股定理得:BC5(m), 大树的高度为 5+510(m), 故选:D 6 将一根长度为 16cm 自然伸直的弹性皮筋 AB 两
5、端固定在水平的桌面上, 然后把中点 C 竖直向上拉升 6cm 至 D 点(如图),则该弹性皮筋被拉长了( ) A2cm B4cm C6cm D8cm 解:连接 CD, 中点 C 竖直向上拉升 6cm 至 D 点, CD 是 AB 的垂直平分线, ACD90 ,ACBCAB8cm,ADBD, 在 Rt ACD 中,由勾股定理得: AD 10(cm), BD10cm, AD+BD20cm, AB16cm, 该弹性皮筋被拉长了:20164(cm), 故选:B 7如图,高速公路上有 A、B 两点相距 10km,C、D 为两村庄,已知 DA4km,CB6kmDAAB 于 A, CBAB 于 B, 现要在
6、 AB 上建一个服务站 E, 使得 C、 D 两村庄到 E 站的距离相等, 则 EB 的长是 ( ) km A4 B5 C6 D 解:设 BEx,则 AE(10 x)km, 由勾股定理得: 在 Rt ADE 中, DE2AD2+AE242+(10 x)2, 在 Rt BCE 中, CE2BC2+BE262+x2, 由题意可知:DECE, 所以:62+x242+(10 x)2, 解得:x4km 所以,EB 的长是 4km 故选:A 8某工厂的厂门形状如图(厂门上方为半圆形拱门),现有四辆装满货物的卡车,外形宽都是 2.0 米,高 分别为 2.8 米,3.1 米,3.4 米,3.7 米,则能通过该
7、工厂厂门的车辆数是( ) (参考数据:1.41, 1.73,2.24) A1 B2 C3 D4 解:车宽 2 米, 卡车能否通过,只要比较距厂门中线 1 米处的高度与车高 在 Rt OCD 中,由勾股定理可得: CD 1.73(米), CHCD+DH1.73+1.63.33, 两辆卡车都能通过此门, 故选:B 9如图,公路 AC、BC 互相垂直,公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开,若测得 AC10km,BC24km,则 M、C 两点之间的距离为( ) A13km B12km C11km D10km 解:在 Rt ABC 中,AB2AC2+CB2 AC10km,BC24km, AB26k
8、m, M 点是 AB 中点 MCAB13km, 故选:A 10如图,小明(视为小黑点)站在一个高为 10 米的高台 A 上,利用旗杆 OM 顶部的绳索,划过 90 到达 与高台 A 水平距离为 17 米,高为 3 米的矮台 B那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度 MN 是( ) A2 米 B2.2 米 C2.5 米 D2.7 米 解:作 AEOM 于 E,BFOM 于 F,如图所示: 则OEABFO90 , AOE+BOFBOF+OBF90 AOEOBF 在 AOE 和 OBF 中, AOEOBF(AAS), OEBF,AEOF, OE+OFAE+BFCD17(米) EFEMFMACB
9、D1037(米), OE+OF2EO+EF17 米, 2OE17710(米), BFOE5 米,OF12 米, CMCDDMCDBF17512(米),OMOF+FM12+315(米), 由勾股定理得:ONOA13(米), MNOMON15132(米) 故选:A 二填空题 11九章算术内容丰富,与实际生活联系紧密,在书上讲述了这样一个问题: “今有垣高一丈 倚木于垣,上与垣齐引木却行一尺,其木至地问木长几何?”其内容可以表述为:“有 一面墙,高 1 丈将一根木杆斜靠在墙上,使木杆的上端与墙的上端对齐,下端落在地面上如果使木 杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动 1 尺, 则木杆上端恰好沿着墙滑落
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