2021年湖南省长沙市开福区十校联考中考数学模拟试卷（含答案解析）

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1、2021 年湖南省长沙市开福区十校联考中考数学模拟试卷年湖南省长沙市开福区十校联考中考数学模拟试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 12021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 2下列计算正确的是（ ） A （a+b）2a2+b2 B C （a2）3a6 Da4a40 3 2018 年我市财政计划安排社会保障和公共卫生等支出约 1800000000 元支持民生幸福工程， 数 1800000000 用科学记数法表示为（ ） A18108 B1.8108 C1.8109 D0.181010 4下列说法正确的是（ ） A “明天降雨的概率为 5

2、0%” ，意味着明天一定有半天都在降雨 B了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式 C反复抛一枚均匀硬币，平均每 100 次出现正面朝上 50 次 D一组数据的方差越小，则这组数据的波动也越小 5若一个圆锥的母线长为 6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A1cm B2cm C3cm D6cm 6如图，用直尺和圆规作图，以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OB，OA 于点 E、D，再分别以 点 E、 D 为圆心， 大于ED 的长为半径画弧， 两弧交于点 C， 连接 OC， 则ODCOEC 的理由是 （ ） ASSS BSAS CAAS DHL

3、 7如图，AC 是电线杆 AB 的一根拉线，测得 BC 的长为 6 米，ACB50，则拉线 AC 的长为（ ） A B C6cos50 D 8下列命题错误的是（ ） A对角线互相平分的四边形是平行四边形 B对角线相等的平行四边形是矩形 C一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D对角线互相垂直的矩形是正方形 9如图所给的三视图表示的几何体是（ ） A长方体 B圆柱 C圆锥 D圆台 10 一副直角三角板如图放置， 其中CDFE90， A45， E60， 点 F 在 CB 的延长线上， 若 DECF，则BDF 等于（ ） A35 B25 C30 D15 11在九章算术中有“盈不足术”的问题，原文如下

4、：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问 人数几何？大意为： 现有一些人共同买一个物品， 每人出 8 元， 还盈余 3 元； 每人出 7 元， 则还差 4 元 问 人数是多少？若设人数为 x，则下列关于 x 的方程符合题意的是（ ） A8x37x+4 B8（x3）7（x+4） C8x+47x3 Dx+4 12如图，是抛物线 y1ax2+bx+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A（1，3） ，与 x 轴的一个 交点 B（4，0） ，直线 y2mx+n（m0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论：2a+b0；抛物线与 x 轴的另一个交点是（2，0） ；方程 ax2+bx+c3 有两个

5、相等的实数根；当 1x4 时，有 y2y1； 若 ax12+bx1ax22+bx2，且 x1x2；则 x1+x21则命题正确的个数为（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13将多项式 2x26xy 因式分解为 14在函数中，自变量 x 的取值范围是 15如图，ABC 内接于O，AD 是O 的直径，ABC25，则CAD 16如图，将半径为 2 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，第个小题，第 17.18.19 题每小题题每小题 6 分；

6、第分；第 20.21 题每小题题每小题 6 分；第分；第 22.23 题每小题题每小题 6 分；第分；第 24.25 题每小题题每小题 6 分，共分，共 72 分）分） 17 （6 分）计算： 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 a3，b1 19 （6 分）如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆 AB 的高度，在操场的平地上选择一点 C，测得旗杆 顶端 A 的仰角为 30，再向旗杆的方向前进 16 米，到达点 D 处（C、D、B 三点在同一直线上） ，又测 得旗杆顶端 A 的仰角为 45，请计算旗杆 AB 的高度（结果保留根号） 20 （8 分）为了认真贯彻教育部关于与开展“阳光体育”活动

7、的文件精神，实施全国亿万学生每天集体锻 炼一小时活动，吸引同学们走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，掀起校园内体育 锻炼热潮，我市各学校结合实际情况举办了“阳光体育”系列活动，为了解“阳光体育”活动的落实情 况，我市教育部门在红旗中学 2000 名学生中，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能 填写一种自己喜欢的活动） ，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图根据以上信息，解答下列问 题： （1）参加调查的人数共有人，在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为度； （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中 m 的值； （3）若要从该校喜欢“D”项目的学生中随机选择

8、 8 名进行节目排练，则喜欢该项目的小丽同学被选中 的概率是多少？ 21 （8 分）如图，在ABC 中，ABC90，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使A21，E 是 BC 上 的一点，以 BE 为直径的O 经过点 D （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若A60，O 的半径为 2，求阴影部分的面积 （结果保留根号和 ） 22 （9 分）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降今年三月份的电脑售价 比去年同期每台降价 1000 元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为 10 万元，今年销售额只有 8 万 元 （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ （2）为了增加收

9、入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为 3500 元，乙种电脑 每台进价为 3000 元，公司预计用不多于 5 万元且不少于 4.8 万元的资金购进这两种电脑共 15 台，有几 种进货方案？ （3）如果乙种电脑每台售价为 3800 元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还 顾客现金 a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？ 23 （9 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABC90，ABBCBD，BEAD，BFCD，垂足为 E， F，AC 交 BF，BE 分别于点 G，H （1）求EBF 的度数； （2）求证：ABGC

10、HB； （3）若 CG，求 tanHGB 的值 24 （10 分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量 x 的一个值，当 x0 时，它们对应的函数值互为相 反数；当 x0 时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数例如：一次函数 y x1，它们的相关函数为 y （1）已知点 A（5，8）在一次函数 yax3 的相关函数的图象上，求 a 的值； （2）已知二次函数 yx2+4x 当点 B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求 m 的值； 当3x3 时，求函数 yx2+4x的相关函数的最大值和最小值 25 （10 分）如图 1，抛物线 yax22axb（a0）与 x 轴的一个交

11、点为 B（1，0） ，与 y 轴的正半轴交 于点 C，顶点为 D （1）求顶点 D 的坐标（用含 a 的代数式表示） ； （2）若以 AD 为直径的圆经过点 C 求抛物线的解析式； 如图 2， 点 E 是 y 轴负半轴上的一点， 连接 BE， 将OBE 绕平面内某一点旋转 180， 得到PMN （点 P、M、N 分别和点 O、B、E 对应） ，并且点 M、N 都在抛物线上，作 MFx 轴于点 F，若线段 MF：BF 1：2，求点 M、N 的坐标； 如图 3，点 Q 在抛物线的对称轴上，以 Q 为圆心的圆过 A、B 两点，并且和直线 CD 相切，求点 Q 的 坐标 2021 年湖南省长沙市开福区

12、十校联考中考数学模拟试卷年湖南省长沙市开福区十校联考中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 12021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数 【解答】解：2021 的相反数是：2021 故选：A 2下列计算正确的是（ ） A （a+b）2a2+b2 B C （a2）3a6 Da4a40 【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的加减运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案 【解答】解：A、 （a+b）2a2+2ab+b2

13、，故此选项错误； B、2，故此选项错误； C、 （a2）3a6，正确； D、a4a41，故此选项错误 故选：C 3 2018 年我市财政计划安排社会保障和公共卫生等支出约 1800000000 元支持民生幸福工程， 数 1800000000 用科学记数法表示为（ ） A18108 B1.8108 C1.8109 D0.181010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数对于较大数 n 为原整数 位减 1 【解答】解：18000000001.8109， 故选：C 4下列说法正确的是（ ） A “明天降雨的概率为 50%” ，意味着明天一定有半天都在降雨 B

14、了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式 C反复抛一枚均匀硬币，平均每 100 次出现正面朝上 50 次 D一组数据的方差越小，则这组数据的波动也越小 【分析】根据概率的意义、全面调查与抽样调查、方差以及概率公式分别对每一项进行分析，即可得出 答案 【解答】解：A、明天降雨的概率是 50%表示明天有可能降雨，不能说明明天一定有半天都在降雨，故 本选项错误； B、了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用抽样调查方式，故本选项错误； C、反复抛一枚均匀硬币，平均每 100 次出现正面朝上的次数不确定，故本选项错误； D、一组数据的方差越小，则这组数据的波动也越小，故本选项正

15、确； 故选：D 5若一个圆锥的母线长为 6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A1cm B2cm C3cm D6cm 【分析】由于圆锥的母线长为 6cm，侧面展开图是圆心角为 180扇形，设圆锥底面半径为 rcm，那么圆 锥底面圆周长为 2rcm，所以侧面展开图的弧长为 2rcm，然后利用扇形的面积公式即可得到关于 r 的 方程，解方程即可求解 【解答】解：设圆锥底面半径为 rcm， 那么圆锥底面圆周长为 2rcm， 所以侧面展开图的弧长为 2rcm， S圆锥侧面积2r6， 解得：r3， 故选：C 6如图，用直尺和圆规作图，以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OB

16、，OA 于点 E、D，再分别以 点 E、 D 为圆心， 大于ED 的长为半径画弧， 两弧交于点 C， 连接 OC， 则ODCOEC 的理由是 （ ） ASSS BSAS CAAS DHL 【分析】连接 EC，CD根据全等三角形的判定方法解决问题即可 【解答】解：连接 EC，CD 在ODC 和OEC 中， ， ODCOEC（SSS） 故选：A 7如图，AC 是电线杆 AB 的一根拉线，测得 BC 的长为 6 米，ACB50，则拉线 AC 的长为（ ） A B C6cos50 D 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 cos50，进而得出答案 【解答】解：ABC90，ACB60，BC6m， cos

17、50， AC 故选：B 8下列命题错误的是（ ） A对角线互相平分的四边形是平行四边形 B对角线相等的平行四边形是矩形 C一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D对角线互相垂直的矩形是正方形 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形是正确的，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，不符合题意； C、一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，原来的说法错误，符合题意； D、对角线互相垂直的矩形是正方形是正确的，不符合题意 故选：C 9如图所给的三视图表示的几何体是（ ） A长方体 B圆柱

18、 C圆锥 D圆台 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状 【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆 柱 故选：B 10 一副直角三角板如图放置， 其中CDFE90， A45， E60， 点 F 在 CB 的延长线上， 若 DECF，则BDF 等于（ ） A35 B25 C30 D15 【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出BDE45，进而得出答案 【解答】解：由题意可得：EDF30，ABC45， DECB， BDEABC45， BDF453015 故选：D 11在九章算术中有“盈不足术”的问题，原文

19、如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问 人数几何？大意为： 现有一些人共同买一个物品， 每人出 8 元， 还盈余 3 元； 每人出 7 元， 则还差 4 元 问 人数是多少？若设人数为 x，则下列关于 x 的方程符合题意的是（ ） A8x37x+4 B8（x3）7（x+4） C8x+47x3 Dx+4 【分析】根据“总钱数不变”可列方程 【解答】解：设人数为 x， 则可列方程为：8x37x+4 故选：A 12如图，是抛物线 y1ax2+bx+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A（1，3） ，与 x 轴的一个 交点 B（4，0） ，直线 y2mx+n（m0）与抛物线交于 A，

20、B 两点，下列结论：2a+b0；抛物线与 x 轴的另一个交点是（2，0） ；方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根；当 1x4 时，有 y2y1； 若 ax12+bx1ax22+bx2，且 x1x2；则 x1+x21则命题正确的个数为（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【分析】根据对称轴可以判断；根据已知交点坐标和对称轴可以判断；根据图象性质向下平移 3 个单位即可判断；根据图象性质即可判断；根据图象对称性即可判断 【解答】解：对称轴为 x1， 则：2a+b0 正确； 对称轴是 x1，与 x 轴的一个交点是 B（4，0） ，则与 x 轴的另一个交点是（2，0） ， 故正确；

21、将抛物线向下平移 3 个单位，得到 yax2+bx+c3， 顶点坐标变为（1，0） ， 此时抛物线与 x 轴只有一个交点， 方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根正确； 当 1x4 时，有图象可知 y2y1正确； 若 ax12+bx1ax22+bx2， 则 ax12+bx1+cax22+bx2+c， 即 y1y2， x1、x2关于函数的对称轴对称， 由知函数对称轴为 x1， 故（x1+x2）1， 不正确， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13将多项式 2x26xy 因式分解为 2x（x3y） 【分析】直接找出公因式，进而提取公因式分解因式

22、得出答案 【解答】解：原式2x（x3y） 故答案为：2x（x3y） 14在函数中，自变量 x 的取值范围是 x3 且 x4 【分析】根据二次根式的意义可知：x30，根据分式的意义可知：x40，就可以求出 x 的范围 【解答】解：根据题意得：x30 且 x40， 解得：x3 且 x4 15如图，ABC 内接于O，AD 是O 的直径，ABC25，则CAD 65 【分析】由 AD 是O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得ACD90，又由在同圆或 等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得D 的度数，继而求得答案 【解答】解：AD 是O 的直径， ACD90， DABC25， CAD90D

23、902565 故答案为：65 16如图，将半径为 2 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为 2 【分析】作 ODAB 于 D，连接 OA，先根据勾股定理得 AD 的长，再根据垂径定理得 AB 的长 【解答】解：作 ODAB 于 D，连接 OA ODAB，OA2， ODOA1， 在 RtOAD 中 AD， AB2AD2 故答案为：2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，第个小题，第 17.18.19 题每小题题每小题 6 分；第分；第 20.21 题每小题题每小题 6 分；第分；第 22.23 题每小题题每小题 6 分；第分；第 24.25 题每小题题每

24、小题 6 分，共分，共 72 分）分） 17 （6 分）计算： 【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、乘方、绝对值 4 个知识点在计算时，需要针对每个知识 点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解： 1+1+12 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 a3，b1 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 a、b 的值代入化简后的式子即可解答本 题 【解答】解： ， 当 a3，b1 时，原式 19 （6 分）如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆 AB 的高度，在操场的平地上选择一点 C，测得旗杆 顶端 A 的仰角为 30，再向旗杆的方向前进 16 米，

25、到达点 D 处（C、D、B 三点在同一直线上） ，又测 得旗杆顶端 A 的仰角为 45，请计算旗杆 AB 的高度（结果保留根号） 【分析】根据题意可以得到 BD 的长度，从而可以求得 AB 的高度 【解答】解：由题意可得， CD16 米， ABCBtan30，ABBDtan45， CBtan30BDtan45， （CD+DB）BD1， 解得 BD8， ABBDtan45（）米， 即旗杆 AB 的高度是（）米 20 （8 分）为了认真贯彻教育部关于与开展“阳光体育”活动的文件精神，实施全国亿万学生每天集体锻 炼一小时活动，吸引同学们走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，掀起校园内体

26、育 锻炼热潮，我市各学校结合实际情况举办了“阳光体育”系列活动，为了解“阳光体育”活动的落实情 况，我市教育部门在红旗中学 2000 名学生中，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能 填写一种自己喜欢的活动） ，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图根据以上信息，解答下列问 题： （1）参加调查的人数共有人，在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为度； （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中 m 的值； （3）若要从该校喜欢“D”项目的学生中随机选择 8 名进行节目排练，则喜欢该项目的小丽同学被选中 的概率是多少？ 【分析】 （1）用喜欢 B 选项的人数除以它所占的百分比得到

27、调查的总人数，然后用 360乘以样本中喜 欢 C 选项的人数所占的百分比得到“C”的扇形的圆心角的度数； （2）利用喜欢 C 选项的人数补全条形统计图，然后计算喜欢 A 选项的人数所占的百分比得到 m 的值； （3）先计算全校喜欢 D 选项的人数，然后用 8 去除以这个人数得到小丽同学被选中的概率 【解答】解： （1）参加调查的人数为 6923%300（人） ， 喜欢“C”选项的人数为：3006069364590（人） ， 表示“C”的扇形的圆心角为360108， （2）补全条形图如下： m%100%20%， m20； （3）全校喜欢 D 选项的人数为 2000240（人） ， 则喜欢该项目的

28、小丽同学被选中的概率是， 答：喜欢该项目的小丽同学被选中的概率是 21 （8 分）如图，在ABC 中，ABC90，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使A21，E 是 BC 上 的一点，以 BE 为直径的O 经过点 D （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若A60，O 的半径为 2，求阴影部分的面积 （结果保留根号和 ） 【分析】 （1）由 ODOB 得1ODB，则根据三角形外角性质得DOC1+ODB21，而 A21，所以DOCA，由于A+C90，所以DOC+C90，则可根据切线的判定定理 得到 AC 是O 的切线； （2） 由A60得到C30， DOC60， 根据含 30 度的直角三角

29、形三边的关系得 CDOD 2，然后利用阴影部分的面积SCODS扇形DOE 和扇形的面积公式求解 【解答】 （1）证明：连接 OD， ODOB， 1ODB， DOC1+ODB21， 而A21， DOCA， A+C90， DOC+C90， ODDC， AC 是O 的切线； （2）解：A60， C30，DOC60， 在 RtDOC 中，OD2， CDOD2， 阴影部分的面积SCODS扇形DOE 22 2 22 （9 分）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降今年三月份的电脑售价 比去年同期每台降价 1000 元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为 10 万元，今年销售额只有

30、8 万 元 （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ （2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为 3500 元，乙种电脑 每台进价为 3000 元，公司预计用不多于 5 万元且不少于 4.8 万元的资金购进这两种电脑共 15 台，有几 种进货方案？ （3）如果乙种电脑每台售价为 3800 元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还 顾客现金 a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？ 【分析】 （1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系等量关系为：今年的销售数量去年的销 售数量 （2）关系式为：4.8甲种

31、电脑总价+乙种电脑总价5 （3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数 x 的系数为 0 即可；对公司更有利，因为甲种 电脑每台进价为 3500 元，乙种电脑每台进价为 3000 元，所以要多进乙 【解答】解： （1）设今年三月份甲种电脑每台售价 m 元则： 解得：m4000 经检验，m4000 是原方程的根且符合题意 所以甲种电脑今年每台售价 4000 元； （2）设购进甲种电脑 x 台则： 480003500 x+3000（15x）50000 解得：6x10 因为 x 的正整数解为 6，7，8，9，10，所以共有 5 种进货方案； （3）设总获利为 W 元则： W（40003500

32、）x+（38003000a） （15x）（a300）x+1200015a 当 a300 时， （2）中所有方案获利相同 此时，购买甲种电脑 6 台，乙种电脑 9 台时对公司更有利 23 （9 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABC90，ABBCBD，BEAD，BFCD，垂足为 E， F，AC 交 BF，BE 分别于点 G，H （1）求EBF 的度数； （2）求证：ABGCHB； （3）若 CG，求 tanHGB 的值 【分析】 （1）根据等腰三角形的三线合一得到EBDABD，DBFDBC，结合图形计算， 得到答案； （2）根据三角形的外角性质得到AGBCBH，利用相似三角形的判定定理证明结论

33、； （3）作 BKAC 于 K，根据勾股定理求出 AC，根据等腰直角三角形的性质求出 BK、CK，求出 KG，根 据正切的定义计算即可 【解答】 （1）解：ABBDBC，BEAD，BFCD， EBDABD，DBFDBC， ABC90， EBFEBD+DBF（ABD+DBC）ABC45； （2）证明：ABBC，ABC90， BAGBCH45， AGBCBG+BCGCBG+45，CBHCBG+BEFCBG+45， AGBCBH， ABGCHB； （3）解：作 BKAC 于 K， ABBC，ABC90， AC2， BKAC， AKCK1， BKAC1， CG， KG， tanHGB2 24 （10

34、分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量 x 的一个值，当 x0 时，它们对应的函数值互为相 反数；当 x0 时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数例如：一次函数 y x1，它们的相关函数为 y （1）已知点 A（5，8）在一次函数 yax3 的相关函数的图象上，求 a 的值； （2）已知二次函数 yx2+4x 当点 B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求 m 的值； 当3x3 时，求函数 yx2+4x的相关函数的最大值和最小值 【分析】 （1）写出 yax3 的相关函数，代入计算； （2）写出二次函数 yx2+4x的相关函数，代入计算； 根据二次根式的最大值和最小值

35、的求法解答 【解答】解： （1）yax3 的相关函数 y， 将 A（5，8）代入 yax+3 得：5a+38， 解得 a1； （2）二次函数 yx2+4x的相关函数为 y， 当 m0 时，将 B（m，）代入 yx24x+ 得 m24m+， 解得：m2+（舍去） ，或 m2， 当 m0 时，将 B（m，）代入 yx2+4x得： m2+4m， 解得：m2+或 m2 综上所述：m2或 m2+或 m2； 当3x0 时，yx24x+，抛物线的对称轴为 x2， 此时 y 随 x 的增大而减小， 此时 y 的最大值为， 当 0 x3 时，函数 yx2+4x，抛物线的对称轴为 x2， 当 x0 有最小值，最小

36、值为，当 x2 时，有最大值，最大值 y， 综上所述，当3x3 时，函数 yx2+4x的相关函数的最大值为，最小值为 25 （10 分）如图 1，抛物线 yax22axb（a0）与 x 轴的一个交点为 B（1，0） ，与 y 轴的正半轴交 于点 C，顶点为 D （1）求顶点 D 的坐标（用含 a 的代数式表示） ； （2）若以 AD 为直径的圆经过点 C 求抛物线的解析式； 如图 2， 点 E 是 y 轴负半轴上的一点， 连接 BE， 将OBE 绕平面内某一点旋转 180， 得到PMN （点 P、M、N 分别和点 O、B、E 对应） ，并且点 M、N 都在抛物线上，作 MFx 轴于点 F，若线

37、段 MF：BF 1：2，求点 M、N 的坐标； 如图 3，点 Q 在抛物线的对称轴上，以 Q 为圆心的圆过 A、B 两点，并且和直线 CD 相切，求点 Q 的 坐标 【分析】 （1）将 B 点坐标代入抛物线的解析式中，可得到 a、b 的关系式，将 a 替换 b 后，将抛物线的 解析式化为顶点坐标式，即可得到顶点 D 的坐标 （2）根据（1）题所得抛物线解析式，可用得到 C、A 的坐标，若以 AD 为直径的圆经过点 C，由圆周 角定理可知ACD90，分别用 a 表示出 AC、AD、CD 的长，根据勾股定理可得到关于 a 的方程，即 可求出 a 的值，进而确定该抛物线的解析式 根据题抛物线的解析式

38、，可求得点 B 的坐标，先设出点 M 的坐标，可用其横坐标表示出 BF 的长， 已知 BF2MF，即可得到 M 点纵坐标的表达式，将其代入抛物线的解析式中，即可得到点 M 的坐标； 根据中心对称图形的性质知 MPBO，由此可求得点 P（即点 N）的横坐标，将其代入抛物线的解析式 中，即可得到点 N 的坐标 若Q 与直线 CD 相切（设切点为 K） ，那么 QKQBQA，可设出点 Q 的坐标（横坐标已知，只设 纵坐标即可） ，可表示出 QB、QK、DQ 的长；设直线 DC 与 x 轴的交点为 G，易求得直线 DC 的解析式， 进而可得到点 G 的坐标，由此可求得 HG、DG 的长（H 为抛物线对

39、称轴与 x 轴交点） ，由于直线 CD 切 Q 于点 K，易证得DQKDGH，根据抛物线所得比例线段，即可得到关于点 Q 纵坐标的方程，通 过解方程可确定点 Q 的坐标 【解答】解： （1）把 B（1，0）代入得：b3a， （1 分） yax22ax3aa（x1）24a， 所以顶点 D（1，4a） （2 分） （2）有题设知：点 C（0，3a） ，点 A（3，0） ， 且ACD90； 在 RtAOC 中，AC29a2+32， 在 RtAHD 中，AD216a2+22， 在 RtCMD 中，CD2a2+12， 因为 AD2AC2+CD2， 所以 16a2+22a2+12+9a2+32，a21，又

40、 a0， 所以 a1， （4 分） 抛物线的解析式为 yx2+2x+3 设点 M（m，y1） 则 BFm+1， 点 MF：BF1：2， MF，即 y1（5 分） 点 M（m，y1）在抛物线上， 所以m2+2m+3， 解得：m或 m1（舍去） ， 点 M 的坐标为 M（，） ； （6 分） 又因为 MPBO，MPBO， 所以点的坐标为 P（，） ， 由得点 N 的坐标为 N（，） （7 分） 设点 Q（1，y） 因为 D（1，4） ，C（0，3） 直线 CD 的方程为 yx+3， （8 分） 令 y0，得 G（3，0） ， 设直线 CD 与O 的切点为 K，连接 QK； 则DQKDGH， （9 分） 又 QKQB，DQ4y， 所以， 整理得：y2+8y80， 解得 y42； 所以点 Q 的坐标为（1，4+2）或（1，42） （10 分） 说明：由QDK45，直接得出 QDQK，从而得 4y再求解，同样给分