2021年陕西省西安市中考数学仿真模拟试卷（一）含答案解析

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1、2021 年陕西省西安市中考数学仿真模拟试卷（一）年陕西省西安市中考数学仿真模拟试卷（一） 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列实数中，是无理数的为（ ） A3.14 B C D 2一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（ ） A三棱柱 B三棱锥 C四棱柱 D四棱锥 3下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 B （a2）3a6 Ca6a2a4 Da5+a5a10 4如图，直线 ABCD，150，2110，则E 的大小是（ ） A40 B50 C60 D30 5若点（m，n）在函数 y2x+1 的图象上，则

2、代数式 4m2n+1 的值是（ ） A1 B1 C2 D2 6 如图所示， 在灌溉农田时， 要把河 （直线 l 表示一条河） 中的水引到农田 P 处， 设计了四条路线 PA， PB， PC，PD（其中 PBl） ，你选择哪条路线挖渠才能使渠道最短（ ） APA BPB CPC DPD 7若直线 l1经过点 A（0，6） ，直线 l2经过点（3，2） ，且 l1与 l2关于 y 轴对称，则 l1、l2与 x 轴交点之 间的距离为（ ） A1 B C3 D 8如图，点 I 为ABC 角平分线交点，AB8，AC6，BC4，将ACB 平移使其顶点 C 与 I 重合，则图 中阴影部分的周长为（ ） A9

3、 B8 C6 D4 9两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形 ABCD，其中ADHBAE，ADHCBF， ABECDG若 EF：FG1：2，AB：BC2：3，则矩形 EFGH 与矩形 ABCD 的面积之比为（ ） A B C D 10如图，是抛物线 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线 x2，与 x 轴的一个 交点是（1，0） ，有下列结论： abc0； 4a2b+c0； 4a+b0； 抛物线与 x 轴的另一个交点是（5，0） ； 点（3，y1） ， （6，y2）都在抛物线上，则有 y1y2 其中正确的是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填

4、空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 11分解因式：xy29x 12如图，在菱形 ABCD 中，ACBC2，分别以 B、D 为圆心，以 BA 为半径画弧，则图中阴影部分的面 积是 13已知ABC 的三个顶点为 A（1，1） ，B（1，3） ，C（3，3） ，将ABC 向右平移 m（m0） 个单位后，ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则 m 的值为 14如图，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又不重叠的四边形 EFGH，若 EH4， EF5，那么线段 AD 与 AB 的比等于 三、解答题（本大题

5、共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分）分） 15 （5 分）计算：2 1+（1）2018+| |（3.14）0 16 （5 分）解方程：+1 17 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，ACBC，利用尺规作图法在边 AB 上求作一点 D，使 CD 分ABC 为两个等腰三角形 （保留作图痕迹，不写作法） 18 （5 分）如图，在ABC 中，ABBC，ABC90，点 F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，BE BF，连接 AE，EF 和 CF （1）求证：ABECBF； （2）若CAE30，求EFC 的度数 19 （6 分）某区为响应市政府号召，在所有中学开

6、展“创文创卫”活动在活动中设置了“A文明礼仪； B环境保护；C卫生保洁； D垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与为了解活动开展的 情况，在全区随机抽取部分中学生进行调查，并根据调查结果绘制成了条形统计图和扇形统计图 （1）此次调查的学生人数是 人，条形统计图中 m ，n ； （2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； （3）扇形统计图中“选项 D垃圾分类”对应扇形的圆心角的大小为 度； （4）依据本次调查的结果，估计全区 12000 名中学生选“A文明礼仪”约有多少人？ 20 （8 分）在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，他们分别在 A，B 两处用

7、高度为 1.5m 的测角仪（AE 和 BD）测得大树顶部 C 的仰角分别为 30，45，两人间的水平距 离（AB）为 20m，已知点 A，E，F，C，B，D 在同一竖直平面内，且 FCAB，求大树的高度 CF （结 果保留根号） 21 （8 分）某公司需印制若干份资料印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式 还需收取制版费，而乙种不需要两种印刷方式的费用 y（元）与印刷份数 x（份）之间的函数关系如图 所示 （1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式； （2）该公司需印制 300 份资料，选择哪种印刷方式较合算？ 22 （9 分）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或者右拐

8、，假设这三种可能性相同，现有甲、 乙两人经过该路口，求下列事件的概率： （1）甲经过路口时左拐的概率； （2）利用树状图或列表法求至少有一人直行的概率 23 （9 分）如图，AB 是O 直径，点 C 在O 上，AD 平分CAB，BD 是O 的切线，AD 与 BC 相交于 点 E，与O 相交于点 F，连接 BF （1）求证：BDBE； （2）若 DE2，BD2，求 AE 的长 24 （9 分）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求 b，c 的值： （2）如图 1，点 P 是第一象限抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的

9、垂线 1，交 BC 于点 H当PHC 为等 腰三角形时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，抛物线顶点为 E已知直线 ykxk+3 与二次函数图象相交于 M、N 两点，求证：无论 k 为何值，EMN 恒为直角三角形 25 （9 分）发现问题： （1）如图 1，AB 为O 的直径，请在O 上求作一点 P，使ABP45 （不必写作法） 问题探究： （2）如图 2，等腰直角三角形ABC 中，A90，ABAC3，D 是 AB 上一点，AD2，在 BC 边上是否存在点 P，使APD45？若存在，求出 BP 的长度，若不存在，请说明理由 问题解决： （3）如图 3，为矩形足球场的示意图，其中宽 AB66

10、米、球门 EF8 米，且 EBFA点 P、Q 分别为 BC、AD 上的点，BP7 米，BPQ135，一位左前锋球员从点 P 处带球，沿 PQ 方向跑动，球员在 PQ 上的何处才能使射门角度（EMF）最大？求出此时 PM 的长度 2021 年陕西省西安市中考数学仿真模拟试卷（一）年陕西省西安市中考数学仿真模拟试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列实数中，是无理数的为（ ） A3.14 B C D 【分析】根据有理数和无理数的定义判断即可 【解答】解：A 选项，有限小数

11、是有理数，故该选项不符合题意； B 选项，分数属于有理数，故该选项不符合题意； C 选项，3，属于有理数，故该选项不符合题意； D 选项，是开方开不尽的数，属于无理数，故该选项符合题意 故选：D 2一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（ ） A三棱柱 B三棱锥 C四棱柱 D四棱锥 【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案 【解答】解：如图所示：这个几何体是四棱锥 故选：D 3下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 B （a2）3a6 Ca6a2a4 Da5+a5a10 【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方的运算性质计算后利用排除法求解 【解答】解：A、a2a3a5，错误； B、 （a2）

12、3a6，正确； C、不是同类项，不能合并，错误； D、a5+a52a5，错误； 故选：B 4如图，直线 ABCD，150，2110，则E 的大小是（ ） A40 B50 C60 D30 【分析】先根据平行线的性质求出3 的度数，再根据三角形的外角性质求出即可 【解答】解：ABCD，150， 3150， 2110， E231105060， 故选：C 5若点（m，n）在函数 y2x+1 的图象上，则代数式 4m2n+1 的值是（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】先把点（m，n）代入函数 y2x+1 求出 2mn 的值，再代入所求代数式进行计算即可 【解答】解：点（m，n）在函数 y2x+1 的

13、图象上， 2m+1n，即 2mn1， 4m2n+12（2mn）+12（1）+11 故选：B 6 如图所示， 在灌溉农田时， 要把河 （直线 l 表示一条河） 中的水引到农田 P 处， 设计了四条路线 PA， PB， PC，PD（其中 PBl） ，你选择哪条路线挖渠才能使渠道最短（ ） APA BPB CPC DPD 【分析】根据“垂线段最短”解答即可 【解答】解：在 PA，PB，PC，PD 四条路线中只有 PBl， PB 最短 故选：B 7若直线 l1经过点 A（0，6） ，直线 l2经过点（3，2） ，且 l1与 l2关于 y 轴对称，则 l1、l2与 x 轴交点之 间的距离为（ ） A1

14、B C3 D 【分析】由对称性可知 l2经过点（3，2） 、 （0，6） ，由待定系数法求出 l2解析式为 yx6，则可求 l2与 x 轴的交点为（，0） ，再由 l1与 l2与 x 轴的交点关于 y 轴对称，则可求 l1与 x 轴的交点为（， 0） ，即可求解 【解答】解：l1与 l2关于 y 轴对称， l2经过点（3，2） 、 （0，6） ， 设 l2解析式为 ykx+b， 则有， 解得， yx6， l2与 x 轴的交点为（，0） ， l1与 l2关于 y 轴对称， l1与 x 轴的交点为（，0） ， l1、l2与 x 轴交点之间的距离为， 故选：D 8如图，点 I 为ABC 角平分线交点

15、，AB8，AC6，BC4，将ACB 平移使其顶点 C 与 I 重合，则图 中阴影部分的周长为（ ） A9 B8 C6 D4 【分析】连接 AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以 AI 是CAB 的平分线，由平行的性 质和等角对等边可得：ADDI，同理 BEEI，所以图中阴影部分的周长就是边 AB 的长 【解答】解：连接 AI、BI， 点 I 为ABC 的内心， AI 平分CAB， CAIBAI， 由平移得：ACDI， CAIAID， BAIAID， ADDI， 同理可得：BEEI， DIE 的周长DE+DI+EIDE+AD+BEAB8， 即图中阴影部分的周长为 8， 故选：B 9两

16、对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形 ABCD，其中ADHBAE，ADHCBF， ABECDG若 EF：FG1：2，AB：BC2：3，则矩形 EFGH 与矩形 ABCD 的面积之比为（ ） A B C D 【分析】由题意可以假设 EFGHa，EHFG2a，DHBFx，AECGy利用相似三角形的性 质构建方程组，求出 x，y（用 a 表示） ，再利用勾股定理求出 AD，CD（用 a 表示）即可解决问题 【解答】解：由题意可以假设 EFGHa，EHFG2a，DHBFx，AECGy AHy+2a，BEx+a， ADHBAE， ， ， 解得 xa，ya， AHD90， ADa，CDADa， 矩

17、形 EFGH 与矩形 ABCD 的面积之比2a2：a， 故选：D 10如图，是抛物线 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线 x2，与 x 轴的一个 交点是（1，0） ，有下列结论： abc0； 4a2b+c0； 4a+b0； 抛物线与 x 轴的另一个交点是（5，0） ； 点（3，y1） ， （6，y2）都在抛物线上，则有 y1y2 其中正确的是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题 【解答】解：抛物线开口向上， a0，b0；由图象知 c0， abc0，故正确； 由抛物线的图象知：当 x2 时，y

18、0， 即 4a2b+c0，故错误； 抛物线的对称轴为直线 x2， 2，b4a， 4a+b0，故正确； 抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴有两个交点，对称轴是直线 x2，与 x 轴的一个交点是（1，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点是（5，0） ；故正确； 对称轴方程为 x2， （3，y1）可得（7，y1） （6，y2）在抛物线上， 由抛物线的对称性及单调性知：y1y2，故错误； 综上所述正确 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 11分解因式：xy29x x（y+3） （y3） 【分析】应先提取公因式 x

19、，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：xy29xx（y29）x（y3） （y+3） 故答案为：x（y3） （y+3） 12如图，在菱形 ABCD 中，ACBC2，分别以 B、D 为圆心，以 BA 为半径画弧，则图中阴影部分的面 积是 4 【分析】作 AEBC 于 E，根据等边三角形的性质求出ABC 的度数和 AE 的长，根据菱形面积公式、 扇形面积公式计算，得到答案 【解答】解：作 AEBC 于 E， 四边形 ABCD 是菱形， ABCB， ACBC， ABBCAC，即ABC 为等边三角形， ABC60， AEABsinABC， 则图中阴影部分的面积菱形 ABCD 的面积2（扇

20、形 ABC 的面积ABC 的面积） 22（2） 4， 故答案为：4 13已知ABC 的三个顶点为 A（1，1） ，B（1，3） ，C（3，3） ，将ABC 向右平移 m（m0） 个单位后，ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则 m 的值为 13 【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得 AB 边的中点（1，1） ，BC 边的中点（ 2， 0） ， AC 边的中点 （2， 2） ， AB 边的中点在反比例函数的图象上， 进而算出 m 的值 【解答】解：ABC 的三个顶点为 A（1，1） ，B（1，3） ，C（3，3） ， AB 边的中点（1，1） ，BC 边的中点（2，

21、0） ，AC 边的中点（2，2） ， 将ABC 向右平移 m（m0）个单位后， AB 边的中点平移后的坐标为（1+m，1） ， ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上， 1+m12， m13， 故答案为 13 14如图，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又不重叠的四边形 EFGH，若 EH4， EF5，那么线段 AD 与 AB 的比等于 【分析】先根据图形翻折的性质可得到四边形 EFGH 是矩形，由“AAS”可证 RtAHERtCFG，可 得 AHCFFN，再由勾股定理及直角三角形的面积公式求出 AD，AB 的长，即可求解 【解答】解：如图： 由折叠的性质可得：1

22、2，34，AEEMBE，DHHN，CFFN， 2+390， HEF90， 同理四边形 EFGH 的其它内角都是 90， 四边形 EFGH 是矩形 EHFG； 又1+490，4+590， 15， 同理578， 18， RtAHERtCFG（AAS） ， AHCFFN， 又HDHN， ADHF， 在 RtHEF 中，EH4，EF5，根据勾股定理得 HFAD， SEFHEFEHHFEM， EM， AB2AE2EM， AD：AB41：40， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分）分） 15 （5 分）计算：2 1+（1）2018+| |（3.14）0

23、 【分析】先计算负整数指数幂、乘方、取绝对值和零指数幂，再计算加减可得 【解答】解：原式+1+1 16 （5 分）解方程：+1 【分析】根据等式的性质，可转化成整式方程，根据解整式方程，可得答案 【解答】解：方程两边都乘以 2x3） ，得 132x3 解得 x， 检验：x时，2x30， x是原分式方程的解 17 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，ACBC，利用尺规作图法在边 AB 上求作一点 D，使 CD 分ABC 为两个等腰三角形 （保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，连接 CD，根据直角三角形斜边上的中线性质得到 DBDC DA 【解答】解：

24、如图，点 D 为所作 18 （5 分）如图，在ABC 中，ABBC，ABC90，点 F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，BE BF，连接 AE，EF 和 CF （1）求证：ABECBF； （2）若CAE30，求EFC 的度数 【分析】 （1）根据已知利用 SAS 判定ABECBF； （2） 根据题意可知ABC 和EBF 都是等腰直角三角形， 求出AEB75 由 （1） 知ABECBF， 可得CFBAEB75，利用角之间的关系即可解答 【解答】解： （1）ABC90，F 为 AB 延长线上一点， ABCCBF90 在ABE 和CBF 中， ， ABECBF （2）在ABC 中，AB

25、BC，ABC90，点 F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，BEBF， ABC 和EBF 都是等腰直角三角形， ACBEFB45 CAE30， AEBCAE+ACB30+4575 由（1）知ABECBF， CFBAEB75 EFCCFBEFB754530 19 （6 分）某区为响应市政府号召，在所有中学开展“创文创卫”活动在活动中设置了“A文明礼仪； B环境保护；C卫生保洁； D垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与为了解活动开展的 情况，在全区随机抽取部分中学生进行调查，并根据调查结果绘制成了条形统计图和扇形统计图 （1）此次调查的学生人数是 500 人，条形统计图中 m 2

26、25 ，n 25 ； （2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； （3）扇形统计图中“选项 D垃圾分类”对应扇形的圆心角的大小为 18 度； （4）依据本次调查的结果，估计全区 12000 名中学生选“A文明礼仪”约有多少人？ 【分析】 （1）从两个统计图可得， “B环境保护”的频数 150 人，占调查人数的 30%，即可求出调查人 数，进而根据频数、频率、总数之间的关系求出 m、n 的值； （2）求出“C卫生保洁”的频数即可补全条形统计图； （3） “D垃圾分类”占整体的 5%，因此相应的圆心角的度数占 360的 5%； （4）求 12000 人的 45%即可 【解答】解： （1）1

27、5030%500（人） ， m50045%225（人） ， n5005%25（人） ， 故答案为：500，225，25； （2）50020%100（人） ，补全条形统计图如图所示： （3）3605%18， 故答案为：18； （4）1200045%5400（人） ， 答：全区 12000 名中学生选“A文明礼仪”约有 5400 人 20 （8 分）在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，他们分别在 A，B 两处用高度为 1.5m 的测角仪（AE 和 BD）测得大树顶部 C 的仰角分别为 30，45，两人间的水平距 离（AB）为 20m，已知点 A，E，F，C，B，D

28、在同一竖直平面内，且 FCAB，求大树的高度 CF （结 果保留根号） 【分析】在 RtCDG 和 RtCEG 中，求出公共边 CG 的长度，然后可求得 CFCG+GF 【解答】解：AB20m， DEDG+EG20m， 在 RtCEG 中， CEG45， EGCG， 在 RtCDG 中， CDG30，DCG60， DGCGtan60， 则 DECGtan60+CG20m 即 DECG+CG20 CG1010 由题意知：GF1.5m CFCG+GF1010+1.5（18.5） （米） ， 答：大树的高度为（18.5）米 21 （8 分）某公司需印制若干份资料印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收

29、取印刷费外，甲种方式 还需收取制版费，而乙种不需要两种印刷方式的费用 y（元）与印刷份数 x（份）之间的函数关系如图 所示 （1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式； （2）该公司需印制 300 份资料，选择哪种印刷方式较合算？ 【分析】 （1）设出两种收费的函数表达式，代入图象上的点求得答案即可； （2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当 y甲y乙时，当 y甲y乙时，当 y甲y乙时分别求出 x 的 取值范围就可以得出选择方式 【解答】解： （1）设甲种收费的函数表达式 y甲kx+b，乙种收费的函数表达式是 y乙k1x， 把（0，6） ， （100，16）代入 y甲kx+b， 得， 解得，

30、y甲0.1x+6（x0 的整数） ， 把（100，12）代入 y乙k1x， 解得：k10.12， y乙0.12x（x0 的整数） ； 故答案为：y甲0.1x+6（x0 的整数） ，y乙0.12x（x0 的整数） （2）由题意，得： 当 y甲y甲时，0.1x+60.12x，得 x300； 当 y甲y乙时，0.1x+60.12x，得 x300； 当 y甲y乙时，0.1x+60.12x，得 x300； 当 x300 时，选择两种印刷方式费用一样 22 （9 分）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或者右拐，假设这三种可能性相同，现有甲、 乙两人经过该路口，求下列事件的概率： （1）甲经过路口时

31、左拐的概率； （2）利用树状图或列表法求至少有一人直行的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出至少有一人直行的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）甲经过路口时左拐的概率为； （2）画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中至少有一人直行的有 5 种结果， 所以至少有一人直行的概率为 23 （9 分）如图，AB 是O 直径，点 C 在O 上，AD 平分CAB，BD 是O 的切线，AD 与 BC 相交于 点 E，与O 相交于点 F，连接 BF （1）求证：BDBE； （2）若 DE2，BD2，求 AE 的长 【分析】

32、（1）利用圆周角定理得到ACB90，再根据切线的性质得ABD90，则BAD+D 90，然后利用等量代换证明BEDD，从而判断 BDBE； （2）利用圆周角定理得到AFB90，则根据等腰三角形的性质 DFEFDE1，再证明DFB DBA，利用相似比求出 AD 的长，然后计算 ADDE 即可 【解答】 （1）证明：AB 是O 的直径， ACB90， CAE+CEA90 而BEDCEA， CAE+BED90， BD 是O 的切线， BDAB， ABD90 BAD+D90， 又AF 平分CAB， CAEBAD， BEDD， BDBE； （2）解：AB 为直径， AFB90，且 BEBD， DFEFDE

33、1， FDBBDA， DFBDBA， ， DA2220， AEADDE20218 24 （9 分）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求 b，c 的值： （2）如图 1，点 P 是第一象限抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线 1，交 BC 于点 H当PHC 为等 腰三角形时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，抛物线顶点为 E已知直线 ykxk+3 与二次函数图象相交于 M、N 两点，求证：无论 k 为何值，EMN 恒为直角三角形 【分析】 （1）将 A（1，0） ，B（3，0）代入 yx2+bx+c，可求出答

34、案； （2）求出直线 BC 的解析式为 yx+3，设点 P（x，x2+2x+3） ，则点 H（x，x+3） ，分 PCCH 或 PCPH 或 CHPH 三种情况，构造关于 x 的方程即可得解； （3）利用两点距离公式分别求出 MN2（x1x2）2+（y1y2）2，ME2（x11）2+（y14）2，NE2 （x21）2+（y24）2，由勾股定理的逆定理可得MEN90，即可求解 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） ， ， 解得：， b2，c3； （2）抛物线的函数表达式为：yx2+2x+3， C（0，3） ， 设直线 BC 的解析式为 yk

35、x+3， 将点 B（3，0）代入 ykx+3， 解得：k1， 直线 BC 的解析式为 yx+3， 设点 P（x，x2+2x+3） ，则点 H（x，x+3） ， 如图 1，过点 C 作 CMPH 于点 M， 则 CMx，PHx2+3x， 当 CPCH 时，PMMH，MCHMCP， OBOC， OBC45， CMOB， MCHOBC45， PCH90， MCPH（x2+3x） ， 即 x（x2+3x） ， 解得：x10（舍去） ，x21， P（1，4） ； 如图 2，当 PCPH 时， PHOC， PHCOCB45， CPH90， 点 P 的纵坐标为 3， x2+2x+33， 解得：x2 或 x0

36、（舍去） ， P（2，3） ； 当 CHPH 时，如图 3， B（3，0） ，C（0，3） ， BC3 HFOC， ， ， 解得：x3， P（3，42） 综合以上可得，点 P 的坐标为（1，4）或（2，3）或（3，42） （3）函数表达式为：yx2+2x+3（x1）2+4， 点 E（1，4） ； 设点 M、N 的坐标为（x1，y1） ， （x2，y2） ， MN2（x1x2）2+（y1y2）2，ME2（x11）2+（y14）2，NE2（x21）2+（y24）2， ME2+NE2（x11） 2+（y14）2+（x21）2+（y24）2x12+x222（x1+x2）+2+y12+y228（y1+y

37、2） +32 x12+x222x1x2+24+y12+y222y1y2+1848+32 （x1x2）2+（y1y2）2， MN2ME2+NE2， MEN90， 故 EMEN， 即：EMN 恒为直角三角形 25 （9 分）发现问题： （1）如图 1，AB 为O 的直径，请在O 上求作一点 P，使ABP45 （不必写作法） 问题探究： （2）如图 2，等腰直角三角形ABC 中，A90，ABAC3，D 是 AB 上一点，AD2，在 BC 边上是否存在点 P，使APD45？若存在，求出 BP 的长度，若不存在，请说明理由 问题解决： （3）如图 3，为矩形足球场的示意图，其中宽 AB66 米、球门 E

38、F8 米，且 EBFA点 P、Q 分别为 BC、AD 上的点，BP7 米，BPQ135，一位左前锋球员从点 P 处带球，沿 PQ 方向跑动，球员在 PQ 上的何处才能使射门角度（EMF）最大？求出此时 PM 的长度 【分析】 （1）如图 1 所示作直径 AB 的垂直平分线，交O 于点 P 和点 P，则点 P 和点 P即为所求； （2）如图 2 和图 2所示：证明BPDCAP，根据相似三角形的性质得出比例式，设 BPx，则 PC 6x，解方程，方程的解即为 BP 的长度； （3）先过 E、F 作圆与 PQ 相切于点 M，此时FME 的角度最大，再根据已知角度和线段的长度， 求出圆的半径，从而得出

39、 PM的长 【解答】解： （1）如图所示：作 AB 的垂直平分线交O 于点 P、P，则点 P 或 P即为所求； （2）存在 如图 2 和图 2所示： 在ABC 中 BAC90，ABAC3，AD2 BC45，BD，BCAB6 BDP+BPD135 APD45 APC+BPD135 BDPAPC BPDCAP 设 BPx，则 PC6x 解得 x13+，x23 BP3+或 BP3； （3）如图 3，过点 E、F 作圆，与 PQ 相切于点 M，圆心为点 O，连接 FM，EM，此时FME 的度数最大 理由：在O 上取一点 G，连接 FG 并延长交 PQ 于点 M，连接 AG，AM， FGEFME，FGEFME， FMEFME， FME 的度数最大 作线段 EF 的中垂线 l，l 经过圆心 O，且交 EF 于点 N，交 PQ 于点 K，过点 K 作 KHBC 于 H 设O 的半径为 r， 则 OEOMr， BPQ135， KPH45， PHK 是等腰直角三角形， PHKH AB66，EF8， BN33，EN4， PHKH33， BH33+740， KN40 在等腰 RtOKM中， OKr， ONNKOK40r 在 RtONE 中， 42+（40r）2r2， 解得 r14012，r240+12（舍去） ， PMPKr3340+12127 当射门角度最大时，PM 的长度为（127）米