2021年全国高考甲卷数学（理科）试题（含答案解析）

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1、 绝密绝密启用前启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理理科数学科数学 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动， 用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效上无效. 3.考试结束

2、后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一一 选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 设集合 1 04 ,5 3 MxxNxx ，则MN （ ） A. 1 0 3 xx B. 1 4 3 xx C. 45xx D. 05xx 2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得 到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 该地农

3、户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6% B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5万元农户比率估计为 10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5万元至 8.5 万元之间 3. 已知 2 (1)32izi，则z （ ） A 3 1 2 i B. 3 1 2 i C. 3 2 i D. 3 2 i 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录 视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 的满足5lgLV已知某同学视力的五分记录法 的数据为 4.9，

4、则其视力的小数记录法的数据为（ ） （10101.259） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 5. 已知 12 ,F F是双曲线 C 的两个焦点，P为 C上一点，且 1212 60 ,3FPFPFPF，则 C的离心率为 （ ） A. 7 2 B. 13 2 C. 7 D. 13 6. 在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G该正方体截去三棱锥A EFG后，所得多 面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列 n a的公比为 q，前 n项和为 n S，设甲：0q ，乙： n S是递增数列，则（ ） A.

5、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 2020年 12 月 8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m） ，三角高程测量法 是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C在同一 水平面上的投影,A B C 满足 45AC B ，60ABC 由 C 点测得 B点的仰角为15， BB 与 CC 的差为 100；由 B点测得 A 点的仰角为45，则 A，C 两点到水平面ABC 的高度差AACC约为 （31.732）

6、（ ） A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 9. 若 cos 0,tan2 22sin ，则tan（ ） A. 15 15 B. 5 5 C. 5 3 D. 15 3 10. 将 4 个 1和 2个 0 随机排成一行，则 2 个 0不相邻的概率为（ ） A. 1 3 B. 2 5 C. 2 3 D. 4 5 11. 已如 A，B，C 是半径为 1的球 O的球面上的三个点，且,1ACBC ACBC，则三棱锥OABC 的体积为（ ） A. 2 12 B. 3 12 C. 2 4 D. 3 4 12. 设函数 f x的定义域为R，1f x为奇函数， 2f x为偶函数， 当1,2x

7、时， 2 ( )f xaxb 若 036ff，则 9 2 f （ ） A. 9 4 B. 3 2 C. 7 4 D. 5 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 曲线 21 2 x y x 在点1, 3 处的切线方程为_ 14. 已知向量3,1 ,1,0 ,abcakb若a c ，则k _ 15. 已知 12 ,F F为椭圆C： 22 1 164 xy 的两个焦点， P， Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且 12 PQFF， 则四边形 12 PFQF的面积为_ 16. 已知函数 2cos()f xx的部分图像如图所示，则满

8、足条件 74 ( )( )0 43 f xff xf 的最小正整数 x 为_ 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第分解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别 用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 15

9、0 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 已知数列 n a的各项均为正数，记 n S为 n a的前 n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另 外一个成立 数列 n a是等差数列：数列 n S是等差数列； 21 3aa 注：若选择不同的组合分别解答，则按

10、第一个解答计分 19. 已知直三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AAB B为正方形，2ABBC，E，F 分别为AC和 1 CC 中 点，D为棱 11 AB上的点 11 BFAB （1）证明：BFDE； （2）当 1 B D为何值时，面 11 BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小? 20. 抛物线 C的顶点为坐标原点 O焦点在 x 轴上，直线 l：1x 交 C于 P，Q 两点，且OP OQ 已知 点2,0M，且M与 l相切 （1）求 C，M的方程； （2）设 123 ,A A A是 C上的三个点，直线 12 A A， 13 A A均与M相切判断直线 23 A A与M的位置关系，

11、并说明理由 21. 已知0a且1a ，函数( )(0) a x x f xx a （1）当2a时，求 f x的单调区间； （2）若曲线 yf x与直线1y 有且仅有两个交点，求 a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分题计分 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2 2cos （1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

12、（2）设点 A直角坐标为1,0，M 为 C上的动点，点 P满足 2APAM ，写出 的轨迹 1 C的参数方 程，并判断 C 与 1 C是否有公共点 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23. 已知函数( )2 , ( )23 21f xxg xxx （1）画出 yf x和 yg x的图像； （2）若 f xag x，求 a 的取值范围 绝密绝密启用前启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理理科数学科数学 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上准考证号填写在答题卡上

13、. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动， 用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一一 选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符

14、合题目要求的符合题目要求的. 1. 设集合 1 04 ,5 3 MxxNxx ，则MN （ ） A. 1 0 3 xx B. 1 4 3 xx C. 45xx D. 05xx 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义运算即可 【详解】因为 1 |04, |5 3 MxxNxx，所以 1 |4 3 MNxx , 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解. 2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得 到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 该

15、地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6% B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5万元的农户比率估计为 10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5万元至 8.5 万元之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定 ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应 的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定 C. 【详解】因为频率直方图中的组距为 1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可 作为总体的相应比率的估

16、计值. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户的比率估计值为0.02 0.040.066%,故 A 正确； 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计值为0.04 0.02 30.10 10% ,故 B 正确； 该地农户家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间的比例估计值为 0.10 0.14 0.20 20.6464%50% ,故 D 正确； 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 3 0.024 0.04 5 0.10 6 0.14 7 0.20 8 0.20 9 0.10 10 0.10 11 0.04 12 0.02 13 0.02 14 0.027.68 (万元

17、)， 超过 6.5 万元，故 C 错误. 综上，给出结论中不正确的是 C. 故选：C. 【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率 的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均 值的估计值.注意各组的频率等于 频率 组距 组距 . 3. 已知 2 (1)32izi，则z （ ） A. 3 1 2 i B. 3 1 2 i C. 3 2 i D. 3 2 i 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得 32 2 i z i ，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】 2 (1)232izizi ， 3

18、2(32 )233 1 2222 iiii zi ii i . 故选：B. 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录 视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 的满足5lgLV已知某同学视力的五分记录法 的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ） （10101.259） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 【答案】C 【解析】 分析】根据,L V关系，当4.9L 时，求出lgV，再用指数表示V，即可求解. 【详解】由5lgLV，当4.9L 时，lg0.1V ， 则 1 0.1 10 10 11 1

19、0100.8 1.25910 V . 故选：C. 5. 已知 12 ,F F是双曲线 C 的两个焦点，P为 C上一点，且 1212 60 ,3FPFPFPF，则 C的离心率为 （ ） A. 7 2 B. 13 2 C. 7 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 12 ,PFPF，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为 21 3PFPF，由双曲线的定义可得 122 22PFPFPFa， 所以 2 PFa， 1 3PFa； 因为 12 60FPF,由余弦定理可得 222 492 3cos60caaaa ， 整理可得 22 47ca，所以 2 2 2 7 4a c

20、e ，即 7 2 e . 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 , a c间的等量关系是求解的关键. 6. 在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G该正方体截去三棱锥A EFG后，所得多 面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断. 【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示， 所以其侧视图为 故选：D 7. 等比数列 n a的公比为 q，前 n项和为 n S，设甲：0q ，乙： n S是递增数列，则（

21、） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】当0q 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 n S是递增数列时，必有0 n a 成立即可 说明0q 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案 【详解】由题，当数列2, 4, 8,时，满足0q ， 但是 n S不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件 若 n S是递增数列，则必有0 n a 成立，若0q 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q 成立，所以甲是乙的必要条件 故选：B 【点睛】在不成立的情况下，我

22、们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过 程 8. 2020年 12 月 8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m） ，三角高程测量法 是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C在同一 水平面上的投影,A B C 满足 45AC B ，60ABC 由 C 点测得 B点的仰角为15， BB 与 CC 的差为 100；由 B点测得 A 点的仰角为45，则 A，C 两点到水平面ABC 的高度差AACC约为 （31.732） （ ） A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 【答案

23、】B 【解析】 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A B，进而得到答案 详解】 过C作CHBB，过B作BDAA， 故 100100AACCAABBBHAABBAD， 由题，易知ADB为等腰直角三角形，所以ADDB 所以100 100AACCDBA B 因为15BCH，所以 100 tan15 CHC B 在A B C中，由正弦定理得： 100100 sin45sin75tan15 cos15sin15 A BC B ， 而 62 sin15sin(4530 )sin45 cos30cos45 sin30 4 ， 所以 2 100 4 2 100( 31)2

24、73 62 A B ， 所以 100373AACCA B 故选：B 【点睛】本题关键点在于如何正确将AACC的长度通过作辅助线的方式转化为 100A B 9. 若 cos 0,tan2 22sin ，则tan（ ） A. 15 15 B. 5 5 C. 5 3 D. 15 3 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式可得 2 sin22sincos tan2 cos21 2sin ，再结合已知可求得 1 sin 4 ，利用同角三 角函数的基本关系即可求解. 【详解】 cos tan2 2sin 2 sin22sincoscos tan2 cos21 2sin2sin ， 0, 2 ，cos0

25、， 2 2sin1 1 2sin2sin ，解得 1 sin 4 ， 2 15 cos1 sin 4 ， sin15 tan cos15 . 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin. 10. 将 4 个 1和 2个 0 随机排成一行，则 2 个 0不相邻的概率为（ ） A. 1 3 B. 2 5 C. 2 3 D. 4 5 【答案】C 【解析】 【分析】采用插空法，4个 1产生 5个空，分 2个 0 相邻和 2个 0不相邻进行求解. 【详解】将 4个 1 和 2个 0 随机排成一行，可利用插空法，4 个 1 产生 5 个空， 若 2个

26、 0 相邻，则有 1 5 5C 种排法，若 2个 0 不相邻，则有 2 5 10C 种排法， 所以 2 个 0不相邻的概率为 102 5 103 . 故选：C. 11. 已如 A，B，C 是半径为 1的球 O的球面上的三个点，且,1ACBC ACBC，则三棱锥OABC 的体积为（ ） A. 2 12 B. 3 12 C. 2 4 D. 3 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得ABC为等腰直角三角形，得出ABC外接圆的半径，则可求得O到平面ABC的距 离，进而求得体积. 【详解】,1ACBC ACBC，ABC为等腰直角三角形， 2AB ， 则ABC外接圆的半径为 2 2 ，又球的半径为 1

27、， 设O到平面ABC的距离为d， 则 2 2 22 1 22 d ， 所以 11122 1 1 332212 O ABCABC VSd . 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面 距离的勾股关系求解. 12. 设函数 f x的定义域为R，1f x为奇函数， 2f x为偶函数， 当1,2x时， 2 ( )f xaxb 若 036ff，则 9 2 f （ ） A. 9 4 B. 3 2 C. 7 4 D. 5 2 【答案】D 【解析】 【分析】通过1f x是奇函数和2f x是偶函数条件，可以确定出函数解析式 2 22f xx，进 而

28、利用定义或周期性结论，即可得到答案 【详解】因为1f x是奇函数，所以11fxf x ； 因为2f x是偶函数，所以22f xfx 令1x ，由得： 024ffab，由得： 31ffab， 因为 036ff，所以462ababa， 令0 x，由得： 11102fffb，所以 2 22f xx 思路一：从定义入手 9551 22 2222 ffff 1335 11 2222 ffff 5113 22 = 2222 ffff 所以 935 222 ff 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数 f x的周期4T 所以 9135 2222 fff 故选：D 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我

29、们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计 算的效果 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 曲线 21 2 x y x 在点 1, 3 处的切线方程为_ 【答案】520 xy 【解析】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可 【详解】由题，当1x时，3y ，故点在曲线上 求导得： 22 22215 22 xx y xx ，所以 1 |5 x y 故切线方程为520 xy 故答案为：520 xy 14. 已知向量3,1 ,1,0 ,abcakb若a c ，则k _ 【答案】 10 3 . 【解析】 【

30、分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值 【详解】3,1 ,1,0 ,3,1abcakbk , ,3 31 10aca ck ，解得 10 3 k , 故答案为： 10 3 . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量 1122 ,px yqx y垂直的充分必要条件是其数量积 1212 0 x xy y. 15. 已知 12 ,F F为椭圆C： 22 1 164 xy 两个焦点， P， Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且 12 PQFF， 则四边形 12 PFQF的面积为_ 【答案】8 【解析】 【分析】根据已知可得

31、12 PFPF，设 12 |,|PFm PFn，利用勾股定理结合8mn，求出mn，四 边形 12 PFQF面积等于mn，即可求解. 【详解】因为,P Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且 12 | |PQFF，所以四边形 12 PFQF为矩形， 设 12 |,|PFm PFn，则 22 8,48mnmn， 所以 222 64()2482mnmmnnmn， 8mn，即四边形 12 PFQF面积等于8. 故答案：8. 16. 已知函数 2cos()f xx的部分图像如图所示，则满足条件 74 ( )( )0 43 f xff xf 的最小正整数 x 为_ 【答案】2 【解析】 【分析】先根据图象求

32、出函数 ( )f x的解析式，再求出 7 (),() 43 ff 的值，然后求解三角不等式可得最小 正整数或验证数值可得. 【详解】由图可知 3133 41234 T ，即 2 T ，所以2； 由五点法可得2 32 ，即 6 ； 所以( )2cos 2 6 f xx . 因为 7 ()2cos1 43 f ，()2cos0 32 f ； 所以由 74 ( ( )()( ( )()0 43 f xff xf 可得( )1f x 或( )0f x ； 因为 12cos 22cos1 626 f ，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足( )0f x ，即cos 20 6 x ， 解得,

33、36 kxkk Z，令0k ，可得 5 36 x ， 可得x的最小正整数为 2. 方法二： 结合图形可知， 最小正整数应该满足( )0f x ，又(2)2cos 40 6 f ，符合题意， 可得x的 最小正整数为 2. 故答案为：2. 【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第分解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要

34、求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别 用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.8

35、41 6.635 10.828 【答案】 （1）75%；60%； （2）能. 【解析】 【分析】本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可 【详解】 （1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为 150 75% 200 , 乙机床生产的产品中的一级品的频率为 120 60% 200 . （2） 2 2 400 150 80 120 50400 106.635 270 130 200 20039 K , 故能有 99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异. 18. 已知数列 n a的各项均为正数，记 n S为 n a的前 n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另 外一个成

36、立 数列 n a是等差数列：数列 n S是等差数列； 21 3aa 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】选作条件证明时，可设出 n S，结合, nn a S的关系求出 n a，利用 n a是等差数列可证 21 3aa； 选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出 n S，结合等差数列定义可证； 选作条件证明时， 设出 n Sanb， 结合, nn a S的关系求出 n a， 根据 21 3aa可求b， 然后可证 n a 是等差数列. 【详解】选作条件证明： 设(0) n Sanb a，则 2 n Sanb， 当1n 时， 2 11 aSab

37、； 当2n时， 22 1nnn aSSanbanab 22aanab ； 因为 n a也是等差数列，所以 2 22abaaab，解得0b； 所以 2 21 n aan，所以 21 3aa. 选作条件证明： 因为 21 3aa， n a是等差数列， 所以公差 211 2daaa， 所以 2 11 1 2 n n n Snadn a ，即 1n Sa n， 因为 1111 1 nn SSana na ， 所以 n S 是等差数列. 选作条件证明： 设(0) n Sanb a，则 2 n Sanb， 当1n 时， 2 11 aSab； 当2n时， 22 1nnn aSSanbanab 22aanab

38、 ； 因为 21 3aa，所以 2 323aabab，解得0b或 4 3 a b ； 当0b时， 22 1 ,21 n aa aan，当2n时， 2 -1 -2 nn a aa满足等差数列的定义，此时 n a为等差 数列； 当 4 3 a b 时， 4 = 3 n Sanb ana， 1 0 3 a S 不合题意，舍去. 综上可知 n a为等差数列. 【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等 差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法. 19. 已知直三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AAB B为正方形，2ABBC，E，F 分别为AC

39、和 1 CC的中 点，D为棱 11 AB上的点 11 BFAB （1）证明：BFDE； （2）当 1 B D为何值时，面 11 BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小? 【答案】 （1）见解析； （2） 1 1 2 B D 【解析】 【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线 垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案 【详解】因为三棱柱 111 ABCABC是直三棱柱，所以 1 BB 底面ABC，所以 1 BBAB 因为 11/ A BAB， 11 BFAB，所以BFAB， 又 1 BBBFB，所以AB 平面 11 BCC

40、B 所以 1 ,BA BC BB两两垂直 以B为坐标原点，分别以 1 ,BA BC BB所在直线为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，如图 所以 111 0,0,0 ,2,0,0 ,0,2,0 ,0,0,2 ,2,0,2 ,0,2,2BACBAC， 1,1,0 ,0,2,1EF 由题设,0,2D a（02a） （1）因为0,2,1 ,1,1, 2BFDEa， 所以012 1 120BF DEa ，所以BFDE （2）设平面DFE的法向量为 , ,mx y z ， 因为1,1,1 ,1,1, 2EFDEa ， 所以 0 0 m EF m DE ，即 0 120 xyz a xyz 令2za，

41、则3,1,2maa 因为平面 11 BCC B的法向量为2,0,0BA， 设平面 11 BCC B与平面DEF的二面角的平面角为， 则 22 63 cos 222142214 m BA mBA aaaa 当 1 2 a 时， 2 224aa取最小值为 27 2 ， 此时cos取最大值为 36 327 2 所以 2 min 63 sin1 33 ， 此时 1 1 2 B D 【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出,0,2D a（02a） ，在第二问中通过余弦 值最大，找到正弦值最小是关键一步 20. 抛物线 C的顶点为坐标原点 O焦点在 x 轴上，直线 l：1x 交 C于 P，Q

42、两点，且OP OQ 已知 点2,0M，且M与 l相切 （1）求 C，M的方程； （2）设 123 ,A A A是 C上的三个点，直线 12 A A， 13 A A均与M相切判断直线 23 A A与M的位置关系， 并说明理由 【答案】 （1）抛物线 2 :C yx，M方程为 22 (2)1xy； （2）相切，理由见解析 【解析】 【分析】 （1） 根据已知抛物线与1x 相交， 可得出抛物线开口向右， 设出标准方程， 再利用对称性设出,P Q 坐标，由OPOQ，即可求出p；由圆M与直线1x 相切，求出半径，即可得出结论； （2）先考虑 12 A A斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若 1213

43、23 ,A A A A A A斜率存在，由 123 ,A A A三 点在抛物线上，将直线 121223 ,A A A A A A斜率分别用纵坐标表示，再由 1212 ,A A A A与圆M相切，得出 2323 ,yy yy与 1 y的关系，最后求出M点到直线 23 A A的距离，即可得出结论. 【详解】 （1）依题意设抛物线 2 00 :2(0), (1,),(1,)C ypx pPyQy， 2 0 ,11 20,21OPOQOP OQypp ， 所以抛物线C的方程为 2 yx， (0,2),MM与 1x 相切，所以半径为1， 所以M的方程为 22 (2)1xy； （2）设 111222333

44、 (),(,),(,)A x yA xyA x y 若 12 A A斜率不存在，则 12 A A方程为1x 或3x ， 若 12 A A方程为1x ，根据对称性不妨设 1(1,1) A， 则过 1 A与圆M相切的另一条直线方程为1y ， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 3 A，不合题意； 若 12 A A方程为3x ，根据对称性不妨设 12 (3, 3),(3,3),AA 则过 1 A与圆M相切的直线 13 A A为 3 3(3) 3 yx， 又 1 3 13 3 1313 3 113 ,0 33 A A yy ky xxyyy ， 33 0,(0,0)xA，此时直线 1323 ,A

45、 A A A关于x轴对称， 所以直线 23 A A与圆M相切； 若直线 121323 ,A A A A A A斜率均存在， 则 1 21 323 121323 111 , A AA AA A kkk yyyyyy ， 所以直线 12 A A方程为 11 12 1 yyxx yy ， 整理得 1212 ()0 xyyyy y， 同理直线 13 A A的方程为 1313 ()0 xyyyy y， 直线 23 A A的方程为 2323 ()0 xyyyy y， 12 A A与圆M相切， 12 2 12 |2| 1 1() y y yy 整理得 222 12121 (1)230yyy yy ， 13

46、A A与圆M相切，同理 222 13131 (1)230yyy yy 所以 23 ,yy为方程 222 111 (1)230yyy yy的两根， 2 11 2323 22 11 23 , 11 yy yyyy yy ， M到直线 23 A A的距离为： 2 1 2 231 2 2 1 23 2 1 3 |2| |2|1 2 1() 1() 1 y y yy y yy y 22 11 2 222 1 11 |1|1 1 1 (1)4 yy y yy ， 所以直线 23 A A与圆M相切； 综上若直线 1213 ,A A A A与圆M相切，则直线 23 A A与圆M相切. 【点睛】关键点点睛： （1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为 只与纵坐标（或横坐标）有关； （2）要充分利用 1213 ,A A A A的对称性，抽象出 2323 ,yy yy与 1 y关系，把 23 ,yy的关系转化为用 1 y表示. 21. 已知0a且1a ，函数( )(0) a x x f xx a （1）当2a时，求