2021年山东省烟台市莱州市中考数学适应性试卷（含答案详解）

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1、2021 年山东省烟台市莱州市中考数学适应性试卷年山东省烟台市莱州市中考数学适应性试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题）每小题都给出标号为个小题）每小题都给出标号为 A、B、C、D 的四个答案，其中有且只有一个是正的四个答案，其中有且只有一个是正 确的确的. 1 （3 分）的立方根是（ ） A1 B1 C0 D1 2 （3 分）如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）2021 年 2 月 25 日，习总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全 面胜利，现行标准下 9899 万农村贫困人口全面脱贫数据“98

2、99 万”用科学记数法可表示为（ ） A98.99106 B9.899107 C989.9105 D0.9899108 4 （3 分）一个几何体的三视图如图，则该几何体是（ ） A B C D 5 （3 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，延长弦 AF，DC 交于点 E若DFC48，则CFE 的度数为（ ） A60 B66 C68 D72 6 （3 分） 在计算器上， 小明将按键顺序的显示结果记为 a， 的显示结果记为 b，则 a 与 b 的乘积为 （ ） A B C D6 7 （3 分）在如图的网格图中，每个小正方形的边长均为 1，ABC 的三个顶点都是网格线的交点，若将此 网格放入

3、平面直角坐标系中，B，C 两点的坐标分别为（1，1） ， （1，2） ，将ABC 绕点 C 顺时针 旋转 90后，点 A 到达点 A的位置，则 A的坐标为（ ） A （4，1） B （4，1） C （5，1） D （5，1） 8 （3 分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩 及其 方差 s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 s2 1 1 1.2 1.3 A甲 B乙 C丙 D丁 9 （3 分）如图所示，已知 A（，y1） ，B（2，y2）为反比例函数 y图象上的两点，动点 P（x

4、，0）在 x 轴正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是（ ） A （，0） B （1，0） C （，0） D （，0） 10 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC4点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD 上，点 G、H 在对角线 AC 上若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是（ ） A2 B3 C5 D6 11 （3 分）直角三角形纸片 ABC 的两条直角边 BC，AC 长分别为 6，8，现将ABC 如图折叠，使点 A 与 点 B 重合，折痕为 DE，则 tanCBE 的值是（ ） A B C D 12 （3 分）如图，平面直角坐标系中

5、有两条抛物线：y1x2x+，y2x2x，直线 l 的起始位置 的表达式为 x0，若直线 l 从起始位置开始向右平移，速度是每秒 2 个单位长度，设平移 t（秒）后直线 l 与两条抛物线及直线 x0 围成的图形的面积为 S（平方单位） ，则 S 与 t 的函数关系式为（ ） AS2t BS3t CS6t DS12t 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 个小题）个小题）. 13 （3 分）如图，点 I 是ABC 的内心，BIC126，则BAC 14 （3 分）一个正多边形的边长为 6，它的内角和是外角和的 2 倍，则它的边心距是 15 （3 分）关于 x 的方程 kx24x0 有实数根，则

6、k 的取值范围是 16 （3 分）如图，在ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 为半径画弧交 AD 于点 F，分别以点 B，F 为圆心，同 长为半径画弧交于点 G，连接 AG 并延长交 BC 于点 E，若 BF6，AB5，则 AE 的长为 17 （3 分）现有一张圆心角为 108，半径为 40cm 的扇形纸片，小红剪去圆心角为 的部分扇形纸片后， 将剩下的纸片制作成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠） ，则剪去的扇形纸片的圆心角 为 18 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD2，CD1，连接 AC，以对角线 AC 为边，按逆时针方向作矩形 ABCD 的相似矩形 AB1C

7、1C，再连接 AC1，以对角线 AC1为边作矩形 AB1C1C 的相似矩形 AB2C2C1， 按此规律继续下去，则矩形 ABnnCn1的面积为 三三.解答题（本题共解答题（本题共 7 个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 19 （5 分） 先化简再求值：， 其中 a 满足与 2 和 3 构成ABC 的三边， 且 a 为整数 20 （9 分）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动活动结束后，每个学生只选最 关注的一个主题写出征文学校对主题征文的选题进行了抽样调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的 统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题：

8、 （1）这次调查的学生共有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中“和谐”所对应的圆心角的度数； （3）如果要在这 5 个选题中任选两个进行全面调查，根据抽样调查的结果，用树状图或列表法，求恰好 选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为 A、B、C、D、E） 21 （10 分）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进 3 件甲商品和 1 件乙商品 恰好用 200 元甲、乙两种商品的售价每件分别为 80 元、130 元，该商店决定用不少于 6710 元且不超 过 6810 元购进这两种商品共 100 件 （1）求这两种商品的进

9、价； （2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 22 （9 分）如图，在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB2（单位：km） 有 一艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60的方向，从 B 测得小船在北偏东 45的方向 （1）求点 P 到海岸线 l 的距离； （2）小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到点 C 处，此时，从 B 测得小船在北偏西 15 的方向求点 C 与点 B 之间的距离 （上述两小题的结果都保留根号） 23 （10 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE过点

10、 A 作 AFDE，垂足为 F，O 经 过点 C、D、F，与 AD 相交于点 G （1）求证：AFGDFC； （2）若正方形 ABCD 的边长为 4，AE1，求O 的半径 24 （10 分）已知，ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B、C 重合） 以 AD 为边 作菱形 ADEF，使DAF60，连接 CF （1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时， 求证：ADBAFC； 请直接判断结论AFCACB+DAC 是否成立； （2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上时，其他条件不变，结论AFCACB+DAC 是否成立？ 请写出AFC、ACB、DAC 之间存在的

11、数量关系，并写出证明过程； （3）如图 3，当点 D 在边 CB 的延长线上时，且点 A、F 分别在直线 BC 的异侧，其他条件不变，请补 全图形，并直接写出AFC、ACB、DAC 之间存在的等量关系 25 （13 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 yax2x+c（a0）经过 A，B，C 三点 （1）求过 A，B，C 三点抛物线的解析式并求出顶点 F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点 P，使ABP 为直角三角形？若存在，直接写出 P 点坐标；若不存在，请说 明理由； （3）试探究在直线 AC 上是否存在一点 M，使得MBF 的周长最

12、小？若存在，求出 M 点的坐标；若不 存在，请说明理由 2021 年山东省烟台市莱州市中考数学适应性试卷年山东省烟台市莱州市中考数学适应性试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题）每小题都给出标号为个小题）每小题都给出标号为 A、B、C、D 的四个答案，其中有且只有一个是正的四个答案，其中有且只有一个是正 确的确的. 1 （3 分）的立方根是（ ） A1 B1 C0 D1 【解答】解：1， 1 的立方根是 1 故选：A 2 （3 分）如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、是轴对称图形，不是

13、中心对称图形故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形故本选项符合题意 故选：D 3 （3 分）2021 年 2 月 25 日，习总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全 面胜利，现行标准下 9899 万农村贫困人口全面脱贫数据“9899 万”用科学记数法可表示为（ ） A98.99106 B9.899107 C989.9105 D0.9899108 【解答】解：9899 万989900009.899107 故选：B 4 （3 分）一个几何体的三视图

14、如图，则该几何体是（ ） A B C D 【解答】解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱， 故选：D 5 （3 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，延长弦 AF，DC 交于点 E若DFC48，则CFE 的度数为（ ） A60 B66 C68 D72 【解答】解：连接 AD， AB 是O 的直径，弦 CDAB， ， DABDFC4824， ADC90DAB902466， 四边形 ADCF 内接与O， CFEADC66， 故选：B 6 （3 分） 在计算器上， 小明将按键顺序的显示结果记为 a， 的显示结果记为 b，则 a 与 b 的乘积为 （ ） A B C D6 【解答

15、】解：由题意得：a， b， ab 故选：A 7 （3 分）在如图的网格图中，每个小正方形的边长均为 1，ABC 的三个顶点都是网格线的交点，若将此 网格放入平面直角坐标系中，B，C 两点的坐标分别为（1，1） ， （1，2） ，将ABC 绕点 C 顺时针 旋转 90后，点 A 到达点 A的位置，则 A的坐标为（ ） A （4，1） B （4，1） C （5，1） D （5，1） 【解答】解：如图，观察图象可知，A（5，1） 故选：D 8 （3 分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩 及其 方差 s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，

16、则应选择的学生是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 s2 1 1 1.2 1.3 A甲 B乙 C丙 D丁 【解答】解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定， 因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙， 故选：B 9 （3 分）如图所示，已知 A（，y1） ，B（2，y2）为反比例函数 y图象上的两点，动点 P（x，0）在 x 轴正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是（ ） A （，0） B （1，0） C （，0） D （，0） 【解答】解：把 A（，y1） ，B（2，y2）代入反比例函数 y得：y12，y2

17、， A（，2） ，B（2，） ， 在ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|APBP|AB， 延长 AB 交 x 轴于 P，当 P 在 P点时，PAPBAB， 即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大， 设直线 AB 的解析式是 ykx+b， 把 A、B 的坐标代入得：， 解得：k1，b， 直线 AB 的解析式是 yx+， 当 y0 时，x， 即 P（，0） ， 故选：D 10 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC4点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD 上，点 G、H 在对角线 AC 上若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是（ ） A2 B3 C5 D6 【解答】解

18、；连接 EF 交 AC 于 O， 四边形 EGFH 是菱形， EFAC，OEOF， 四边形 ABCD 是矩形， BD90，ABCD， ACDCAB， 在CFO 与AOE 中， CFOAEO（AAS） ， AOCO， AC4， AOAC2， CABCAB，AOEB90， AOEABC， ， ， AE5 方法二：应连接 EF 得 EFAC 易证 EF 垂直平分 AC 连接 CE，得 CEAE， 设 CEAEx，EB8x，BC4，利用勾股定理求得 x5 即可 故选：C 11 （3 分）直角三角形纸片 ABC 的两条直角边 BC，AC 长分别为 6，8，现将ABC 如图折叠，使点 A 与 点 B 重合

19、，折痕为 DE，则 tanCBE 的值是（ ） A B C D 【解答】解：直角三角形纸片 ABC 的两条直角边 BC，AC 长分别为 6，8， AB10， 设 CEx，则 AE8x， ABC 如图折叠，使点 A 与点 B 重合， BEAE8x， RtBCE 中，CE2+BC2BE2， x2+62（8x）2， 解得 x， RtBCE 中， tanCBE， 故选：A 12 （3 分）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线：y1x2x+，y2x2x，直线 l 的起始位置 的表达式为 x0，若直线 l 从起始位置开始向右平移，速度是每秒 2 个单位长度，设平移 t（秒）后直线 l 与两条抛物线及直线 x

20、0 围成的图形的面积为 S（平方单位） ，则 S 与 t 的函数关系式为（ ） AS2t BS3t CS6t DS12t 【解答】解：y1x2x+，y2x2x， 两个抛物线的开口相同，对称轴相同，为直线 xa1， 如图，阴影部分的面积等于矩形的面积， 抛物线 y2x2x向上平移 3 个单位长度得 y1x2x+， 两个交点间的距离为 3， 阴影部分的面积 S2t36t 故选：C 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 个小题）个小题）. 13 （3 分）如图，点 I 是ABC 的内心，BIC126，则BAC 72 【解答】解：点 I 是ABC 的内心， ABC2IBC，ACB2ICB， BIC

21、126， IBC+ICB180CIB54， ABC+ACB254108， BAC180（ACB+ABC）72 故答案为：72 14 （3 分）一个正多边形的边长为 6，它的内角和是外角和的 2 倍，则它的边心距是 3 【解答】解：设多边形的边数为 n 因为正多边形内角和为（n2） 180，正多边形外角和为 360， 根据题意得： （n2） 1803602， 解得：n6 这个正多边形是正六边形， 它的边心距63， 故答案为：3 15 （3 分）关于 x 的方程 kx24x0 有实数根，则 k 的取值范围是 k6 【解答】解：当 k0 时，4x0，解得 x， 当 k0 时，方程 kx24x0 是一

22、元二次方程， 根据题意可得：164k（）0， 解得 k6，k0， 综上 k6， 故答案为 k6 16 （3 分）如图，在ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 为半径画弧交 AD 于点 F，分别以点 B，F 为圆心，同 长为半径画弧交于点 G，连接 AG 并延长交 BC 于点 E，若 BF6，AB5，则 AE 的长为 8 【解答】解：如图，连接 FE，设 AE 交 BF 于点 O 由作图可知：ABAF，AE 平分BAD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， FAEAEBBAE， ABBE， AFBE， AFBE， 四边形 ABEF 是平行四边形， ABAF， 四边形 ABEF 是菱形，

23、 AEBF， AOOEAE，BOOF3， 在 RtAOB 中，AO4， AE2OA8 故答案是：8 17 （3 分）现有一张圆心角为 108，半径为 40cm 的扇形纸片，小红剪去圆心角为 的部分扇形纸片后， 将剩下的纸片制作成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠） ，则剪去的扇形纸片的圆心角 为 18 【解答】解：20，解得：n90， 扇形彩纸片的圆心角是 108 剪去的扇形纸片的圆心角为 1089018 剪去的扇形纸片的圆心角为 18 故答案为：18 18 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD2，CD1，连接 AC，以对角线 AC 为边，按逆时针方向作矩形 ABCD

24、的相似矩形 AB1C1C，再连接 AC1，以对角线 AC1为边作矩形 AB1C1C 的相似矩形 AB2C2C1， 按此规律继续下去，则矩形 ABnnCn1的面积为 【解答】解： 四边形 ABCD 是矩形， ADDC， AC， 按逆时针方向作矩形 ABCD 的相似矩形 AB1C1C， 矩形 AB1C1C 的边长和矩形 ABCD 的边长的比为：2 矩形 AB1C1C 的面积和矩形 ABCD 的面积的比 5：4， 矩形 ABCD 的面积212， 矩形 AB1C1C 的面积， 依此类推，矩形 AB2C2C1的面积和矩形 AB1C1C 的面积的比 5：4 矩形 AB2C2C1的面积 矩形 AB3C3C2

25、的面积， 按此规律第 n 个矩形的面积为： 故答案为： 三三.解答题（本题共解答题（本题共 7 个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 19 （5 分） 先化简再求值：， 其中 a 满足与 2 和 3 构成ABC 的三边， 且 a 为整数 【解答】解：原式+ + ， a 与 2、3 构成ABC 的三边， 32a3+2，即 1a5， a 为整数， a2、3、4， 当 a2 时，分母 2a0，舍去；当 a3 时，分母 a30，舍去；故 a 的值只能为 4 当 a4 时，原式1 20 （9 分）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动活动结束后

26、，每个学生只选最 关注的一个主题写出征文学校对主题征文的选题进行了抽样调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的 统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次调查的学生共有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中“和谐”所对应的圆心角的度数； （3）如果要在这 5 个选题中任选两个进行全面调查，根据抽样调查的结果，用树状图或列表法，求恰好 选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为 A、B、C、D、E） 【解答】解： （1）调查的学生数：810%80（名） （2）关注“互助”的人数为：8015%10（名） ， 关注“和谐”的人数为 80822

27、151025（名） ， 补全条形统计图，如图所示： “和谐”所对应的圆心角的度数为：360112.5 （3）根据题意画图如下： 共有 20 种等可能的情况，其中恰好选到学生关注最多的两个主题感恩、和谐的情况有 2 种 所以，P（关注最多的两个主题） 21 （10 分）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进 3 件甲商品和 1 件乙商品 恰好用 200 元甲、乙两种商品的售价每件分别为 80 元、130 元，该商店决定用不少于 6710 元且不超 过 6810 元购进这两种商品共 100 件 （1）求这两种商品的进价； （2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润

28、，最大利润是多少？ 【解答】解：设甲商品的进价为 x 元，乙商品的进价为 y 元，由题意，得： ， 解得： 答：甲商品的进价为 40 元，乙商品的进价为 80 元； （2）设购进甲种商品 m 件，则购进乙种商品（100m）件，由题意，得： ， 解得：29m32 m 为整数， m30，31，32， 故有三种进货方案： 方案 1，甲种商品 30 件，乙商品 70 件， 方案 2，甲种商品 31 件，乙商品 69 件， 方案 3，甲种商品 32 件，乙商品 68 件， 设利润为 W 元，由题意，得 W40m+50（100m） ， 10m+5000 k100， W 随 m 的增大而减小， m30 时，

29、W最大4700 答：该商店有 3 种进货方案；当甲种商品进货 30 件，乙商品进货 70 件时可获得最大利润，最大利润为 4700 元 22 （9 分）如图，在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB2（单位：km） 有 一艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60的方向，从 B 测得小船在北偏东 45的方向 （1）求点 P 到海岸线 l 的距离； （2）小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到点 C 处，此时，从 B 测得小船在北偏西 15 的方向求点 C 与点 B 之间的距离 （上述两小题的结果都保留根号） 【解答】解： （1）如图，过

30、点 P 作 PDAB 于点 D设 PDxkm 在 RtPBD 中，BDP90，PBD904545， BDPDxkm 在 RtPAD 中，ADP90，PAD906030， ADPDxkm BD+ADAB， x+x2， x1， 点 P 到海岸线 l 的距离为（1）km； （2）如图，过点 B 作 BFAC 于点 F 根据题意得：ABC105， 在 RtABF 中，AFB90，BAF30， BFAB1km 在ABC 中，C180BACABC45 在 RtBCF 中，BFC90，C45， BCBFkm， 点 C 与点 B 之间的距离为km 23 （10 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB

31、上一点，连接 DE过点 A 作 AFDE，垂足为 F，O 经 过点 C、D、F，与 AD 相交于点 G （1）求证：AFGDFC； （2）若正方形 ABCD 的边长为 4，AE1，求O 的半径 【解答】 （1）证明：在正方形 ABCD 中，ADC90， CDF+ADF90， AFDE， AFD90， DAF+ADF90， DAFCDF， 四边形 GFCD 是O 的内接四边形， FCD+DGF180， FGA+DGF180， FGAFCD， AFGDFC （2）解：如图，连接 CG EADAFD90，EDAADF， EDAADF， ，即， AFGDFC， ， ， 在正方形 ABCD 中，DADC

32、， AGEA1，DGDAAG413， CG5， CDG90， CG 是O 的直径， O 的半径为 24 （10 分）已知，ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B、C 重合） 以 AD 为边 作菱形 ADEF，使DAF60，连接 CF （1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时， 求证：ADBAFC； 请直接判断结论AFCACB+DAC 是否成立； （2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上时，其他条件不变，结论AFCACB+DAC 是否成立？ 请写出AFC、ACB、DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程； （3）如图 3，当点 D 在边 CB 的延长线

33、上时，且点 A、F 分别在直线 BC 的异侧，其他条件不变，请补 全图形，并直接写出AFC、ACB、DAC 之间存在的等量关系 【解答】解： （1）证明：ABC 为等边三角形， ABAC，BAC60， DAF60， BACDAF， BADCAF， 四边形 ADEF 是菱形，ADAF， 在ABD 和ACF 中 ABAC，BADCAF，ADAF， ABDACF， ADBAFC， 结论：AFCACB+DAC 成立 （2）结论AFCACB+DAC 不成立 AFC、ACB、DAC 之间的等量关系是AFCACBDAC 证明：ABC 为等边三角形， ABAC， BAC60， BACDAF， BADCAF，

34、四边形 ADEF 是菱形， ADAF 在ABD 和ACF 中 ABAC，BADCAF，ADAF， ABDACF ADBAFC 又ACBADC+DAC， AFCACBDAC （3）补全图形如下图： AFC、ACB、DAC 之间的等量关系是：AFC2ACBDAC （或AFC+DAC+ACB180以及这两个等式的正确变式） 25 （13 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 yax2x+c（a0）经过 A，B，C 三点 （1）求过 A，B，C 三点抛物线的解析式并求出顶点 F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点 P，使ABP 为直角三角形？若存

35、在，直接写出 P 点坐标；若不存在，请说 明理由； （3）试探究在直线 AC 上是否存在一点 M，使得MBF 的周长最小？若存在，求出 M 点的坐标；若不 存在，请说明理由 【解答】方法一： 解： （1）直线 yx与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C 点 A（1，0） ，C（0，） 点 A，C 都在抛物线上， 抛物线的解析式为 yx2x 顶点 F（1，） （2）存在： p1（0，） ，p2（2，） （3）存在 理由： 解法一： 延长 BC 到点 B，使 BCBC，连接 BF 交直线 AC 于点 M，则点 M 就是所求的点， 过点 B作 BHAB 于点 H， B 点在抛物线 yx2x上，

36、B（3，0） ， 在 RtBOC 中，tanOBC OBC30，BC2 在 RtBBH 中，BHBB2 BHBH6，OH3， B（3，2） 设直线 BF 的解析式为 ykx+b， ， 解得， y ， 解得， M（） 在直线 AC 上存在点 M，使得MBF 的周长最小，此时 M（） 解法二： 过点 F 作 AC 的垂线交 y 轴于点 H，则点 H 为点 F 关于直线 AC 的对称点，连接 BH 交 AC 于点 M，则点 M 即为所求 过点 F 作 FGy 轴于点 G，则 OBFG，BCFH， BOCFGH90，BCOFHG HFGCBO 同方法一可求得 B（3，0） 在 RtBOC 中，tanO

37、BC OBC30，可求得 GHGC GF 为线段 CH 的垂直平分线，可证得CFH 为等边三角形 AC 垂直平分 FH 即点 H 为点 F 关于 AC 对称点， H（0，） 设直线 BH 的解析式为 ykx+b，由题意得， 解得， y， ， 解得， M（） ， 在直线 AC 上存在点 M，使得MBF 的周长最小，此时 M（） 方法二： （1）略 （2）设 P（t，） ，A（1，0） ，B（3，0） ， PAPB，KPAKPB1， 1， （t+1） （t3）3，t10，t22， P1（0，） ，P2（2，） （3）ACBC，点 B 关于 AC 的对称点 B， ， B（3，0） ，C（0，） ， B（3，2） ，F（1，） ， lBF：yx，lAC：yx， 两直线交点坐标 M（，）