中考数学热点难点突破：第1.5讲根与系数的关系问题（解析版）

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1、 考纲要求考纲要求: : 1. 通过具体案例了解一元二次方程的根与系数的关系； 2. 能直接写出系数为数字的一元二次方程的两根之和与两根之积. 基础知识回顾基础知识回顾: : 1.1.一元一元二次方程的概念及一般形式二次方程的概念及一般形式 只含有一个未知数，未知数的最高次数是只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2 2 的整式方程的整式方程叫做叫做一元二次方程一元二次方程. . 一般形式一般形式： 2 00 .axbxca 2.2.一元二次方程的四种解法一元二次方程的四种解法 直接开方法直接开方法，配方法配方法，公式法，因式分解法，公式法，因式分解法. . 3.3.一元二次方程的根的判别式一

2、元二次方程的根的判别式 判别式 2 4bac 与方程的根的关系： 0方程有两个不相等的实数根； 0方程有两个相等的实数根； 0方程没有实数根； 4 4. .一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理：对于一元二次方程 2 00 ,axbxca 如果方程有两个实数根 12 ,.x x 则 1212 ,. bc xxx x aa 应用举例应用举例: : 招数一、招数一、已知已知一元二次一元二次方程方程，求与求与两根有关的代数式的值两根有关的代数式的值. 直接利用直接利用韦达定理得出两根之和韦达定理得出两根之和, ,两根之两根之积积. .用整体用整体代入法求代数式的值代入法求

3、代数式的值. . 【例【例 1】已知 ， 是一元二次方程 x2+x2=0 的两个实数根，则 + 的值是（ ） A3 B1 C1 D3 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得 +=1，=2，求出 + 和 的值，再把要求的式子进行整理，即可 得出答案 【详解】， 是方程 x2+x2=0 的两个实数根， +=1，=2， +=1-（-2）=-1+2=1， 故选 B 【例【例 2】若 、 为方程 2x2-5x-1=0 的两个实数根，则的值为（ ） A-13 B12 C14 D15 【答案】B 招数二、招数二、已知已知关于两根关系关于两根关系式式的值，求的值，求参数参数 利用利用韦达定理得出两

4、根之和韦达定理得出两根之和, ,两根之两根之积积. .求得参数求得参数的值或取值范围的值或取值范围. . 【例【例 3】 已知 x1，x2是关于 x 的方程 x 2+bx3=0 的两根，且满足 x 1+x23x1x2=5，那么 b 的值为（ ） A4 B4 C3 D3 【答案】A 【解析】 x1，x2是关于 x 的方程 x 2+bx3=0 的两根， x1+x2=b，x1x2=3， x1+x23x1x2=b+9=5， 解得 b=4. 故选 A. 【例【例 4】已知关于 x 的一元二次方程 mx 2（m+2）x+ =0 有两个不相等的实数根 x 1，x2若+=4m，则 m 的值是（ ） A2 B1

5、 C2 或1 D不存在 【答案】A 【例【例 5】关于 x 的方程02 2 nmxx的两个根是2 和 1，则 m n的值为（ ） A8 B8 C16 D16 【答案】C 【解析】 试题分析：关于 x 的方程02 2 nmxx的两个根是2 和 1， 2 m =1， 2 n =2，m=2，n= 4， m n=（4）2=16故选 C 招数三、招数三、最值问题最值问题 先根据根的判别式求出参数的取值范围先根据根的判别式求出参数的取值范围.根据韦达定理根据韦达定理，整理所求，整理所求式子式子，转化为二次函数的最值问题，转化为二次函数的最值问题. 【例【例 6】若t为实数，关于x的方程的两个非负实数根为a

6、、b，则代数式的 最小值是（ ） A15 B16 C15 D16 【答案】A 方法、规律归纳方法、规律归纳: 1. 韦达定理：对于一元二次方程 2 00 ,axbxca 如果方程有两个实数根 12 ,.x x 则 1212 ,. bc xxx x aa 2.常考的变形： 12 1212 11 . xx xxx x 2 22 121212 2.xxxxx x 实战演练实战演练: 1、已知 ， 是方程 2 340 xx的两个实数根，则 2 3a的值为 【答案】0 【解析】 试题分析：根据题意得34 ， 所以原式3330 故答案为：0 2. 已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1， x

7、2=2， 则方程a （x+1） 2+b （x+1） +1=0的两根之和为_ 【答案】1 【解析】 解：设 x+1=t，方程 a（x+1）2+b（x+1）+1=0 的两根分别是 x3，x4， at2+bt+1=0， 由题意可知：t1=1，t2=2， t1+t2=3， x3+x4+2=3 故答案为：1 3. 设、是方程的两个实数根，则的值为 【答案】 考点：根与系数的关系 4. 已知 、 是方程 x22x40 的两个实数根，则 3+8+6 的值为（ ） A1 B2 C22 D30 【答案】D 【解析】 方程 x2-2x-4=0 的实根,2-2-4=0,即 2=2+4,3=22+4=2（2+4）+4

8、=8+8,原式=8+8+8+6=8 （+）+14, 是方程 x2-2x-4=0 的两实根,+=2, 原式=8 2+14=30, 故选 D. 5. 若 t 为实数，关于 x 的方程的两个非负实数根为 a、b，则代数式的最 小值是（ ） A15 B16 C15 D16 【答案】A 【解析】 考点：1根与系数的关系；2配方法；3最值问题 6. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2（2m2）x+（m22m）=0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根 （2）如果方程的两实数根为 x1，x2，且 x1 2+x 2 2=10，求 m 的值 【答案】（1）见解析；（2）m=1 或 m=3. 【解析】 【分析】

9、 （1）求出的值，即可判断出方程根的情况； （2）根据根与系数的关系即可求出答案 7. 关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根。 （1）求实数 的取值范围； （2）若方程的两实根，满足，求 的值。 【答案】（1）k ；（2）k=2 【解析】 试题分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-30，求 出 k 的取值范围； （2）首先判断出两根均小于 0，然后去掉绝对值，进而得到 2k+1=k2+1，结合 k 的取值范围解方程即可 试题解析：（1）原方程有两个不相等的实数根， =（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1

10、-4k2-4=4k-30， 解得：k ； （2）k ， x1+x2=-（2k+1）0， 又x1x2=k2+10， x10，x20， |x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1， |x1|+|x2|=x1x2，2k+1=k2+1， k1=0，k2=2，又k ， k=2 8.已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x 2-2（m+1）x+m2+5=0 的两实数根 （1）若（x1-1）（x2 -1）=28，求 m 的值； （2）已知等腰ABC 的一边长为 7，若 x1，x2恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长 【答案】（1）m 的值为 6;（2）17. (2) 若

11、 7 为腰长，则方程 x 22(m1)xm250 的一根为 7， 即 7 227(m1)m250， 解得 m110，m24， 当 m10 时，方程 x 222x1050，根为 x 115，x27，不符合题意，舍去 当 m4 时，方程为 x 210 x210，根为 x 13，x27，此时周长为 77317 若 7 为底边，则方程 x 22(m1)xm250 有两等根， 0，解得 m2，此时方程为 x 26x90，根为 x 13，x23，337，不成立， 综上所述，三角形周长为 17 9. 已知关于 x 的一元二次方程 22 (21)40 xmxm （1）当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根

12、？ （2）若边长为 5 的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的 2 倍，求 m 的值 【答案】（1）m17 4 ；（2）m=4 【解析】 （2）设方程的两根分别为 a、b，根据题意得：a+b=2m1，ab= 2 4m 2a、2b 为边长为 5 的菱形的两条对角线 的长， 222 ()2ababab= 22 ( 21)2(4)mm =2m2+4m+9=52=25，解得：m=4 或 m=2 a0，b0，a+b=2m10，m=4 10. 已知关于 x 的一元二次方程有实数根 求 m 的取值范围； 当时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径 【答案】；该矩形外接圆的直径是 【解析】 方程有实数根， ， ， 当时，原方程有实数根； 当时，原方程可化为：， 设方程的两个根分别为、，则， 该矩形外接圆的直径是矩形的对角线 AC，如图所示， ， 该矩形外接圆的直径是