中考数学热点难点突破：第1.6讲反比例函数的综合题（解析版）

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1、 考纲要求考纲要求: : 1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的关系式. 借助实际问题情景建立反比例函数关系式，体会反比例函数的意义； 能根据实际问题中数量关系直接列出反比例函数关系式. 在给定已知条件下，能够确定反比例函数关系式. 2. 能画出反比例函数的图象，根据图象和关系式 k y x 0k 探索并理解 k0 和 k0 时，图象的变化 情况. 通过具体的关系式引导学生选取一定数量的对应点，用描点法画反比例函数在某一象限内的图象； 通过具体的反比例函数图象， 结合关系式引导学生能从反比例函数关系式取值特征来分析反比例函数 图象的特征； 通过画图实验探索并理解

2、 k0 或 k0 时，图象的变化情况，掌握用图象、文字和符号语言三种方式 表示反比例函数的性质，并能实现三种语言的相互转化，从 “形”与“数”两个角度说明在每一象限内反 比例函数的增减性； 通过具体的图象引导学生根据双曲线位置确定 k0 或 k0； 结合反比例函数 k y x 0k 的图象理解反比例函数关系式中 k 的几何意义. 基础知识回顾基础知识回顾: : （一）反比例函数的概念（一）反比例函数的概念 1 k y x 0k 可以写成 1 ykx的形式，注意自变量x的指数为1.在解决有关自变量指数问题时应特 别注意系数0k 这一限制条件； 2 k y x 0k 也可以写成xyk的形式，用它可

3、以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反 比例函数的解析式； 3反比例函数 k y x 的自变量0 x ，故函数图象与坐标轴无交点 （二）反比例函数的图象（二）反比例函数的图象及性质及性质 在用描点法画反比例函数 k y x 的图象时，应注意自变量x的取值不能为 0，且x应对称取点（关于原点对 称） 1函数解析式： k y x 0k . 2自变量的取值范围：0 x . 3图象: （1）图象的形状：双曲线 （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，当 k0 时，图象的两支分别位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小. 当 k0 时，图象的两支分别位于第二、四象限；在每个象限内，

4、y随x的增大而增大. 4. 反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 x k y 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对 应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 5 5k的几何意义 如图，设点,P a b是双曲线 k y x 上任意一点，作PAx轴于A点，PBy轴于B点，则矩形PBOA的 面积是k.PAO和PBO的面积都是. 2 k 应用举例应用举例: : 招数一、招数一、反比例函数反比例函数与一次函数的综合与一次函数的综合. 【例【例 1】如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点 P，则关于 x 的方程 的解是_ 【答案】, 招数二

5、、招数二、反比例反比例函数与四边形的综合函数与四边形的综合 【例【例 2】以矩形 ABCD 两条对角线的交点 O 为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示 的平面直角坐标系，BEAC，垂足为 E若双曲线 y=（x0）经过点 D，则 OBBE 的值为_ 【答案】3 【解析】 双曲线 y=（x0）经过点 D， SODF= k= ， 则 SAOB=2SODF= ，即 OABE= ， OABE=3， 四边形 ABCD 是矩形， OA=OB， OBBE=3， 故答案为：3 招数三、招数三、反比例函反比例函数数与旋转与旋转 【例【例 3】如图，在平面直角坐标中，矩形 OABC 的顶点 AC 分

6、别在 x 轴的负半轴、y 轴的正半轴上，点 B 在第 二象限将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使点 B 落在 y 轴上，得到矩形 ODEF，BC 与 OD 相交于点 M若经 过点 M 的反比例函数 y= （x0）的图象交 AB 于点 N，S矩形 OABC=8，tanDOE= ，则 BN 的长为_ 【答案】【答案】 在 RtOCM 中，tanCOM= ， 而 OC=AB=2， MC=1，M（-1，2），把 M（-1，2）代入 y= 得 k=-1 2=-2， 反比例函数解析式为 y=- ， 当 x=-4 时，y=- = ，则 N（-4， ）， BN=2- = 故答案为 招数招数五五、反比例函

7、数上反比例函数上点的坐标点的坐标特征特征 【例【例 4】若与是同类项，点 P（m，n）在双曲线上，则 a 的值为 【答案】3 【解析】 【例【例 5】如图，菱形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴正半轴上，边 BC 在 x 轴上，且 BC=5，sinABC= ，反比例 函数（x0）的图象分别与 AD，CD 交于点 M、点 N，点 N 的坐标是（3，n），连接 OM，MC. （1）求反比例函数的解析式； （2）求证：OMC 是等腰三角形. 【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】 （1）四边形 ABCD 是菱形， ADBC，AB=AD=BC=5， 在 RtAOB 中，sinABC=， OA=4，

8、根据勾股定理得，OB=3， OC=BC-OB=2， C（2，0）， AD=5，OA=4， D（5，4）， 直线 CD 的解析式为 y= x- ， 点 N 的坐标是（3，n）， n=， N（3， ）， 点 N 在反比例函数 y= （x0）图形上， k=3 =4， 反比例函数的解析式为 y= ； 招数招数五五、反比例函数反比例函数的应用的应用 【例【例 6】A，B 两城间的距离为 15 千米，一人行路的平均速度每小时不少于 3 千米，也不多于 5 千米，则表 示此人由 A 到 B 的行路速度 x（千米/小时）与所用时间 y（小时）的关系 y=的函数图象是（ ） A B C D 【答案】D 方法、规

9、律归纳方法、规律归纳: 归纳 1：反比例函数的概念 基础知识归纳： 一般地， 函数 （k 是常数， k0） 叫做反比例函数 反比例函数的解析式也可以写成的形式 自 变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数 基本方法归纳：判断一个函数是否是反比例函数关键是看它的横纵坐标的乘积 k 是否为一个非零常数 注意问题归纳：当 k 及自变量 x 的指数含字母参数时，要同时考虑 k0 及指数为-1 归纳 2：反比例函数的性质 基础知识归纳：当 k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限在每个象限内，y 随 x 的增大而减 小当 k0 时，函数图像的两个分支分别在第二、四象

10、限在每个象限内，随 x 的增大而增大 基本方法归纳：关键是熟练掌握反比例函数的性质 注意问题归纳：准确抓住“在每个象限内”是解答关键 归纳 3：反比例函数图象上点的坐标与方程的关系 基础知识归纳：反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等都等于 k 基本方法归纳：解这类问题的一般方法是数形结合 注意问题归纳：数形结合思想，将线段长度，图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段 间的转化时符号的处理 归纳 4：反比例函数与一次函数的综合运用 基础知识归纳：一次函数与反比例函数的交点坐标为对应方程组的解 基本方法归纳：列方程组是关键 注意问题归纳：坐标要准确，利用增减性时要分象限考虑 归纳

11、 5：反比例函数的图象和 k 的几何意义 基础知识归纳：主要涉及到与三角形、四边形面积问题，线段长度和坐标 基本方法归纳：数形结合思想，坐标线段间的相互转化 注意问题归纳：在确定 k 的值时一定要注意符号问题 实战演练实战演练: 1、在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y（b0）与二次函数 yax2+bx（a0）的图象大致是（ ） A BC D 【答案】D C、抛物线 yax2+bx 开口方向向下，则 a0所以反比例 函数 y的图象位于第一、三象限，故本选项错误； D、抛物线 yax2+bx 开口方向向下，则 a0所以反比例 函数 y的图象位于第一、三象限，故本选项正确； 故选 D 2. 如图

12、，AOB=90 ，且 OA、OB 分别与反比例函数 y= （x0）、y= （x0）的图象交于 A、B 两 点，则 tanOAB 的值是（ ） A B C1 D 【答案】A 【解析】 过点 A 作 ACx 轴于 C，过点 B 作 BDx 轴于 D， 点 A 在反比例函数 y= 的图象上，点 B 在反比例函数 y= 的图象上， SOBD= ，SAOC=2， ， tanOAB= 故选 A 3. 已知四个点的坐标分别是（1，1），（2，2），（，），（5，），从中随机选一个点， 在反比例函数图象上的概率是 【答案】 【解析】 考点：1概率公式；2反比例函数图象上点的坐标特征 4. （2017 黑龙江省

13、齐齐哈尔市） 如图， 菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴的负半轴上， O 是坐标原点， tanAOC= 4 3 ，反比例函数 k y x 的图象经过点 C，与 AB 交于点 D，若COD 的面积为 20，则 k 的值等于 【答案】24 【分析】易证 S菱形ABCO=2SCDO，再根据 tanAOC 的值即可求得菱形的边长，即可求得点 C 的坐标，代入 反比例函数即可解题 5. （2017 云南省）已知点 A（a，b）在双曲线 5 y x 上，若 a、b 都是正整数，则图象经过 B（a，0）、C （0，b）两点的一次函数的解析式（也称关系式）为 【答案】y=5x+5 或 y= 1 5 x+

14、1 【解析】 当 a=5，b=1 时，由题意，得： 50 1 mn n ，解得： 1 5 1 m n ，y= 1 5 x+1 则所求解析式为 y=5x+5 或 y= 1 5 x+1 故答案为：y=5x+5 或 y= 1 5 x+1 6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（4，6）、（5，4），且AB平行于x 轴，将矩形ABCD向左平移，得到矩形ABCD若点A、C同时落在函数的图象上， 则k的值为（ ） A6 B8 C10 D12 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 解：点 A、C的坐标分别为（4，6）、（5，4），且 AB 平行于 x 轴， 平移后，可设点 A、

15、C的坐标分别为（4a，6），（5a，4）， 点 A、C同时落在函数的图象上， 6（4a）4（5a）， 解得 a2， C（3，4）， k3 412， 故选：D 7.在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为 1 时，它的另一边长为 3 （1）设矩形的相邻两边长分别为 x，y 求 y 关于 x 的函数表达式； 当 y3 时，求 x 的取值范围； （2）圆圆说其中有一个矩形的周长为 6，方方说有一个矩形的周长为 10，你认为圆圆和方方的说法对吗？ 为什么？ 【答案】（1） 3 y x （x0）；0 x1；（2）矩形的周长不可能是 6，可能是 10 【解析】 （2）一个矩形的周长为 6，x+y

16、=3，x+ 3 x =3，整理得：x23x+3=0，b24ac=912=30，矩 形的周长不可能是 6； 一个矩形的周长为 10，x+y=5，x+ 3 x =5，整理得：x25x+3=0，b24ac=2512=130，矩形的 周长可能是 10 8.如图， 直线 y=x+m 与双曲线 y= 相交于 A， B 两点， BCx 轴， ACy 轴， 则ABC 面积的最小值为_ 【答案】6 9.已知 A（4，2）、B（n，4）两点是一次函数 y=kx+b 和反比例函数 m y x 图象的两个交点 （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求AOB 的面积； （3）观察图象，直接写出不等式0 m kx

17、b x 的解集 【答案】（1）y=x2， 8 y x ；（2）6；（3）x4 或 0 x2 （2）y=x2 中，令 y=0，则 x=2，即直线 y=x2 与 x 轴交于点 C（2，0），SAOB=SAOC+SBOC= 1 2 22+ 1 2 24=6； （3）由图可得，不等式0 m kxb x 的解集为：x4 或 0 x2 10. 如图， 四边形 ABCD 的四个顶点分别在反比例函数与(x0， 0mn)的图象上， 对角线 BD/y 轴，且 BDAC 于点 P已知点 B 的横坐标为 4 （1）当 m=4，n=20 时 若点 P 的纵坐标为 2，求直线 AB 的函数表达式 若点 P 是 BD 的中点，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由 （2）四边形 ABCD 能否成为正方形？若能，求此时 m，n 之间的数量关系；若不能，试说明理由 【答案】（1）；四边形是菱形，理由见解析；（2）四边形能是正方形，理由见 解析，m+n=32. 【解析】 【详解】 （1）如图 1， 直线的解析式为； 四边形是菱形， 理由如下：如图 2， （2）四边形能是正方形， 理由：当四边形是正方形，记，的交点为 ， , 当时， ， ， ， ， ， .