中考数学热点难点突破：第1.9讲二次函数的综合（解析版）

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1、 考纲要求考纲要求: : 1. 会用描点法画出二次函数的图像，理解二次函数的性质。会用描点法画出二次函数的图像，理解二次函数的性质。 2. 利用二次函数的性质解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题。利用二次函数的性质解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题。 基础知识回顾基础知识回顾: : 一二次函数与一元二次方程的关系一二次函数与一元二次方程的关系 两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴有两个公共点(x 1， 0)(x2， 0)， 一元二次方程 ax 2+bx+c=0 有两个不等实根

2、 =b 2-4ac0。 (2)抛物线y=ax 2+bx+c与x轴只有一个公共点时， 此公共点即为顶点( ， 0) 一元二次方程ax 2+bx+c=0 有两个相等实根， (3)抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴没有公共点，一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数根 =b 2-4ac0. 应用举例应用举例: : 招数一、解决动点问题首先要结合图形性质理解运动变化的细节，尤其注意分情况讨论，准确把我分界点招数一、解决动点问题首先要结合图形性质理解运动变化的细节，尤其注意分情况讨论，准确把我分界点 建立数学模型，得出结论。建立数学模型，得出结论。 【例【例 1】 如图是轮滑场地的截面示意图

3、， 平台 AB距 x轴 （水平） 18 米， 与 y轴交于点 B， 与滑道 y= （x1） 交于点 A，且 AB=1 米运动员（看成点）在 BA方向获得速度 v米/秒后，从 A 处向右下飞向滑道，点 M 是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：M，A 的竖直距离 h（米）与飞出时间 t（秒）的平方成 正比，且 t=1时 h=5，M，A的水平距离是 vt米 （1）求 k，并用 t表示 h； （2）设 v=5用 t表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y，并求 y与 x 的关系式（不写 x的取值范围），及 y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙同时从 A 处飞出，速度分别

4、是 5 米/秒、v乙米/秒当甲距 x 轴 1.8 米，且乙位于甲右 侧超过 4.5 米的位置时，直接写出 t的值及 v乙的范围 【答案】（1）k=18，h=5t2；（2）x=5t+1，y=5t2+18，y=，当 y=13 时，运动员在与正下 方滑道的竖直距离是 10 米；（3）t=1.8，v乙7.5 （2）v=5，AB=1，x=5t+1， h=5t2，OB=18，y=5t2+18， 由 x=5t+1，则 t= （x-1）， y= （x-1）2+18=， 当 y=13 时，13= （x-1）2+18， 解得 x=6 或4， x1， x=6， 把 x=6代入 y=， y=3， 运动员在与正下方滑道

5、的竖直距离是 133=10（米）； 招数二招数二、函数的增减性函数的增减性.需要特别注意，反比例函数需要分象限讨论增减性需要特别注意，反比例函数需要分象限讨论增减性;二次函数要考虑对称轴，对称轴二次函数要考虑对称轴，对称轴 的左右两边的增减性不同的左右两边的增减性不同. 【例【例 2】已知二次函数与反比例函数（）的图象都经过点 A（1，m） （1）求反比例函数的表达式； （2）当二次函数与反比例函数的值都随 x 的增大而减小时，求 x 的取值范围 【答案】（1）； （2）当时，二次函数与反比例函数的值都随 x 的增大而减小 【解析】 （1）将 A（1，m）代入 得 将 A（1，5）代入 得 反

6、比例函数的表达式为 （2）， 抛物线的对称轴为直线，且开口向上 当时，二次函数的值随 x 的增大而减小 又当时，函数值随 x的增大而减小， 当时，二次函数与反比例函数的值都随 x的增大而减小 【例【例 3 3】 2已知：二次函数 中的 和 满足下表： 0 1 2 3 3 0 0 m (1) 观察上表可求得 的值为_； (2) 试求出这个二次函数的解析式； (3) 若点 A（n+2，y1），B（n，y2）在该抛物线上，且 y1y2，请直接写出 n 的取值范围. 【答案】（1）3；（2）；（3）n0 【解析】 （1）观察已知表格中的对应值可知：该函数图象的开口向上，对称轴是直线 x=1， 由抛物线

7、的对称性可知：x=3时的对应函数值与 x= -1 时的对应函数值相等，即 m的值为 3； （2）把、（1，-1）、（2, 0）代入二次函数 ，得 ， 解得： 这个二次函数的解析式为 ； 招数招数三三、 二次函数的一般解析式用待定系数法即可求解画出二次函数的一般解析式用待定系数法即可求解画出 图形，求出相应线段长图形，求出相应线段长.将不规则四边形面积将不规则四边形面积 转化为矩转化为矩形面积与三角形面积的差或和即可解决形面积与三角形面积的差或和即可解决. 【例【例 4】如图，已知二次函数 y=ax2+3x+c的图象经过点 C（0，4），与 x 轴分别交于点 A，点 B（4，0）点 P 是直线

8、BC 上方的抛物线上一动点 （1）求二次函数 y=ax2+2x+c的表达式； （2）连接 PO，PC，并把POC 沿 y 轴翻折，得到四边形 POPC若四边形 POPC 为菱形，请求出此时点 P 的坐标； （3） 当点 P 运动到什么位置时， 四边形 ACPB 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ACPB 的最大面积 【答案】（1）；（2）（，2）；（3）当点 P 的坐标为（2 ，6）时，四边形 ACPB 的最大面积值为 18 （2）若四边形 POPC 为菱形，则点 P 在线段 CO的垂直平分线上， 如图 1，连接 PP，则 PECO，垂足为 E， （3）如图 2， P 在抛物线上，设

9、 P（m，m2+3m+4）， 设直线 BC的解析式为 y=kx+b， 将点 B和点 C的坐标代入函数解析式，得 解得 直线 BC 的解析为 y=x+4， 设点 Q的坐标为（m，m+4）， PQ=m2+3m+4（m+4）=m2+4m 当 y=0 时，x2+3x+4=0， 解得 x1=1，x2=4， OA=1， AB=4（1）=5， 【例【例5 5】 如图，平面直角坐标系 xOy中点 A 的坐标为（1，1），点 B 的坐标为（3，3），抛物线经过 A、O、B 三点，连接 OA、OB、AB，线段 AB交 y轴于点 E （1）求点 E的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）点 F 为线段 OB

10、上的一个动点（不与点 O、B 重合），直线 EF 与抛物线交于 M、N 两点（点 N 在 y 轴右侧），连接 ON、BN，当四边形 ABNO 的面积最大时，求点 N的坐标并求出四边形 ABNO面积的最大 值 【答案】（1）E点坐标为(0, )；（2） ；（3）四边形 ABNO面积的最大值为，此时 N点坐 标为( ， ) 【解析】 （1）设直线 AB 的解析式为 y=mx+n， 把 A（-1，1），B（3，3）代入得，解得， 所以直线 AB 的解析式为 y x+ ， 当 x=0时，y 0+ ， 所以 E点坐标为(0， )； （3）如图，作 NGy轴交 OB于 G，OB的解析式为 y=x， 设 N

11、(m， m2 m)(0m3)，则 G（m，m）， GNm( m2 m) m2+ m， SAOB=SAOE+SBOE= 1+ 3=3， SBONSONG+SBNG 3( m2+ m) m2+ m 所以 S四边形ABNOSBON+SAOB m2+ m+3 (m )2+ 当 m 时，四边形 ABNO面积的最大值，最大值为，此时 N 点坐标为( ， ) 【例【例 6】 已知，抛物线 y=ax2+3ax+c（a0）与 y轴交于点 C，与 x轴交于 A，B两点，点 A在点 B 左侧点 B的坐 标为（1，0），OC=3OB (1)直接写出 C点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点 D是线段 AC

12、下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 面积的最大值 【答案】(1) （0，3）；(2) y= x2+ x3；(3) 四边形 ABCD 面积的最大值为 13.5 (3)过点 D作直线 DEy轴，交 AC于点 E，交 x轴于点 F，过点 C 作 CGDE于点 G，如图所示 当 y=0 时，有 x2+ x3=0， 解得：x1=4，x2=1， 点 A的坐标为（4，0）， AB=5 设直线 AC的解析式为 y=kx+b（k0）， 将 A（4，0）、C（0，3）代入 y=kx+b，得： ，解得：， 直线 AC的解析式为 y= x3 答：四边形 ABCD 面积的最大值为 方法、规律归纳方法、规律归纳: :

13、 1 1、当数学问题中的条件、结论不明确或题目中含参数或图形不确定是时，需要进行分类讨论。分类讨论要、当数学问题中的条件、结论不明确或题目中含参数或图形不确定是时，需要进行分类讨论。分类讨论要 按统一标按统一标准准 ，做到不重复不遗漏，做到不重复不遗漏。 2 2、对于两个函数交点的问题，一般要转化为方程来求解、对于两个函数交点的问题，一般要转化为方程来求解 ，因为两个函数图象交点的坐标一定适合两个函，因为两个函数图象交点的坐标一定适合两个函 数解析式，只有将点的坐标代入函数解析式再利用等量代换转化为一元二次方程求解即可数解析式，只有将点的坐标代入函数解析式再利用等量代换转化为一元二次方程求解即

14、可 3 3、解是否存在某点问题时，一般先假设符合条件的点存在，并列出解析式，如果能求出结果，则点存在，、解是否存在某点问题时，一般先假设符合条件的点存在，并列出解析式，如果能求出结果，则点存在， 反之则不存在。反之则不存在。 4 4、利用二次函数解决实际问题时，一般要先通过分析已知的数量关系，确定二次函数的解析式，建立函数、利用二次函数解决实际问题时，一般要先通过分析已知的数量关系，确定二次函数的解析式，建立函数 模型然后通过计算函数值或代入函数值得到关于自变量的方程求解得到实际问题的答案。模型然后通过计算函数值或代入函数值得到关于自变量的方程求解得到实际问题的答案。 实战演练实战演练: :

15、1、足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力， 足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论： 足球距离地面的最大高度为20m； 足球飞行路线的对称轴是直线 9 2 t ； 足球被踢出9s时 落地；足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 2、(2017凉山)一次函数与二次函数的图象大致是( ) 3. 二次函数与一次函数的图象如图所示， 则满的x的取值

16、范围是（ ） A B或 C或 D 【答案】A 4.如图，平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线 y1x 2（x0）与 y 2（x0）B、C 两点，过点 C 作 y 轴的 平行线交 y1于点 D，直线 DEAC，交 y2于点 E，则_ 【答案】 【解析】 解：设 A 点坐标为（0，a），（a0）， 则 x2a，解得 x1， 点 B（，a），a， 则 x2， 点 C（，a）， BC CDy轴， 点 D的横坐标与点 C的横坐标相同，为， 5、如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x-3 交于 A，B 两点，其中点 B 在 y 轴上，点 A 坐标为（-4，-5）， 点 P 为 y 轴左侧的

17、抛物线上一动点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，交 AB 于点 D （1）求抛物线的解析式； （2）以 O，B，P，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3） 当点 P 运动到直线 AB 下方某一处时， PAB 的面积是否有最大值？如果有， 请求出此时点 P 的坐标 【答案】（1）y=x2+ x-3（2）存在，（-2-，-1-），（-1，-），（-3，-）（3）（-2，-8） 【解析】 （2）存在， 设 P（m，m2+ m-3），（m0）， D（m， m-3）， PD=|m2+4m| PDBO， 当 PD=OB=3，故存在以 O，B，P，D 为顶点

18、的平行四边形， |m2+4m|=3， 当 m2+4m=3 时， m1=-2-，m2=-2+（舍）， 当 m=-2-时，则 m2+ m-3=-1- P（-2-，-1-）， 当 m2+4m=-3 时， m1=-1，m2=-3， 当 m1=-1 时，则 m2+ m-3=-， P（-1，-）， 当 m2=-3，m2+ m-3=-， P（-3，-）， 点 P 的坐标为（-2-，-1-），（-1，-），（-3，-） 6、在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 43yxx与x轴交于点AB、（点A在点B的左侧），与y轴 交于点C. （1）求直线BC的表达式； （2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点 1122 ,

19、P x yQ xy，与直线BC交于点 33 ,N xy，若 123 xxx，结合函数的图象，求 123 xxx的取值范围. (2).由 22 43(2)1yxxx，抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线 x=2, 12 yy , 1 x+ 2 x=4.令 y=-1,y=-x+3,x=4. 123 xxx，3 3 x4, 即 7 123 xxx8, 123 xxx的 取值范围为：7 123 xxx8. 7、已知直线与抛物线有一个公共点，且 （）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； （）说明直线与抛物线有两个交点； （）直线与抛物线的另一个交点记为 （）若，求线段长度的取值范围； （）求

20、面积的最小值 （）把 y=2x-2 代入 y=ax 2+ax-2a，得 ax2+（a-2）x-2a+2=0， 即 x 2+(1- )x-2+=0，所以（x-1）（x+2-）=0, 解得 x1=1,x2 =-2，所以点 N（-2，-6）. （i）根据勾股定理得，MN 2=（ -2）-1 2+（ -6） 2=20（ ） 2， 因为-1a-，由反比例函数性质知-2 -1，所以0， 所以 MN=2 （ ）=3 ，所以 5MN7. （ii）作直线 x=- 交直线 y=2x-2 于点 E，把 x=-代入 y=2x-2 得，y=-3，即 E（-，-3）， 又因为 M（1，0），N（-2，-6），且由（）知

21、a0， 所以QMN 的面积 S=SQEN+SQEM= = ， 即 27a 2+(8S-54)a+24=0，（*） 8、 在平面直角坐标系 xOy中， 直线与抛物线的对称轴交于点， 点 A 关于 x轴的对称点恰为抛物线的顶点 （1）求抛物线的对称轴及 a的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记直线与抛物线围成的封闭区域（不含边界）为 W 当时，直接写出区域 W内的整点个数； 若区域 W内恰有 3 个整点，结合函数图象，求 b的取值范围 【答案】（1）；（2）2；或. 【解析】 【详解】 解：（1）变形得：. 对称轴为 点 的坐标为可得抛物线顶点为 把点 坐标代入抛物线可得： 9、 如图，

22、直线 2 3 yxc 与x轴交于点(3,0)A， 与y轴交于点B， 抛物线 2 4 3 yxbxc 经过点A， B. （1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为 x 轴上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 P、N， 点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标； 点M在x轴上自由运动， 若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点 （三点重合除外） ， 则称M，P，N三点为“共谐点”.请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值. （2）MNx轴，M（m，0），N( 2 410 ,2 33

23、mmm ) 有（1）知直线 AB 的解析式为 2 2 3 yx ，OA=3，OB=2 在APM 中和BPN 中，APM=BPN, AMP=90， 若使APM 中和BPN 相似，则必须NBP=90或BNP =90， 分两种情况讨论如下： （I）当NBP=90时，过点 N 作 NCy轴于点 C， 则NBC+BNC=90，NC=m， BC= 22 410410 22 3333 mmmm NBP=90，NBC+ABO=90， BNC=ABO， RtNCB RtBOA NCCB OBOA ,即 2 410 33 23 mm m ，解得 m=0（舍去）或 m=11 8 M（11 8 ，0）； （II）当B

24、NP=90时， BNMN， 点 N 的纵坐标为 2， 2 410 22 33 mm 解得 m=0（舍去）或 m= 5 2 M（ 5 2 ，0）； 综上，点 M 的坐标为（11 8 ，0）或 M（ 5 2 ，0）； m=-1 或 m= 1 4 或 m= 1 2 . 10、如图，已知二次函数 yax2+bx3a经过点 A（1，0），C（0，3），与 x轴交于另一点 B，抛物线 的顶点为 D （1）求此二次函数解析式； （2）连接 DC、BC、DB，求证：BCD 是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的 坐标；若不存在，请

25、说明理由 【答案】（1）yx2+2x+3；（2）证明见解析；（3）存在，点 P 坐标为（，）或（2，3） （2）由 yx2+2x+3（x1）2+4 得，D 点坐标为（1，4）， CD， BC， BD， CD2+BC2（）2+（3）220，BD2（2）220， CD2+BC2BD2， BCD 是直角三角形； （3）存在 yx2+2x+3 对称轴为直线 x1 若以 CD为底边，则 P1DP1C， 设 P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得 P1C2x2+（3y）2，P1D2（x1）2+（4y）2， 因此 x2+（3y）2（x1）2+（4y）2， 若以 CD为一腰， 点 P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2与点 C关于直线 x1对称，此时点 P2坐标为 （2，3） 符合条件的点 P 坐标为（，）或（2，3）