中考数学热点难点突破：第1.7讲求二次函数的最值（解析版）

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1、 考纲要求考纲要求: : 1. 会用描点法画出二次函数的图像，理解二次函数的性质。 2. 利用二次函数的性质解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题。 基础知识回顾基础知识回顾: : 二次函数的图象和性质 二次函数的 图象和性质 图象 开口 向上上 向下下 对 称 轴 x 顶 点 坐标 增 减 性 当x时， y随x的增大而增大增大； 当 x时， y 随 x 的增大而减小减小. 当 x时，y 随 x 的增大而减小减小；当 x 时，y 随 x 的增大而增大增大. 最值 x= ， y最小. x= ， y最大. 应用举例应用举例: : 招数一、利用招数一、利用二次函数的二次函数的图像

2、图像 和性质，用和性质，用最值最值的公式解决最值问题问题的公式解决最值问题问题 【例【例 1】 如果二次函数图象对称轴为直线， 那么二次函数的最小值是_; 【答案】17 【解析】 由图象的对称轴为直线 x=3，得 - 解得 k=-2， 二次函数解析式为 y= y=(x-3)2-17, 二次函数的最小值是-17. 故答案为：-17. 【例【例 2】已知二次函数 yx22x2在 mxm1 时有最小值 m，则整数 m的值是（ ） A1 B2 C1或 2 D 1 或 2 【答案】C 招数二、招数二、解决与二次函数的增减性有关的解决与二次函数的增减性有关的最之最之问题时，简便的方法是结合图象，利用数形结

3、合的思想直观问题时，简便的方法是结合图象，利用数形结合的思想直观 地得出结论地得出结论，不限定自变量的取值范围求最值，不限定自变量的取值范围求最值 【例【例 3 3】 如图， 抛物线 y=ax 2+bx(a0） 过点 E(10,0)， 矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上 （点 A 在点 B 的左边） ， 点 C，D 在抛物线上设 A(t,0)，当 t=2 时，AD=4 （1）求抛物线的函数表达式 （2）当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 G，H，且 直线 G

4、H 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离 【答案】（1）；（2）当 t=1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值为；（3）抛物线向右 平移的距离是 4 个单位 （2）由抛物线的对称性得， ， 当时， 矩形的周长 ， ， ， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）如图， 【例 4】已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点 A（3，0），C（1，0） (1)求二次函数的解析式； (2)如图， 点 P 是二次函数图象的对称轴上的一个动点， 二次函数的图象与 y轴交于点 B， 当 PB+PC最小时， 求点 P 的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上有一点 Q，当QAB的面积最大时，

5、求点 Q的坐标 【答案】(1)y=x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)当 m= 时，S最大，此时 Q（ ，） 【解析】 （1）把点 A（3，0）、C（-1，0）代入 y=-x2+bx+c中， 得，解得， 则抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3； （3）设 Q（m，-m2+2m+3），QAB的面积为 S，如图，连接 QA，QB，OQ 则 S=SOBQ+SAOQ-SAOB = 3m+ 3（-m2+2m+3）- 3 3 =- m2+ m =- （m- ）2+， 当 m 时，S 最大，此时 Q（ ，） 招数三、招数三、 二次函数的最值一定要结合实际问题中自变量的取值范围确定二次函数的最值一定要

6、结合实际问题中自变量的取值范围确定， 即， 即限定自变量的取值范围求最值限定自变量的取值范围求最值 【例 5】当2x1 时，关于 x的二次函数 y（xm）2+m2+1有最大值 4，则实数 m 的值为（ ） A2 B2或 C2 或或 D2 或或 【答案】B 招数四、由函数的最大值，确定的自招数四、由函数的最大值，确定的自变量的取值范围。变量的取值范围。 【例【例 6 6】（2017 辽宁省锦州市）如图，二次函数 2 yaxbxc的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为 （ 1 2 ，1），下列结论：abc0；a=b；a=4c4；方程 2 1axbxc有两个相等的实数根，其中 正确的结论是 （只填

7、序号即可） 解析：根据图示知，抛物线开口方向向下，a0 由对称轴在 y 轴的右侧知 b0，抛物线与 y 轴正半轴相交，c0，abc0故错误； 抛物线的对称轴直线 x= 1 22 b a ，a=b故错误； 该抛物线的顶点坐标为（ 1 2 ，1），1= 2 4 4 acb a ，b24ac=4ab=a，a24ac=4a，a 0，等式两边除以 a，得 a4c=4，即 a=4c4故正确； 二次函数 2 yaxbxc的最大值为 1，即 2 1axbxc，方程 2 1axbxc有两个相等的实 数根故正确 综上所述，正确的结论有 故答案为： 方法、规律归纳: 一、二次函数最值的方法与技巧：一、二次函数最值的

8、方法与技巧： 1 1、若自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值或最小值。、若自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值或最小值。 2 2、若自变量的取值范围是、若自变量的取值范围是 21 xxx，若，若- - a b 2 在自变量的取值范围内，则当在自变量的取值范围内，则当 x=x=- - a b 2 时，时，y=y= a bac 4 4 2 是是 其中的一个最值。另一个最值在其中的一个最值。另一个最值在 1 xx 或或 2 xx 处取得。若处取得。若 a b 2 不在自变量的取值范围内，则函数的最值不在自变量的取值范围内，则函数的最值 即为函数在即为函数在 1 xx

9、， 2 xx 时的函数值，且较大的为最大值，较小的为最小值，最大值和最小值是同时存时的函数值，且较大的为最大值，较小的为最小值，最大值和最小值是同时存 在的。在的。 二、二、解决最值应用题要注意两点解决最值应用题要注意两点 设未知数，在设未知数，在 “当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要 设为函数；设为函数； 求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在 自变量的取值范围内自变量的取值范围内. . 实战演练实战演练:

10、: 1、二次函数的最大值是 ，则_ 【答案】 2.如图所示，点 C 是线段 AB 上的一个动点，AB1，分别以 AC和 CB为一边作正方形，用 S表示这两个正 方形的面积之和，下列判断正确的是( ) A当点 C是 AB 的中点时，S最小 B当点 C是 AB的中点时，S最大 C当点 C为 AB的三等分点时，S最小 D当点 C为 AB的三等分点时，S最大 【答案】A 3.二次函数 2 yaxbxc（a、b、c 是常数，且 a0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A4acb2 Babc0 Cb+c3a Dab 4、抛物线与直线 y=-x+5 一个交点 A（2，m），另一个交点 B 在 x 轴上

11、，点 P 是线段 AB 上 异于 A、B 的一个动点，过点 P 做 x 轴的垂线，交抛物线于点 E； （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的点 P，使线段 PE 长度最大？若存在求出最大值及此时点 P 的坐标，若不存在说明理 由； （3）求当 PAE 为直角三角形时点 P 的坐标. 【答案】（1）；(2) 当 P时，PE长度的最大值为 （3）. （2）设 P 的横坐标 m, 则 . . m= 时, 当 P时，PE长度的最大值为 5、如图，二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3，0）， 顶点 C 的坐标为（1，4

12、） （1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式； （2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值； 0=a（31） 2+4，解得 a=1， 6、 （2017 毕节）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0），B（4，0），C（0， 4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理 由； （3）动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大

13、，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积 （2）作 OC 的垂直平分线 DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点 P，如图 1， （3）点 P 在抛物线上， 可设 P（t，t 23t4）， 过 P 作 PEx 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，如图 2， B（4，0），C（0，4）， 直线 BC 解析式为 y=x4， F（t，t4）， PF=（t4）（t 23t4）=t2+4t， SPBC=SPFC+SPFB=PFOE+PFBE=PF（OE+BE）=PFOB=（t 2+4t）4=2（t2）2+8， 当 t=2 时，SPBC最大值为 8，此时 t 23t4=6， 当 P 点坐标为（

14、2，6）时，PBC 的最大面积为 8 7 7、如图， 过抛物线上一点 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 B，交 y轴于点 C，已知点 A的横坐标 为1，在 AB 上任取一点 P，连结 OP，作点 C关于直线 OP 的对称点 D，连结 BD，则线段 BD的最小值 为_. 【答案】2 如图 1 中， 由题意点 D在以 O为圆心 OC 为半径的圆上， 当 O、D、B 共线时，BD的最小值=OB-OD=-3=2 故答案为：2 8、如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0）、C（2，3）两点，与 y轴交于点 N，其 顶点为 D （1）求抛物线及直线 AC的函数关系式； （2

15、）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点 M，使ANM 的周长最小若存在，请求出 M点的坐标和ANM 周长的最 小值；若不存在，请说明理由 【答案】（1）yx22x+3；yx+1；（2）当 x 时，APC 的面积取最大值，最大值为，此时 点 P 的坐标为（ ，）；（3）在对称轴上存在一点 M（1，2），使ANM的周长最小，ANM周长 的最小值为 3 （2）过点 P 作 PEy轴交 x轴于点 E，交直线 AC于点 F，过点 C 作 CQy轴交 x轴于点 Q，如图 1所示 （3）当 x0时，yx22x+33，

16、点 N的坐标为（0，3） yx22x+3（x+1）2+4， 抛物线的对称轴为直线 x1 点 C的坐标为（2，3）， 点 C，N关于抛物线的对称轴对称 令直线 AC与抛物线的对称轴的交点为点 M，如图 2 所示 点 C，N关于抛物线的对称轴对称， MNCM， AM+MNAM+MCAC， 此时ANM 周长取最小值 当 x1时，yx+12， 此时点 M 的坐标为（1，2） 点 A的坐标为（1，0），点 C的坐标为（2，3），点 N 的坐标为（0，3）， AC 3，AN ， CANMAM+MN+ANAC+AN3+ 在对称轴上存在一点 M（1，2），使ANM 的周长最小，ANM 周长的最小值为 3+ 9

17、、（2017 四川省凉山州）为了推进我州校园篮球运动的发展，2017 年四川省中小学生男子篮球赛于 2 月 在西昌成功举办在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共 60 个，其进价与售价间的 关系如下表： 篮球 排球 进价（元/个） 80 50 售价（元/个） 105 70 （1）商店用 4200 元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？ （2）设商店所获利润为 y（单位：元），购进篮球的个数为 x（单位：个），请写出 y 与 x 之间的函数关系 式（不要求写出 x 的取值范围）； （3）若要使商店的进货成本在 4300 元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于 1400

18、 元，请你列举出商 店所有进货方案，并求出最大利润是多少？ （3）设购进篮球 x 个，则购进排球（60 x）个，根据进货成本在 4300 元的限额内且全部销售完后所获利 润不低于 1400 元，即可得出关于 x 的一元一次不等式组，解之即可得出 x 的取值范围，取其整数即可得出 各购进方案，再结合（2）的结论利用一次函数的性质即可解决最值问题 试题解析：（1）设购进篮球 m 个，排球 n 个，根据题意得： 60 80504200 mn mn ，解得： 40 20 m n 答：购进篮球 40 个，排球 20 个 10、为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在 15

19、 天内完成，约定 这批纪念品的出厂价为每件 20 元，设第 x 天（1x15，且 x 为整数）每件产品的成本是 p 元，p 与 x 之间 符合一次函数关系，部分数据如表： 天数（x） 1 3 6 10 每件成本 p（元） 7.5 8.5 10 12 任务完成后，统计发现工人李师傅第 x 天生产的产品件数 y（件）与 x（天）满足如下关系：y= ， 设李师傅第 x 天创造的产品利润为 W 元 （1）直接写出 p 与 x，W 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围： （2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？ （3）任务完成后统计发现平均每个工人每天创造的利润为 299

20、 元工厂制定如下奖励制度：如果一个工 人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得 20 元奖金请计算李师傅共可获得多少元奖金？ 【答案】（1）W=；（2）李师傅第 8 天创造的利润最大，最大 利润是 324 元；（3）李师傅共可获得 160 元奖金 （2）当 1x10 时， W=x2+16x+260=（x8）2+324， 当 x=8 时，W 取得最大值，此时 W=324， 当 10 x15时， W=20 x+520， 当 x=10 时，W 取得最大值，此时 W=320， 324320， 李师傅第 8天创造的利润最大，最大利润是 324元； （3）当 1x10 时， 令x2+16x+260=299，得 x1=3，x2=13， 当 W299 时，3x13， 1x10， 3x10， 当 10 x15时， 令 W=20 x+520299，得 x11.05， 10 x11， 由上可得，李师傅获得奖金的月份是 4月到 11 月，李师傅共获得奖金为：20 （113）=160（元）， 即李师傅共可获得 160元奖金