中考数学热点难点突破：第2.1讲相似形的综合题（解析版）

《中考数学热点难点突破：第2.1讲相似形的综合题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学热点难点突破：第2.1讲相似形的综合题（解析版）（31页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、 考纲要求考纲要求: 1.了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2.知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。 3.了解两个三角形相似的概念；知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平 方；会利用两个三角形相似的条件判定两个三角形相似。 4.会利用图形的相似解决一些实际问题。 5.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。 基础知识回顾基础知识回顾: 知识点一：知识点一：比例线段比例线段 1. 比例 线段 在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 a

2、c bd ，那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段 2.比例 的 基 本 性 质 (1)基本性质： ac bd adbc；（b、d0） (2)合比性质： ac bd ab b cd d ；（b、d0） (3)等比性质： ac bd m n k(bdn0) . . acm bdn k.（b、d、n0） 3.平 行 线 分 线 段 成 比 例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示， 若 l3l4l5，则 ABDE BCEF . （2）平行于三角形一边的直 线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的 对应线段成比例. 即如图所示，若 ABCD，则

3、 OAOB ODOC . （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三 角形相似 如图所示，若 DEBC，则ADEABC. 4.黄 金 分割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果AC AB= 51 2 0.618，那么线段 AB 被点 C 黄金分割其中点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金 比 知识点二知识点二 ：相相似三角形的性质与判定似三角形的性质与判定 5.相 似 三 角 形 的 判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若AD，BE，则ABCDEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相

4、似 如图，若 AD， ACAB DFDE ，则ABCDEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似如图，若 ABACBC DEDFEF ， 则ABCDEF. 6.相似 三角形的 性质 (1)对应角相等相等，对应边成比例成比例 (2)周长之比等于相似比相似比，面积之比等于相似比的平方相似比的平方 (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比相似比 7.相似三 角 形 的 基 本 模 型 应用举例应用举例: 招数一、招数一、函数与相似的综合函数与相似的综合 【例【例 1】如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A 是反比例函数 y=（x0，m1）图象上一点，点 A 的横坐标为

5、 m，点 B（0，m）是 y轴负半轴上的一点，连接 AB，ACAB，交 y轴于点 C，延长 CA 到点 D，使得 AD=AC，过点 A 作 AE平行于 x 轴，过点 D 作 y轴平行线交 AE于点 E （1）当 m=3时，求点 A的坐标； （2）DE= ，设点 D的坐标为（x，y），求 y关于 x 的函数关系式和自变量的取值范围； （3）连接 BD，过点 A作 BD 的平行线，与（2）中的函数图象交于点 F，当 m为何值时，以 A、B、D、F 为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）点 A 坐标为（3，6）；（2）1，y=（x2）；（3）m=2 时，以 A、B、D、F 为顶点的四边形是平行

6、四边形 【解析】 （2）如图，延长 EA交 y轴于点 F， DEx轴 FCA=EDA，CFA=DEA， AD=AC， FCAEDA， DE=CF， A（m，m2m），B（0，m）， （3）由题意可知，AFBD 当 AD、BF为平行四边形对角线时， 由平行四边形对角线互相平分可得 A、D和 B、F的横坐标、纵坐标之和分别相等 设点 F坐标为（a，b） a+0=m+2m b+（m）=m2m+m2m1 a=3m，b=2m2m1 代入 y=，得 2m2m1=， 解得 m1=2，m2=0（舍去） 当 FD、AB为平行四边形对角线时， 同理设点 F坐标为（a，b）， 则 a=m，b=1m，则 F点在 y轴

7、左侧，由（2）可知，点 D 所在图象不能在 y轴左侧 此情况不存在， 综上当 m=2 时，以 A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形 【例【例 2】如图，以 D 为顶点的抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 BC 的表达式 为 y=x+3 （1）求抛物线的表达式； （2）在直线 BC 上有一点 P，使 PO+PA 的值最小，求点 P 的坐标； （3）在 x 轴上是否存在一点 Q，使得以 A、C、Q 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请求出点 Q 的 坐标；若不 存在，请说明理由 【答案】（1）y=x2+2x+3；（2）P ( ,)；（3）当 Q

8、 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以 A、C、Q 为顶点的三角形与BCD 相似 （2）如图所示：作点 O关于 BC的对称点 O，则 O（3，3） O与 O关于 BC 对称， PO=PO OP+AP=OP+APAO OP+AP 的最小 值=OA=5 OA的方程为 y= P 点满足解得： P ( ,) 如图所示：连接 AC，过点 C 作 CQAC，交 x 轴与点 Q ACQ为直角三角形，COAQ， ACQAOC 又AOCDCB， ACQDCB ，即，解得：AQ=10 Q（9，0） 综上所述，当 Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以 A、C、Q为顶点的三角形与BCD 相似 招数二、招数二、圆与相

9、似的综合圆与相似的综合 【例【例 3】 招数招数三三、动点中的相似问题动点中的相似问题 【例【例 4】如图 1,在 RtABC 中,ACB=90，AC=8，BC=6，CDAB 于点 D点 P 从点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动， 点 Q 从点 C 出发， 沿线段 CA 向点 A 运动， 两点同时出发， 速度都为每秒 1 个单位长度， 当点 P 运动到 C 时，两点都停止.设运动时间为 t 秒. (1)设CPQ 的面积为 S.求 S 与 t 之间的函数关系式: (2)如图 2，在运动过程中是否存在某一时刻 t,使得沿 PC 翻折CPQ 所得到的到的四边形 CQPM 是菱形?若 存在，求

10、出 t 的值；若不存在，请说明理由： (3)是否存在某一时刻 t，使得 P、Q、B 三点共线?若存在，求出 t的值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 解：（1）如图 1， ACB=90 ，AC=8，BC=6，AB=10 CDAB，SABC= BCAC= ABCDCD=4.8 过点 P 作 PHAC，垂足为 H，如图 a 所示 （2）存在，理由：过点 Q作 QHCP，垂足为 H，如图 2 所示 CDABQHAB， = , =,即= ，= QH= t，CH= t 当四边形 CQPM 是菱形时，CQ=QP,CH= CP t= （4.8-t），解得： （3）由题意得，如图 3，

11、当QPC=BPD时，点 Q、P、B三点共线， 【例【例 5】如图 1，已知ABC 中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向点 A 匀速 运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C匀速运动，它们的速度均为 2cm/s连接 PQ，设运动的时间为 t（单位：s）（0t4）解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQBC （2）设AQP 面积为 S（单位：cm2），当 t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值 （3）是否存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把ABC 的面积平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说 明理由 （4）如图 2，把A

12、QP 沿 AP 翻折，得到四边形 AQPQ那么是否存在某时刻 t，使四边形 AQPQ为菱形？ 若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由 【答案】（1）s（2）当 t= s 时，S 取得最大值，最大值为cm2（3）不存在。理由见解析（4）存在， cm2 【解析】解：AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm， 由勾股定理逆定理得ABC 为直角三角形，C 为直角。 （1）BP=2t，则 AP=102t 若 PQBC，则，即，解得。 当s 时，PQBC。 （3）不存在。理由如下： 假设存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把ABC 的面积平分， 则有 S AQP = SABC，而 SABC= A

13、CBC=24，此时 S AQP =12。 由（2）可知，S AQP =，=12，化简得：t25t+10=0。 =（5）24 1 10=150，此方程无解， 不存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把ABC 的面积平分。 （4）存在。 假设存在时刻 t，使四边形 AQPQ为菱形， 则有 AQ=PQ=BP=2t。 如图 2 所示，过 P 点作 PDAC 于点 D， 则有 PDBC， APDABC。 ，即。 解得：PD=，AD=， QD=ADAQ=。 存在时刻 t=，使四边形 AQPQ为菱形，此时菱形的面积为cm2。 招数招数四四、相似中的分类讨论相似中的分类讨论 【例【例 6】如图，在平面直角坐标系中

14、，二次函数 y=（x-a）（x-3）（0a3）的图象与 x轴交于点 A、B（点 A 在点 B的左侧），与 y轴交于点 D，过其顶点 C作直线 CPx 轴，垂足为点 P，连接 AD、BC. （1）求点 A、B、D的坐标； （2）若AOD与BPC相似，求 a的值； （3）点 D、O、C、B 能否在同一个圆上，若能，求出 a 的值，若不能，请说明理由. 【答案】（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a 的值为 .（3）当 a=时，D、O、C、B 四 点共圆. AODCPB， ， 即 ，解得：a1=3（舍），a2= . 综上所述：a的值为 ； （3）能；连接 BD，取 BD 中

15、点 M， D、B、O三点共圆，且BD为直径，圆心为M（ ， a）， 若点 C 也在此圆上， MC=MB， ， 招数招数五五、相似在实际问题中的应用相似在实际问题中的应用 【例【例 7】九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步， 各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？” 用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为 200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 位于的中点，南门 位于的中点，出东门 15 步的 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 处的树 木（即点 在直线上）？请你计算的长为_步 【答案】 【例【例 8】如图，甲、乙两盏

16、路灯杆相距 20 米，一天晚上，当小明从灯甲底部向灯乙底部直行 16 米时，发现 自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部.已知小明的身高为1.6米，那么路灯甲的高为（） A. 7 米 B. 8 米 C. 9 米 D. 10 米 【答案】B 方法、规律归纳方法、规律归纳: 1 列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子 表示，再求代数式的值，也可以用

17、给出的字母中表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设如下题可设 a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得再代入所求式子，也可以把原式变形得 a=3/5b 代入求解代入求解. 例：若例：若 3 5 a b ，则，则 ab b 8 5 . 3利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质 求解求解. 4判定三角形相似的思路：条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定

18、；条件中若有一对等判定三角形相似的思路：条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；条件中若有一对等 角， 可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例； 条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；角， 可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例； 条件中若有两边对应成比例可找夹角相等； 条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；条件中若有等腰关系，条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；条件中若有等腰关系， 可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例. 5.证明等积式或者比例

19、式的一般方法： 经常把等积式化为比例式， 把比例式的四条线段分别看做两个三角形证明等积式或者比例式的一般方法： 经常把等积式化为比例式， 把比例式的四条线段分别看做两个三角形 的对应边的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果. 实战演练实战演练: 1. 如图所示， O 的半径为 4， 点 A 是O 上一点， 直线 l 过点 A； P 是O 上的一个动点 （不与点 A 重合） ， 过点 P 作 PBl 于点 B，交O 于点 E，直径 PD 延长线交直线 l 于点 F，点 A 是的中点 （1）求证：直线 l 是O 的切线； （2）若 PA=

20、6，求 PB的长 【答案】（1）证明见解析；（2）PB= 【解析】 （2）如图，作 OHPA于 H， OA=OP，OHPA， AH=PH=3， OAPB，OAH=APB，AHO=ABP=90 ， AOHPAB， ，PB= 2.如图，A，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了 A,B 间的距离：先在 AB 外选一点 C，然后测出 AC,BC 的中点 M,N，并测量出 MN 的长为 12m，由此他就知道了 A,B 间的距离.有关他这次探究活动的描 述错误的是( ) A. 1 2 CMNABC SS B. CM：CA=1：2 C. MN/AB D. AB=24cm 【答案】A 3. 如图，在矩形

21、 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，AEBD，垂足为 F，则 tanBDE 的值是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】四边形 ABCD是矩形，AD=BC，ADBC， 点 E是边 BC 的中点，BE= BC= AD， BEFDAF， ，EF= AF，EF= AE， 点 E是边 BC 的中点， 由矩形的对称性得：AE=DE，EF= DE，设 EF=x，则 DE=3x， DF=x， tanBDE= . 故选 A 4.如图，在 Rt ABC 中，C=90 ，AD 是BAC 的角平分线。 (1)以 AB 上一点 O 为圆心，AD 为弦作O; (2)求证：BC 为O 的切线； (3)如果

22、AC=3,tanB= 3 4 ,求O 的半径。 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）15 8 【解析】试题分析： 试题解析： （1）如图所示，O 为所求圆； （2）连接 OD. AD 平分CAB （3）在 ABC 中，AC=3，tanB= 3 4 ，C=90 ， BC=4，AB=5， 设O 的半径为 r，则 OA=OD=r，BO=5r ODAC BODBAC ODBO ACBA 即 5 35 rr 解得， 15 8 r ， O 的半径为 15 8 . 5. 如图，有一边长为的正方形和等腰， ，点 B、Q、C、R 在同 一直线 上，当 Q、C 两点重合时，等腰以每秒的速度沿直线 按箭头所示

23、的方向开始匀速运动，设 秒后正方形与等腰重叠部分的面积为 . （1）当 t 等于多少秒时，平分； （2）当时，设与交于点 ，求（用含 的代数式表示）. （3）当时，求 关于 的函数表达式. 【答案】（1）t=4；（2）FC=；（3），. （3）如图：当时，设交于 ， 则 6.如图，在三角形 ABC 中， 9068ACBACBC，点 D 为边 BC 的中点，射线DEBC 交 AB 于点.E点 P 从点 D 出发，沿射线 DE 以每秒 1 个单位长度的速度运动.以 PD 为斜边，在射线 DE 的 右侧作等腰直角.DPQ设点 P 的运动时间为( t秒) 1用含 t 的代数式表示线段 EP 的长 2求

24、点 Q 落在边 AC 上时 t 的值 3当点 Q 在ABC内部时，设PDQ和ABC重叠部分图形的面积为(S平方单位)，求 S 与 t 之间的函 数关系式 【答案】（1）EPt-3;(2)t=8;(3) 2 2 1 (03) 4 11218 38 2877 tt S ttt 2如图所示，当点 Q 落在边 AC 上时，过点 Q 作QFDP于 F， 90CCDFDFQ ， 四边形 CDFQ 是矩形， 1 4 2 FQCDBC， DPQ是等腰直角三角形， 28DPFQ， 8 8 1 ts ； 3 当点 P 在线段 DE 上时， PDQ和ABC重叠部分为DPQ，且DPtDP ，边上的高为 1 2 t，

25、点 P 从点 D 运动到点 E 处时，时间为 3s， 当03t 时， 2 111 224 Sttt ， 当点 P 在线段 DE 的延长线上时， PDQ和ABC重叠部分为四边形 EDQG， 如图所示，过 G 作GFPE于 F，则GFEBCA，且PFGF， 7. 如图，MAN=60 ，AP 平分MAN，点 B是射线 AP 上一定点，点 C 在直线 AN 上运动，连接 BC，将 ABC（0 ABC120 ）的两边射线 BC和 BA分别绕点 B顺时针旋转 120 ，旋转后角的两边分别与射 线 AM交于点 D 和点 E （1）如图 1，当点 C在射线 AN 上时，请判断线段 BC与 BD 的数量关系，直

26、接写出结论； 请探究线段 AC，AD和 BE 之间的数量关系，写出结论并证明； （2）如图 2，当点 C在射线 AN 的反向延长线上时，BC交射线 AM 于点 F，若 AB=4，AC=，请直接写 出线段 AD和 DF的长 【答案】（1）BC=BD；AD+AC=BE；（2）AD=，DF= 【解析】 试题解析：（1）结论：BC=BD， 理由：如图 1 中，作 BGAM 于 G，BHAN 于 H， 结论：AD+AC=BE， ABE=120 ，BAE=30 ，BEA=BAE=30 ，BA=BE，BGAE，AG=GE，EG=BEcos30= BE，BGDBHC，DG=CH，AB=AB，BG=BH，RtA

27、BGRtABH，AG=AH， AD+AC=AG+DG+AHCH=2AG=BE，AD+AC=BE； （2）如图 2 中，作 BGAM 于 G，BHAN 于 H，AKCF 于 K， DF=GF+DG=，即 DF= 8.如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，点 A 的坐标为（10，0），抛物线 y=ax2+bx+4 过点 B，C 两点， 且与 x 轴的一个交点为 D（2，0），点 P 是线段 CB 上的动点，设 CP=t（0t10） （1）请直接写出 B、C 两点的坐标及抛物线的解析式； （2）过点 P 作 PEBC，交抛物线于点 E，连接 BE，当 t 为何值时，PBE 和 Rt OCD 中的一

28、个角相等？ （3）点 Q 是 x 轴上的动点，过点 P 作 PMBQ，交 CQ 于点 M，作 PNCQ，交 BQ 于点 N，当四边形 PMQN 为正方形时，求 t 的值 【答案】（1） 2 15 4 63 yxx ；（2）t=3；（3）10 3 或 20 3 （2）由题意可设 P（t，4），则 E（t， 1 6 t2 5 3 t4）， PB10t，PE 1 6 t2 5 3 t44 1 6 t2 5 3 t， BPECOD90 ， 当PBEOCD 时， 则 PBEOCD， PEPB ODOC ，即 BPODCOPE， 2（10t）4（ 1 6 t2 5 3 t），解得 t3 或 t10（不合题

29、意，舍去）， 当 t3 时，PBEOCD； 当PBECDO 时， 则 PBEODC， PEPB OCOD ，即 BPOCDOPE， 4（10t）2（ 1 6 t2 5 3 t），解得 t12 或 t10（均不合题意，舍去） 综上所述当 t3 时，PBEOCD； （3）当四边形 PMQN 为正方形时，则PMCPNBCQB90 ，PMPN， CQOAQB90 ， CQOOCQ90 ， OCQAQB， Rt COQRt QAB， COOQ AQAB ，即 OQAQCOAB， 9. 如图，在中，现在有动点 从点 出发，沿线段向终点 运 动，动点 从点 出发，沿折线向终点运动如果点 的速度是秒，点 的速

30、度是秒它们 同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动设运动的时间为 秒 如图 ， 在上，当 为多少秒时，以点 、 、 为顶点的三角形与相似？ 如图 ， 在上，是否存着某时刻，使得以点 、 、 为顶点的三角形与相似？若存在，求出 的 值；若不存在，请说明理由 【答案】（1）或；（2）存在；. 【解析】 解：如图，当时， 在中，由勾股定理，得 ， 如图，当时， ， 综上所述，或时，以点 、 、 为顶点的三角形与相似； 10. 在ABC中，ABC=90 （1）如图 1，分别过 A、C两点作经过点 B的直线的垂线，垂足分别为 M、N，求证：ABMBCN； （2）如图 2，P 是边 BC上一点，B

31、AP=C，tanPAC=，求 tanC的值； （3）如图 3，D是边 CA延长线上一点，AE=AB，DEB=90 ，sinBAC= ，直接写出 tanCEB 的值 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. （2）如图，过点 P 作 PFAP 交 AC于 F， 在 RtAFP 中，tanPAC=， 同（1）的方法得，ABPPQF， ， 设 AB=a，PQ=2a，BP=b，FQ=2b（a0，b0）， BAP=C，B=CQF=90 ， （3）在 RtABC中，sinBAC=， 如图，过点 A 作 AGBE于 G，过点 C作 CHBE交 EB的延长线于 H， DEB=90 ， CHAGDE， ， 同（1）的方法得，ABGBCH， =， 设 BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n， AB=AE，AGBE， 在 RtCEH中，tanBEC=