中考数学热点难点突破：第1.8讲二次函数的应用（解析版）

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1、 考纲要求考纲要求: : 1. 会用描点法画出二次函数的图像，理解二次函数的性质。 2. 利用二次函数的性质解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题。 基础知识回顾基础知识回顾: : 一、一、 二二次函数的概念及解析式次函数的概念及解析式 1一般地，形如 yax 2 bxc(a，b，c 是常数，a0)的 2、2 函数，叫做二次函数 2、二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：yax 2 bxc(a，b，c 为常数，a0) (2)顶点式：ya(xh) 2 k(a，h，k 为常数，a0)，顶点 坐标是(h，k) (3)交点式：ya(xx 1)(xx2)，其中 x1，x2 是二次函

2、数与 x 轴的交点的横坐标，a0. 二、二、 抛物线的平移抛物线的平移 1将抛物线解析式化成顶点式 ya(xh) 2 k，顶点坐标为(h，k) 2保持 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，具体平移方法如 三、二次函数与一元二次方程的关系 1二次函数 yax 2 bxc(a0)，当 y0 时，就变成了一元二次方程 ax 2 bxc0(a0) 2ax 2 bxc0(a0)的解是抛物线 yax 2 bxc(a0)的图象与 x 轴交点的横坐标 应用举例应用举例: : 招数一、利用招数一、利用 二次函数的增减性有关的问题时，简便的方法是结合图象，利用数形结合的思想直观地得二次函数的增减性

3、有关的问题时，简便的方法是结合图象，利用数形结合的思想直观地得 出结论另外，解答本题也可以代入数值求出对应的函数值，从而进行大小比较出结论另外，解答本题也可以代入数值求出对应的函数值，从而进行大小比较 【例【例 1】若二次函数 ymx2-6mx1（m0）的图像经过 A(2，a)，B(-1，b)，C(3，c)三点，则 a，b，c 从小到大 排列是_ 【答案】acb 【例【例 2】若二次函数 y2x24kx+1当 xl时，y 随 x 的增大而减小，则 k的取值范围是_ 【答案】【答案】k1 【解析】【解析】 解：a=20， 抛物线开口向上， 二次函数 y2x24kx+1的对称轴为直线 xk， 当

4、xl时，y随 x的增大而减小， k1， 故答案为：k1 【例【例 3】下列关于二次函数的说法正确的是( ) A它的图象经过点 B它的图象的对称轴是直线 C当时， 随 的增大而减小 D当时， 有最大值为 0 【答案】C 【解析】 A. 它的图象经过点，A 错误； B. 它的图象的对称轴是直线，B 错误； C. 当时， 随 的增大而减小，正确； D. 当时， 有最小值为 0,D错误. 故选：故选：D D 招数二、招数二、利用二次函数的图象判断系数的关系利用二次函数的图象判断系数的关系 利用图象判定字母系数的关系时，要先通过图象的开口方利用图象判定字母系数的关系时，要先通过图象的开口方 向确定出向确

5、定出 a a 的符号，根据对称轴的位置，确定的符号，根据对称轴的位置，确定 b b 的符号或的符号或 a a 与与 b b 的关系式，根据图象与的关系式，根据图象与 y y 轴的交点确定出轴的交点确定出 c c 的符号；然后通过的符号；然后通过 a a，b b，c c 的符号确定有关的符号确定有关 a a，b b，c c 乘积式的符号，根据图象与乘积式的符号，根据图象与 x x 轴的交点个数确定轴的交点个数确定 b2b2 4ac4ac 的符号；最后结合图象的符号；最后结合图象上的特殊值点确定有关上的特殊值点确定有关 a a，b b，c c 的算式的符号此类问题的算式的符号此类问题 【例【例 3

6、 3】如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，下列结论中： abc0；9a3b+c0；b24ac0；ab，正确的结论是_（只填序号） 【答案】 【例【例 4】如图是二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在点（2，0） 和（3，0）之间，对称轴是 x=1对于下列说法：ab0；2a+b=0；3a+c0；a+bm（am+b） （m 为实数）；当1x3 时，y0，其中正确的是（ ） A B C D 【答案】A 根据图示知，当 m=1时，有最大值； 当 m1 时，有 am2+bm+ca+b+c， 所以 a+bm（am+b）

7、（m为实数） 故正确 如图，当1x3时，y不只是大于 0 故错误 故选：A 招数三、招数三、 设二次函数解设二次函数解析式的形式一般遵循以下方法：若已知二次函数上三个点的坐标，则选择一般式；析式的形式一般遵循以下方法：若已知二次函数上三个点的坐标，则选择一般式； 若已知二次函数的顶点坐标，则选择顶点式；若若已知二次函数的顶点坐标，则选择顶点式；若已知二次函数与已知二次函数与 x 轴的交点坐标，则选择交点式需要注轴的交点坐标，则选择交点式需要注 意的是，作为解答题，最后结果要化为一般式意的是，作为解答题，最后结果要化为一般式 【例【例 6 6】已知抛物线的顶点为（1，3），且过点（2，1），求这

8、个函数的表达式为_ 【答案】y=4x 28x+1 【例【例 7】如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象经过点（1，0）、（3，0）和（0，2），当 x=2时，y 的值为 _ 【答案】2 【解析】 试题分析：首先设二次函数的解析式为：y=a(x-3)(x+1)，将(0，2)代入可得：，则二次函数的解析式 为：y=，则当 x=2时，y=2 【例【例 8】经过（1，2.6），（4，5），（2，3）三点的二次函数的表达式是_ 【答案】y=0.2x20.2x+2.6 【解析】 设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c， 把（1，2.6），（4，5），（2，3）代入得， ，解得， 所以抛物线解析式为 y

9、=0.2x2-0.2x+2.6 故答案为 y=0.2x2-0.2x+2.6 方法、规律归纳: 一、 当抛物线的顶点坐标已知或容易求出时，可选用顶点式 来求其解析式，此时只需根据另外的条件求 出，然后回代，并把它化为一般式即可. 此外，应注意这种情况的变式，即在题设条件中，若涉及对称轴 或对称轴易于求出时，也可选用顶点式来求其解析式. 二、当时，在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大;当 时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小.求二次函数图象的对 称轴、顶点坐标、最值，判定其增减性时，常将二次函数的一般式 (为常数) 配方，转化为顶点式求解.也

10、可以利用顶点坐标公式来求解.必须注意:在对称轴的两侧，二 次函数的增减性完全相反. 实战演练实战演练: : 1、已知抛物线，如图所示，下列命题：；对称轴为直线；抛物线经 过，两点，则；顶点坐标是（，其中真命题的概率是（ ） A B C D1 【答案】C 真命题的概率 故选 C 2. 已知二次函数 y4x24x1，当自变量 x 取两个不同的值 x1，x2时，函数值相等，则当 x取时的函 数值为（ ） A-1 B-2 C2 D1 【答案】B 3、抛物线 (是常数)的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4、将抛物线 y=x2+2x+3 向下平移 3 个单位长度后，所

11、得到的抛物线与直线 y=3 的交点坐标是（ ） A（0，3）或（2，3） B（3，0）或（1，0） C（3，3）或（1，3） D（3，3）或（1，3） 【答案】D 【解析】 解:抛物线 y= x2+2x+3=,顶点坐标(-1,2),再向下平移 3个单位得到的点是(-1,-1).可得新函数的解 析式为 y=， 当 y=3 时候，即:=3，得：， 解得：x=1 或 x=-3， 抛物线与直线 y=3 的交点坐标为（1，3）或（-3，3）， 故选 D. 5、某商场购进一批单价为 20 元的日用商品，如果以单价 30 元销售，那么半月内可销售出 400 件，根据 销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少

12、，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件，当销售量 单价是 元/时，才能在半月内获得最大利润 6、二次函数 yax2+bx+c（a0，a、b、c 为常数）的图象如图所示，则方程 ax2+bx+cm 有实数根的条件是 （ ） Am4 Bm0 Cm5 Dm6 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数图象，当 m4时，直线 ym与二次函数 yax2+bx+c有公共点，从而可判断方程 ax2+bx+cm 有实数根的条件 【详解】 抛物线的顶点坐标为（6，4）， 即 x6时，二次函数有最小值为4， 当 m4时，直线 ym与二次函数 yax2+bx+c 有公共点， 方程 ax2+bx+cm有实

13、数根的条件是 m4 故选：A 7 7、如图，在平面直角坐标系中，A（-2，-1），B（-1，-1），若抛物线与线段 AB 有交点， 则 的取值范围是_. 【答案】 8、如图，已知两直线 l1，l2分别经过点 A（1，0），点 B（3，0），且两条直线相交于 y 轴的正半轴上的 点 C，当点 C 的坐标为（0，3）时，恰好有 l1l2，经过点 A、B、C 的抛物线的对称轴与 l1、l2、x 轴分 别交于点 G、E、F，D 为抛物线的顶点 （1）求抛物线的函数解析式； （2）试说明 DG 与 DE 的数量关系？并说明理由； （3）若直线 l2绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为 M，当MCG

14、为等腰三角形时，请直接写出点 M 的坐标 抛物线的函数解析式为 2 32 3 3 33 yxx ； （3）若直线 l2绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为 M，当MCG 为等腰三角形时，分三种情况： 以 G 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点 M1、C，点 M1与 C 关于抛物线的对称轴对称，则 M1的坐标 为（2，3）； 以 C 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点 M2、M3，点 M2与点 A 重合，点 A、C、G 在一条直线上，不 能构成三角形，M3与 M1重合； 作线段 GC 的垂直平分线，交抛物线于点 M4、M5，点 M4与点 D 重合，点 D 的坐标为（1， 4 3 3 ），

15、 M5与 M1重合； 综上所述，满足条件的点 M 只有两个，其坐标分别为（2，3），（1， 4 3 3 ） 9、如图，已知抛物线 2 yaxbxc过点 A（3，0），B（2，3），C（0，3），其顶点为 D （1）求抛物线的解析式； （2）设点 M（1，m），当 MB+MD 的值最小时，求 m 的值； 10、如图，四边形 ABCO 为矩形，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且点 B 的坐标为（2,1），将此矩形绕点 O 逆时针旋转 90得矩形 DEFO，抛物线 y=-x 2+bx+c 过 B、E 两点. （1）求此抛物线的函数解析式. （2）将矩形 DEFO 向右平移，当点 E 的对应点 E在抛物线上时，求线段 DF 扫过的面积. （3）若将矩形 ABCO 向上平移 d 个单位长度后，能使此抛物线的顶点在此矩形的边上，求 d 的值. 【答案】 （1）； （2） 平行四边形 DDFF 的面积为； （3） 平移的距离或. 如图，由平移可知 DF扫过的面积为平行四边形 DDFF的面积. 当点 E向右平移后的对应点 E在抛物线上时， 有，则，解得， E（）， ， 平行四边形 DDFF的面积为. ， 抛物线的顶点坐标为（）， B（2,1）， 平移的距离或.