中考数学热点难点突破：第1.10讲二元一次方程的方案问题（解析版）

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1、 考纲要求考纲要求: : 1. 掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程。 2. 能用二元一次方程解决实际问题 基础知识回顾基础知识回顾: : 1应用题中常见的等量关系 (1)增长率等量关系：增长率增长量基础量100%.一般类型：设原来量为 a，平均增长(下降)率为 x， 则一次增长(下降)后的值为 a(1x)，两次增长(下降)后的值为 a(1x) 2 . (2)利润等量关系：利润售价成本(进价)，利润率 100%. (3)利息等量关系：利息本金利率期数；本息和本金利息；利息税利息税率 (4)行程等量关系：路程速度时间 招数一、与方程不等式相关的方案设计，据题意得出正确的等量关系，找准等量

2、关系，列出二元一次不等 式组，据题意写出正确的方案。 【例【例 1】“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B 两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网 箱，每村参加清理人数及总开支如下表： 村庄 清理养鱼网箱人数/人 清理捕鱼网箱人数/人 总支出/元 A 15 9 57000 B 10 16 68000 （1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元； （2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调 40 人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要 使总支出不超过 102000 元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清

3、理人员方案？ 【答案】（1）清理养鱼网箱的人均费用为 2000 元，清理捕鱼网箱的人均费用为 3000 元；（2）分配清理 人员方案有两种：方案一：18 人清理养鱼网箱，22 人清理捕鱼网箱；方案二：19 人清理养鱼网箱，21 人 清理捕鱼网箱 【解析】 （1）设清理养鱼网箱的人均费用为 x 元，清理捕鱼网箱的人均费用为 y元， 根据题意，得：， 解得：， 答：清理养鱼网箱的人均费用为 2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为 3000 元； 【例【例 2】某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲 种书柜 3 个、乙种书柜 2 个，共需资金 1020

4、元；若购买甲种书柜 4 个，乙种书柜 3 个，共需资金 1440 元 （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共 20 个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多 能够提供资金 4320 元，请设计几种购买方案供这个学校选择 【答案】（1）设甲种书柜单价为 180 元，乙种书柜的单价为 240 元（2）学校的购买方案有以下三种： 方案一：甲种书柜 8 个，乙种书柜 12 个方案二：甲种书柜 9 个，乙种书柜 11 个，方案三：甲种书柜 10 个， 乙种书柜 10 个 【解析】 （1）解：设甲种书柜单价为 x元，乙种书柜的单价为 y元，由题意得

5、： ， 解得： ， 答：设甲种书柜单价为 180 元，乙种书柜的单价为 240 元 （2）解：设甲种书柜购买 m个，则乙种书柜购买（20-m）个； 由题意得： 解得：8m10 因为 m取整数，所以 m可以取的值为：8，9，10 即：学校的购买方案有以下三种： 方案一：甲种书柜 8 个，乙种书柜 12个， 方案二：甲种书柜 9 个，乙种书柜 11个， 方案三：甲种书柜 10个，乙种书柜 10个 招数二、招数二、二元一次方程组的应用以及一二元一次方程组的应用以及一元一次方程元一次方程的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关 键键，根据数量关系

6、，找出，根据数量关系，找出 w w 与与 m m 之间的函数关系式之间的函数关系式 【例【例 3 3】 学校准备购进一批节能灯，已知 1 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 26 元；3 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 29 元 （1）求一只 A 型节能灯和一只 B 型节能灯的售价各是多少元； （2）学校准备购进这两种型号的节能灯共 50 只，并且 A 型节能灯的数量不多于 B 型节能灯数量的 3 倍， 请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 （2）设购进 A 型节能灯 m 只，总费用为 W 元， 根据题意，得：W=5m+7（50m）=2m+350， 20， W 随 x

7、的增大而减小， 又m3（50m），解得：m37.5， 而 m 为正整数， 当 m=37 时，W最小=237+350=276， 此时 5037=13， 答：当购买 A 型灯 37 只，B 型灯 13 只时，最省钱 招数三、招数三、 二元一次方程组的应用以及一次函数的图像应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关二元一次方程组的应用以及一次函数的图像应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关 键，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题键，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题 【例【例 4】有大小两种货车，3 辆大货车与 4辆小货车一次可以运货 18 吨，2 辆大货车与 6

8、辆小货车一次可以 运货 17吨. （1）请问 1辆大货车和 1辆小货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有 33 吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计 10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货 车一次运费花费 130 元，每辆小货车一次运货花费 100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？ 【答案】（1）1 辆大货车一次可以运货 4 吨，1 辆小货车一次可以运货 吨；（2）货运公司应安排大货车 8 辆时，小货车 2 辆时最节省费用. 【解析】 【详解】 （1）解：设 1 辆大货车一次可以运货 x吨，1 辆小货车一次可以运货 y吨，依题可得： , 解得： . 答：1 辆大货车一次可以运

9、货 4 吨，1 辆小货车一次可以运货 吨. （2）解：设大货车有 m辆，则小货车 10-m辆，依题可得： 4m+ （10-m）33 m0, 10-m0 解得：m10， 【例【例 5 5】黄石市在创建国家级文明卫生城市中，绿化档次不断提升某校计划购进 A，B两种树木共 100 棵 进行校园绿化升级，经市场调查：购买 A 种树木 2棵，B 种树木 5 棵，共需 600 元；购买 A 种树木 3棵，B 种树木 1棵，共需 380 元 （1）求 A种，B种树木每棵各多少元？ （2）因布局需要，购买 A 种树木的数量不少于 B种树木数量的 3倍学校与中标公司签订的合同中规定： 在市场价格不变的情况下（不

10、考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木 的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用 【答案】(1) A种树每棵 100 元，B种树每棵 80元；(2) 当购买 A 种树木 75 棵，B 种树木 25棵时，所需费 用最少，最少为 8550元 【解析】 试题分析：（1）设 A 种树每棵 x 元，B 种树每棵 y 元，根据“购买 A 种树木 2 棵，B 种树木 5 棵，共需 600 元；购买 A 种树木 3 棵，B 种树木 1 棵，共需 380 元”列出方程组并解答； （2）设购买 A 种树木为 x 棵，则购买 B 种树木为（100-x）棵，根据“购买 A 种树木的数量

11、不少于 B 种树 木数量的 3 倍”列出不等式并求得 x 的取值范围， 结合实际付款总金额=0.9 （A 种树的金额+B 种树的金额） 进行解答 试题解析：（1）设 A种树木每棵 x元，B种树木每棵 y元，根据题意，得 ，解得 ， 答：A种树木每棵 100元，B 种树木每棵 80元 （2）设购买 A种树木 x棵，则 B种树木（100 x）棵，则 x3（100 x）解得 x75 又 100 x0，解得 x10075x100 设实际付款总额是 y元，则 y0.9100 x80（100 x） 即 y18x7 200 180，y随 x增大而增大，当 x75 时，y最小为 18 757 2008 550

12、（元） 答：当购买 A 种树木 75棵，B 种树木 25棵时，所需费用最少，为 8 550 元 【例【例 6】益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低。马迹塘一农户需要将 A， B 两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输 A，B 产品的件数不变，原来每运一次的运费是 1200 元，现 在每运一次的运费比原来减少了 300 元，A，B 两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元件）如下表 所示： 品种 A B 原来的运费 45 25 现在的运费 30 20 （1）求每次运输的农产品中 A，B 产品各有多少件？ （2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货

13、量，每次运送的总件数增加 8 件， 但总件数中 B 产品的件数不得超过 A 产品件数的 2 倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？ 【答案】（1）每次运输的农产品中 A 产品有 10 件，每次运输的农产品中 B 产品有 30 件，（2）产品件数 增加后，每次运费最少需要 850 元 （2）设增加 m件 A产品，则增加了（8-m）件 B产品，设增加供货量后得运费为 W元， 增加供货量后 A产品的数量为（10+m）件，B产品的数量为 30+（8-m）=（38-m）件， 根据题意得：W=30（10+m）+20（38-m）=10m+790， 答：产品件数增加后，每次运费最少需要 850 元 方

14、法、规律归纳方法、规律归纳: : 1、 在解决实际问题时，需合理安排，从几种方案中，选择最佳方案。方案选择的题目较长，有时方案不 止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。 2、方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。所用 到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。这类问题的应用性非常突出， 题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决 问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转 化思想、数形结合的思想、方程函数思想及

15、分类讨论等各种数学思想。 实战演练实战演练: : 1、学校捐资购买了一批物资 120 吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和 运费如下表所示(假设每辆车均满载)： 车型 甲 乙 丙 汽车运载量(吨/辆) 5 8 10 汽车运费(元/辆) 400 500 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车来运送，需运费 8200 元，则分别需甲、乙两种车各几辆？ (2)为了节省运费，该公司打算用甲、乙、丙三种车同时参与运送，已知它们的总辆数为 14 辆，请你分别 求出三种车的辆数，并求出此时的运费 【答案】（1）需甲种车 8 辆，乙种车 10 辆；（2）甲种车有 2 辆，乙种车有

16、 5 辆，丙种车有 7 辆，此时的 运费是 7500 元 【解析】 【分析】 （1）设需甲车 x辆，乙车 y辆列出方程组即可； （2）设甲车有 a 辆，乙车有 b辆，则丙车有（14-a-b）辆，列出等式 【详解】 答：甲种车有 2 辆，乙种车有 5 辆，丙种车有 7 辆，此时的运费是 7500元 2、某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个 已知足球的单价比排球的单价多 30 元， 用 500 元购得的排球数量与用 800 元购得的足球数量相等 （1）排球和足球的单价各是多少元？ （2）若恰好用去 1200 元，有哪几种购买方案？ （2）设设恰好用完 1200 元，可购买排球 m

17、 个和购买足球 n 个， 由题意得：50m+80n=1200， 整理得：m=24n， m、n 都是正整数， n=5 时，m=16，n=10 时，m=8； 有两种方案： 购买排球 5 个，购买足球 16 个； 购买排球 10 个，购买足球 8 个 3为了更好治理城市污水，保护环境，县治污公司决定购买台污水处理设备.现有两种型号的设备， 其中每台的价格、日处理污水量如下表： 价格（万元/台） 处理污水量（吨/天） 经调查：购买一台 设备比购买一台 设备多 万元，购买 台 设备比购买 台 设备少 万元. （1）求； （2）现治污公司购买的设备每天共能处理污水吨，求治污公司购买设备的资金. 【答案】（

18、1）a=12,b=10；（2）108 万元. 【解析】 【分析】 (1)根据购买一台 A设备比购买一台 B 设备多 2 万元,购买 2 台 A设备比购买 3台 B设备少 6万元,可得出方 程组,解出即可得出 a、b 的值; (2)购买 A设备 x台,B 设备 y台,建立方程组求出 x、y的值,继而求出治污公司购买设备的资金. 答：现治污公司购买的设备每天能处理污水 2160 吨，治污公司购买设备的资金为 108万元. 4、 在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某地公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸 的对话（如图 3），试依据图中的信息，解答下列问题： (1)小明他们一共去了几个成

19、人，几个学生？ (2)请你帮忙小明算一算，用那种方式购票更省钱？说明理由 解析： (1)设成人人数为 x 人，学生人数为 y 人据题意，有 3505.1735 12 yx yx ， 解得 故学生人数 4 人， 成人数为 8 人 (2)如果买团体票， 按 16 人计算， 共需要费用 350.616336， 336350， 故购买团体票更省钱 5、为营造浓厚的创建全国文明城市氛围，东营市某中学委托制衣厂制作“最美东营人”和“最美志愿者” 两款文化衫若制作“最美东营人”文化衫 2 件，“最美志愿者”文化衫 3 件，共需 90 元；制作“最美东 营人”文化衫 3 件，“最美志愿者”5 件，共需 145

20、 元 （1）求“最美东营人”和“最美志愿者”两款文化衫每件各多少元？ （2） 若该中学要购进“最美东营人”和“最美志愿者”两款文化衫共 90 件， 总费用少于 1595 元， 并且“最 美东营人”文化衫的数量少于“最美志愿者”文化衫的数量，那么该中学有哪几种购买方案？ 【答案】（1）“最美东营人”文化衫每件 15 元，“最美志愿者”文化衫每件 20 元；（2）有三种方案， 具体见解析. （2）设购买“最美东营人”文化衫 m件，则购买“最美志愿者”文化衫（90-m）件， 由题意，得， 解得：41m45 m是整数， m=42，43，44 则 90-m=48，47，46 答：方案一：购买“最美东营人

21、”文化衫 42 件，“最美志愿者”文化衫 48件； 方案二：购买“最美东营人”文化衫 43 件，“最美志愿者”文化衫 47件； 方案三：购买“最美东营人”文化衫 44 件，“最美志愿者”文化衫 46件 6、 学校组织初一同学春游,原计划租用 45 座客车若干辆,但有 15 人没有座位;如果租用同样数量的 60 座大 客车,则多出一辆,且其余客车恰好坐满.已知 45 座客车日租金为每辆 220 元,60 座大客车日租金为每辆 300 元. 求：（1）初一年级学生有多少人? 原计划租用 45 座客车多少辆? （2）要使每个学生都有座位,怎样租用更合算?最低租金是多少? （2）设租用 45 座客车

22、m 辆,租用 60 座客车 n 辆. 根据题意可得:45m + 60n = 240, 即 3m + 4n = 16, 方程的整数解为: , 3004=1200, 2204+300=1180, 租用 45 座客车 4 辆,租用 60 座客车 1 辆合算，最低租金为 1180 元. 7、2018 年在中央“房子是用来住的，不是用来炒”的精神作用下，房子价格持续下跌玲玲家买了一套新 房准备装修，若甲、乙两个装饰公司合作，需 6 周完成，共需装修费为 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后， 剩下的由乙公司来做，还需 9周才能完成，共需装修费为 4.8 万元玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公 司单独完

23、成 (1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？ 【答案】（1）从节约时间的角度考虑应选择甲公司（2）从节约开支的角度考虑应选择乙公司 【解析】 (1)设甲公司单独完成需要 m 周，乙公司单独完成需要 n 周依题意得： ，解得 . 故从节约时间的角度考虑应选择甲公司 8、 某校七年级 400 名学生到郊外参加植树活动， 已知用 3 辆小客车和 1 辆大客车每次可运送学生 105 人， 用 1 辆小客车和 2 辆大客车每次可运送学生 110 人 （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车 m 辆，大客车 n 辆，一次送完，且

24、恰好每辆车都坐满： 请你设计出所有的租车方案； 若小客车每辆租金 150 元，大客车每辆租金 250 元，请选出最省线的租车方案，并求出最少租金 解析：（1）设每辆小客车能坐 x 人，每辆大客车能坐 y 人， 据题意： ， 解得： ， 答：每辆小客车能坐 20 人，每辆大客车能坐 45 人； （2）由题意得：20m+45n=400， n=， m、n 为非负整数， 或或 ， 租车方案有三种： 方案一：小客车 20 车、大客车 0 辆， 方案二：小客车 11 辆，大客车 4 辆， 方案三：小客车 2 辆，大客车 8 辆； 方案一租金：15020=3000（元）， 方案二租金：15011+2504=

25、2650（元）， 方案三租金：1502+2508=2300（元）， 9、如果第一次租用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装运水果，一次运货 10 吨；第二次租用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装水果，一次运货 11 吨（两次运货都是满载） 求每辆 A 型车和 B 型车满载时各装水果多少吨？ 现有 31 吨水果需运出，计划同时租用 A 型车和 B 型车一次运完，且每辆车都恰好装满，请设计出有哪几 种租车方案？ 若 A 型车每辆租金 200 元，B 型车每辆租金 300 元，问哪种租车方案最省钱，最省钱的方案总共租金多 少钱？ ， ， 共三种方案 （3）在（2）的条件下： 方案一、200

26、+3007=2300 元 方案二、2005+3004=2200 元 方案三、2009+300=2100 元 租 9 辆 A 型，1 辆 B 型最省钱，共用租金 2100 元. 10、益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低。马迹塘一农户需要将 A，B 两 种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输 A，B 产品的件数不变，原来每运一次的运费是 1200元，现在 每运一次的运费比原来减少了 300 元，A，B 两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元件）如下表所 示： 品种 A B 原来的运费 45 25 现在的运费 30 20 （1）求每次运输的农产品中 A，B 产品各有多少

27、件？ （2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的总件数增加 8 件， 但总件数中 B 产品的件数不得超过 A 产品件数的 2 倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？ 【答案】（1）每次运输的农产品中 A 产品有 10 件，每次运输的农产品中 B 产品有 30 件，（2）产品件数 增加后，每次运费最少需要 850 元 （2）设增加 m件 A产品，则增加了（8-m）件 B产品，设增加供货量后得运费为 W元， 增加供货量后 A产品的数量为（10+m）件，B产品的数量为 30+（8-m）=（38-m）件， 根据题意得：W=30（10+m）+20（38-m）=10m+790， 由题意得：38-m2（10+m）， 解得：m6， 即 6m8， 一次函数 W随 m的增大而增大 当 m=6时，W最小=850， 答：产品件数增加后，每次运费最少需要 850 元