中考数学热点难点突破：第2.3讲圆的基本性质（解析版）

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1、 考纲要求考纲要求: 1理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念. 2了解弧、弦、圆心角的关系；理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系. 3能利用圆的有关概念解决有关简单问题，能利用垂径定理解决有关简单问题；能利用圆周角定理及其推 论解决有关简单问题. 基础知识回顾基础知识回顾: 知识点一：知识点一：圆圆的有关概念的有关概念 1.与 圆 有关的 概念和 性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形如图所示的圆记做O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过 圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的 弧叫做

2、劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个 交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. 知识点二知识点二 ：垂径定理及其推论垂径定理及其推论 2.垂 径 定理及 其推论 定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中： 弧 AC=弧 BC; 弧 AD=弧 BD； AE=BE; ABCD;CD 是直径. 只要满足其中两个，另外

3、三个结论一定成立，即推二知三. 知识点三知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系圆心角、弧、弦的关系 3.圆 心 角、 弧、 弦的关 系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相等 知识点四知识点四 ：圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论 4.圆 周 角 定 理 及 其 推 论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图 a, A=1/2O. 图 a 图 b 图 c ( 2 )推论： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图 b，A=C. 直径所对的

4、圆周角是直角.如图 c,C=90. 圆内接四边形的对角互补.如图 a，A+C=180，ABC+ADC=180. 应用举例应用举例: 招数一招数一、垂径定理及其推论、垂径定理及其推论 【例【例 1】如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP=2，BP=6，APC=30 ，则 CD 的长为（ ） A B2 C2 D8 【答案】C 【解析】 作 OHCD 于 H，连结 OC，如图， 【例【例 2】九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就它的算法体 系至今仍在推动着计算机的发展和应用书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸， 锯道长一尺，问

5、径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED=1 寸），锯道长 1 尺（AB=1 尺=10 寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？” 如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径 AC 是（ ） A13 寸 B20 寸 C26 寸 D28 寸 【答案】C 【解析】 解：设O 的半径为 r 在 RtADO 中，AD=5，OD=r-1，OA=r， 则有 r2=52+（r-1）2， 解得 r=13， O 的直径为 26 寸， 故选：C 招数招数二二、圆周角定理及推论圆周角定理及推论 【例【例 3】如图，平面直角坐标系中，P 经过三点 A（8，0），O

6、（0，0），B（0，6），点 D 是P 上的 一动点当点 D 到弦 OB 的距离最大时，tanBOD 的值是（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】B 【解析】 如图，连接 AB，过点 P 作 PEBO，并延长 EP 交P 于点 D， 此时点 D 到弦 OB 的距离最大， 【例【例 4】如图，在ABC 中，ACB=90 ，过 B,C 两点的O 交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 EO 并延 长交O 于点 F.连接 BF,CF.若EDC=135 ,CF=,则 AE2+BE2的值为 （ ） A8 B12 C16 D20 【答案】C AED=90 ，BED=90 ， BD 为O 的直径，B

7、D=4； 在 RtBDE 中，, AE2+BE2=16. 故选 C. 招数招数三三、圆内接四边形的相关计算圆内接四边形的相关计算 【例【例 5】如图，A、B、C 是上的三个点，若，则_ 【答案】 【解析】 如图，在优弧 AC 上取点 D，连接 AD，CD， ， ， 故答案为： 【例【例 6】如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中，CAD30 ，则BE_. 【答案】210 . 故答案为: 210 . 招数招数四四、分类讨论在圆的基本性质计算中的应用分类讨论在圆的基本性质计算中的应用 【例【例 7】 点 A、B、C 在半径为 2 cm 的O 上，若 BC32 cm，A 的度数是 【答案】60或

8、120 分析：应分点 A 在弦 BC 所对的优弧上和点 A 在弦 BC 所对的劣弧上两种情况 【例【例 8】如图，在矩形中，点 在上，点 在边上一动点，以为斜边 作.若点 在矩形的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则的值是_ 【答案】0 或或 4 【解析】 当点 F 与点 A 重合时，以为斜边恰好有两个，符合题意. 当点 F 从点 A 向点 B 运动时， 当时，共有 4 个点 P 使是以为斜边. 当时，有 1 个点 P 使是以为斜边. 方法、规律归纳方法、规律归纳: 1圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等圆中才成立.。 2在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周

9、角间的转化；同弧或等弧的圆 周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等. 3 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构 造直角三角形 实战演练实战演练: 1.如图，量角器的 0 度刻度线为，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 ，直 尺另一边交量角器于点 ， 量得， 点 在量角器上的读数为， 则该直尺的宽度为_ 【答案】 【解析】连接 OC,OD,OC 与 AD 交于点 E， 2. 如图，正ABC 的边长为 2，点 A、B 在半径为的圆上，点 C 在圆内，将正ABC 绕点 A 逆时针旋 转，当点 C 第一次

10、落在圆上时，旋转角的正切值为_ 【答案】 【解析】 解：如图，分别连接 OA、OB、OD； OAOB ，AB2， OAB 是等腰直角三角形， OAB45 ； 同理可证：OAD45 ， DAB90 ； CAB60 ， DAC90 60 30 ， 旋转角的正切值是 ， 故答案为： 3. 某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为 1 的半圆形量角器中，画一个直径为 1 的圆，把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆的圆心 O 处，刻度尺可以绕点 O 旋转从图中所示的图尺可读 出 sinAOB 的值是 A B C D 【答案】D 【解析】 如图，连接 AD sinAOB=sinADO=

11、. 故选：D 4.如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连接 AO 并延长交O 于点 E，连接 EC.若 AB8，CD2，则 EC 的长为( ) A. 210 B. 213 C. 215 D. 8 【答案】B AE 是O 的直径， ABE=90 ， 在 Rt ABE 中， AE=10，AB=8， BE= 2222 = 108AEAB=6， 在 Rt BCE 中， BE=6，BC=4， CE= 2222 = 64 =2 13BEBC， 故选 D 5.在半径为 1 的圆中，长度等于2的弦所对的圆周角的度数为（ ） A. 90 B. 145 C. 90或270 D. 135或45 【答案】D 【

12、解析】试题解析： 45AOC， 同理45BOC， 90AOBAOCBOC ， AOB 与ADB 都对AB, 1 45 2 ADBAOB， 大角270AOB， 135AEB， 则弦 AB 所对的圆周角为45或135. 故选 D. 6. 如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为 2 的圆，直线 ykx（k+1）与O 有两个交点 A、B，则 AB 的最短长度是_ 【答案】 7. 如图，MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在O 上，AMN=30 ，点 B 为劣弧 AN 的中点点 P 是直 径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. 2 D. 2 2 【答案】A A

13、MN=30 ， AON=2AMN=2 30 =60 ， 点 B 为劣弧 AN 的中点， BON= 1 2 AON= 1 2 60 =30 ， 由对称性，BON=BON=30 ， AOB=AON+BON=60 +30 =90 ， AOB是等腰直角三角形， AB=2OA=2 1=2， 即 PA+PB 的最小值=2 故选 A 8. 如图，在矩形中，以为直径作.将矩形绕点 旋转，使所得矩形 的边与相切，切点为 ，边与相交于点 ，则的长为_ 【答案】4 解：连结 EO 并延长交 CF 于点 H. 在 RtOCH 中，根据勾股定理得 CH=2, CF=2CH=4. 故答案为：4. 9. 如图所示，BC 是

14、半圆 O 的直径，ADBC，垂足为 D，弧长 AB 等于弧长 AF，BF 与 AD，AO 分别交 于点 E，G.求证： （1）DAOFBC； （2）AE=BE. （2）连 CF，AC，AB由在同圆中等弧对的圆周角相等得到BCA=ACF，ACF=ABF，由同角的余 角相等得到BAD=BCA，所以ABF=BAD，即 BE=AE 试题解析： （1）连 CF，OF如图所示： （2）连 CF，AC，AB，如图所示： AB 弧长等于 AF 弧长， BCA=ACF，ACF=ABF， BC 为圆的直径， BAC=90 ， ABC+ACB=90 ， 又 ADBC，ADB=90 ， ABC+BAD=90 ， BAD=BCA， ABF=BAD， 即 BE=AE 10. 如图，AB 是O 的直径，AB10，BC、CD、DA 是O 的弦，且 BCCDDA，若点 P 是直径 AB 上的一动点，则 PD+PC 的最小值为_ 【答案】10 CCD=120-30 =90 ， CD 为圆的直径， AB 是O 的直径，AB=10， PD+PC 的最小值为 10， 故答案为：10