中考数学热点难点突破：第2.4讲切线的性质和判定（解析版）

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1、 考纲要求考纲要求: 1掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明 2掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明 基础知识回顾基础知识回顾: 应用举例应用举例: 招数一、招数一、利用切线进行证明和计算。利用切线进行证明和计算。 【例【例 1】 如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，且交O 于点 E连 接 OC，BE，相交于点 F （1）求证：EF=BF； （2）若 DC=4，DE=2，求直径 AB 的长 【答案】(1)证明见解析；（2）10. 【解析】 1.切线 一般地，当直线与圆有唯一公共点时

2、，叫直线与圆相切，其中的直线叫做圆的切线， 唯一的公共点叫切点. 2.切线 的性质 （1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. 3.切线 的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （1）证明：， ， ，； 即直径的长是 10 【例【例 2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、， 的半径为 2( 为坐标原点)，点 是直线上的一动点，过点 作 的一条切线， 为切点，则切线长的最小值为（ ） A B C D 【答案】

3、D 【解析】 招数二、招数二、添加辅助线法添加辅助线法:通常利用添加辅助线来辅助证明圆的切线。通常利用添加辅助线来辅助证明圆的切线。 【例【例 3】如图，在 RtABC中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与 BC，AB 相交 于点 D，E，连结 AD已知CAD=B （1）求证：AD 是O 的切线 （2）若 BC=8，tanB= ，求O 的半径 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）证明：连接， ， ， 在中， ， ，则为圆 的切线； 【例【例 4】如图，ABC 中，AB=AC，O 是 BC 的中点，O 与 AB 相切于点 D，求证：AC 是O 的切线

4、 解析：过点 O 作 OEAC 于点 E，连结 OD，OA， AB 与O 相切于点 D， ABOD， ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点， AO 是BAC 的平分线， OE=OD，即 OE 是O 的半径， AC 经过O 的半径 OE 的外端点且垂直于 OE， AC 是O 的切线 招数招数三三、切线的性质和判定的综合应用切线的性质和判定的综合应用。 【例【例 5】 如图， 在中， 为上一点， 以 为圆心，长为半径作圆， 与相切于点 ， 过点 作 交的延长线于点 ,且. （1）求证：为的切线； （2）若， ,求的长. 【答案】(1)证明见解析；（2） 在OBC 和OBE 中， OBCO

5、BE， OE=OC，OE 是O 的半径 ， OEAB ，AB 为O 的切线； 【例【例 6】 如图，已知 A、B 是O 上两点，OAB 外角的平分线交O 于另一点 C，CDAB 交 AB 的延长线于 D （1）求证：CD 是O 的切线； （2）E 为的中点，F 为O 上一点，EF 交 AB 于 G，若 tanAFE= ，BE=BG，EG=3，求O 的半 径 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】（1）证明：连接 OC，如图， BC 平分OBD，OBD=CBD， OB=OC，OBC=OCB，OCB=CBD，OCAD， 而 CDAB，OCCD，CD 是O 的切线； 在 RtEHG 中，x2+（

6、3x）2=（3）2，解得 x=3， EH=9，BH=12， 设O 的半径为 r，则 OH=r-9， 在 RtOHB 中，（r-9）2+122=r2，解得 r=， 即O 的半径为 方法、规律归纳方法、规律归纳: 1 切线的判定方法有三种：利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；到圆心距切线的判定方法有三种：利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；到圆心距 离等于半径的直线是圆的切线；经离等于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端，并且过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线垂直于这条半径的直线是圆的切线 2证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：证明一条

7、直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：过半径外端点；垂直于这条半径过半径外端点；垂直于这条半径。 3常用辅助线的添加方法：常用辅助线的添加方法：有切点连圆心，证垂直；有切点连圆心，证垂直；无切点作垂直，证相等无切点作垂直，证相等。 4利用切线的性质构造直角三角形，利用直角三角形的性质（勾股定理、三角函数等）进行计算。利用切线的性质构造直角三角形，利用直角三角形的性质（勾股定理、三角函数等）进行计算。 实战演练实战演练: 1.如图，AT 切O 于点 A，AB 是O 的直径若ABT=40 ，则ATB= 2. 如图等边， 以为直径的交于 点， 交于 ，于 ， 下列结论正确的是： _ 是中点；是的切

8、线； 【答案】 连接 PE 点 P、E 分别是线段 BC、AC 的中点，BC=AC=AB（等边三角形的三条边相等）， PE= AB（三角形中位线定理），BP= BC= AB， BP=PE（等量代换），故正确； 连接 OP 点 P 是线段 BC 的中点，点 O 是线段 AB 的中点， OP 是ABC 的中位线，OPAC； 又PFAC，PFOP， 点 P 在O 上，PF 是O 的切线；故正确 综上所述，正确的结论有 故答案为： 3.O 的半径为 3cm，B 为O 外一点，OB 交O 于点 A，AB=OA，动点 P 从点 A 出发，以 cm/s 的速度 在O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停

9、止当点 P 运动的时间为 s 时，BP 与O 相切 4. 如图，在直角坐标系中，A 的圆心 A 的坐标为（1，0），半径为 1，点 P 为直线 y= x+3 上的动点，过 点 P 作A 的切线，切点为 Q，则切线长 PQ 的最小值是_ 【答案】2 故答案为 2. 5.如图， 已知直线 PA 交O 于 A、 B 两点，CD 是O 的切线， 切点且 C， 过点 C作 CDPA 于 D， 若 AD： DC=1：3，AB=8，求O 的半径 MDC=OMA=DCO=90 ， 四边形 DMOC 是矩形， OC=DM，OM=CD AD：DC=1：3， 设 AD=x，则 DC=OM=3x，OA=OC=DM=D

10、A+AM=x+4， 在 RtAMO 中，AMO=90 ，根据勾股定理得：AO2=42+OM2 （x+4）2=42+（3x）2， 解得 x1=0（不合题意，舍去），x2=1 则 OA=MD=x+4=5 O 的半径是 5 6.如图，RtABC 中，C=90 ，BC=3，点 O 在 AB 上，OB=2，以 OB 为半径的O 与 AC 相切于点 D， 交 BC 于点 E，求弦 BE 的长 7. 如图，AB16，O 为 AB 中点，点 C 在线段 OB 上（不与点 O，B 重合），将 OC 绕点 O 逆时针旋转 270 后得到扇形 COD，AP，BQ 分别切优弧于点 P，Q，且点 P， Q 在 AB 异

11、侧，连接 OP （1）求证：APBQ； （2）当 BQ4时，求扇形 COQ 的面积及的长（结果保留 ）； （3）若APO 的外心在扇形 COD 的内部，请直接写出 OC 的取值范围 【答案】（1）见解析；（2）；（3）4OC8 【解析】试题解析：（1）证明：连接 OQ AP、BQ 是O 的切线，OPAP，OQBQ， APO=BQO=90 ， 在 RtAPO 和 RtBQO 中，OA=OB，OP=OQ， RtAPORtBQO，AP=BQ； （3）APO 的外心是 OA 的中点，OA=8， APO 的外心在扇形 COD 的内部时， OC 的取值范围为 4OC8 8. 如图，在 RtABC 中，AC

12、B=90 ，AC=6，BC=8，点 D 是 AB 的中点，以 CD 为直径作O，O 分 别与 AC，BC 交于点 E，F，过点 F 作O 的切线 FG，交 AB 于点 G，则 FG 的长为_ 【答案】 【解析】如图， 在 RtABC 中，根据勾股定理得，AB=10， 点 D 是 AB 中点， CD=BD= AB=5， 连接 DF， FGAB， S BDF = DF BF= BD FG， FG=， 故答案为. 9.如图，已知 AB 为O 的直径，AD、BD 是O 的弦，BC 是O 的切线，切点为 B，OCAD，BA、CD 的延长线相交于点 E （1）求证：DC 是O 的切线； （2）若 AE=1

13、，ED=3，求O 的半径 解析：（1）证明：连结 DO COD=COB 在COD 和COB 中 OD=OB，OC=OC， CODCOB（SAS）， CDO=CBO BC 是O 的切线， CBO=90 ， CDO=90 ， 又点 D 在O 上， CD 是O 的切线； （2）设O 的半径为 R，则 OD=R，OE=R+1， CD 是O 的切线， EDO=90 ， ED2+OD2=OE2， 32+R2=（R+1）2， 解得 R=4， O 的半径为 4 10. 已知：AB 为O 的直径，延长 AB 到点 P，过点 P 作圆 O 的切线，切点为 C，连接 AC，且 AC=CP. （1）求P 的度数； （2）若点 D 是弧 AB 的中点，连接 CD 交 AB 于点 E，且 DE DC=20，求O 的面积.（ 取 3.14） 【答案】（1）P=30 ；（2）31.4. 【解析】（1）连接， （2）连接， 为的中点， ， ，即， ， ， 是的直径，