中考数学热点难点突破：第2.2讲四边形的综合题（解析版）

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1、 考纲要求考纲要求: 1了解四边形的不稳定性;理解平行四边形、矩形、 菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系. 2能利用平行四边形、矩形、 菱形、正方形的性质定理与判定定理解决有关简単问题. 3运用平行四边形、矩形、 菱形、正方形的有关内容解决有关问題. 基础知识回顾基础知识回顾: 1平行四边形的性质 平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形 平行四边形的周长：一组邻边之和的倍 平行四边形的面积：底乘以高 2.平行四边形的判定 两组对边分别平行的四

2、边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且相等 角的性质：四个角都是直角 对角线性质：对角线互相平分且相等 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半 4矩形的判定 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形 判定：对角线相等的平行四边形是矩形 判定：有三个角是直角的四边形是矩形 5

3、菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半 6菱形的判定 判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定：四边相等的四边形是菱形 7三角形的中位线 定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半 应用举例应用举例: 招数招数一一、特殊四边形的性质、判定的综合应用特殊四边形的性质、判定的综合应用 【例【例 1

4、】请阅读下列材料： 问题： 如图， 在正方形和平行四边形中， 点 ， ， 在同一条直线上， 是线段的中点， 连接， 探究：当与的夹角为多少度时，平行四边形是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形是矩形；然后延长交于点 ，构造全等三角形，经过推 理可以探索出问题的答案 请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题 （1）求证：四边形是矩形； （2）与的夹角为_度时，四边形是正方形说明理由： 【答案】(1)详见解析；（2）90. 【解析】（1）正方形 ABCD 中，ABC90 ， EBG90 ， BEFG 是矩形； （2）90 ； 理由：延长 GP 交 DC 于点 H， 招数招数二二、四边形

5、与函数的综合四边形与函数的综合 【例【例 2】长方形 ABCD 位于平面直角坐标系中平行移动 （1）如图 1，若 ABx 轴且点 A 的坐标（4，4），点 C 的坐标为（1，2），在边 AB 上有动点 P，过 点 P 作直线 PQ 交 BC 边于点 Q，并使得 BP2BQ 当 SBPQ S长方形 ABCD时，求 P 点的坐标 在直线 CD 上是否存在一点 M，使得MPQ 是以 PQ 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出 M 点坐标： 若不存在，请说明理由 （2）如图 2，若 ABx 轴且 A、B 关于 x 轴对称，连接 BD、OB、OD，且 OB 平分CBD，求证：BODO 【答案】（1）点

6、 P（4，1），点 M 坐标为（1， ）或（1，1）；（2）见解析. 如图，若MPQ90 ，过点 M 作 MNAB 于点 N， MNAB，ABCBCD90 四边形 BCMN 是矩形 MNBC3，BNCM， MNAB，MPQ90 ， BPQ+BQP90 ，NPM+BPQ90 ， BQPMPN，且 PQPM，ABCPNM90 ， PMNQPB（AAS）PBMN3，BQPN， PB2BQBQ PN MCBNBP+PN 点 M 坐标（1， ） 如图，若PQM90 ， （2）设 BD与 x轴的交点为 E，连接 AE， A、B 关于 x 轴对称， AEBE，ABEBAE， BAD90 ，ABE+ADB90

7、 ，BAE+EAD 90 ， ADBEAD，AEDE， AEDEBE， ABx轴，ABBC，BCx 轴， EOBOBC， 招数招数三三、四边形的动点问题四边形的动点问题 【例【例 3】如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，B=90 ，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点 P 从 A 点出 发，以 1cm/s 的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 3cm/s 的速度向点 B 运动。 （1）从运动开始，经过多少时间点 P、Q、C、D 为边得四边形是平行四边形？ （2）从运动开始，经过多少时间点 A、B、Q、P 为边得四边形是矩形？ 【解析】【试题分析】（1）根据对边平

8、行且相等的四边形是平行四边形求解； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形. 即当 t=6.5s 时，四边形 ABQP 是矩形。 招数招数四四、四边形中的分类讨论四边形中的分类讨论 【例【例 4】如图，矩形 ABCD的边 BC 与 x 轴重合，B、C 对应的横坐标是一元二次方程的两根， E是 AD与 y 轴的交点，其纵坐标为 2，过 A、C作直线交 y 轴于 F. （1）求直线 AF的解析式 （2）M 是 BC 上一点，其横坐标为 2，在坐标轴上，你能否找到一点 P，使？若能，求出点 P 的 坐标；若不能，请说明理由. （3） 点 Q是 x 轴上一动点，连接 AQ,Q在运动过程中 AQ+是

9、否存在最小值？若存在， 请求出 AQ+最 小值及 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）点 的坐标为或或或. 当点 P 在 轴上时：设点 解得：或 此时点 的坐标为或 当点 P 在 轴正半轴上时：点 =S梯形ABOP-=7. 解得： 此时点 的坐标为. 当点 P 在 轴负半轴上时：点 作点 A关于 轴的对称点过点 作于点 M,交 轴于点 Q，点 即为所求. 招数招数五五、四边形中的几何变换问题四边形中的几何变换问题 【例【例 5】如图 1，放置的一副三角尺，将含 45 角的三角尺斜边中点 O 为旋转中心，逆时针旋转 30 得到如 图 2，连接 OB、OD、AD （1）求证：A

10、OBAOD； （2）试判定四边形 ABOD 是什么四边形，并说明理由 【解析】 （1）证明：根据题意得：BAC=60 ，ABC=EDF=90 ，EF=AC O为AC的中点， OB= 2 1 AC=OA， OD= 2 1 EF= 2 1 AC=OB， ODEF， AOB是等边三角形， AOB=60 ， AB=OB=OA，由旋转的性质得：AOE=30 ，AOD=90 30 =60 在AOB 和AOD 中，OA=OA，AOB=AOD=60 ，OB=OD，AOBAOD（SAS）； （2）解：四边形 ABOD 是菱形理由如下： AOBAOD，AB=AD，AB=AD=OB=OD，四边形 ABOD 是菱形

11、【例【例 6】在菱形 ABCD 中，BAD=，E 为对角线 AC 上的一点（不与 A，C 重合），将射线 EB 绕点 E 顺 时针旋转 角之后，所得射线与直线 AD 交于 F 点试探究线段 EB 与 EF 的数量关系 （1）如图 1，当 =90时，EB 与 EF 的数量关系为 （2）如图 2，当 =60，=120时 依题意补全图形； 探究（1）的结论是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明； （3）在此基础上对一般的图形进行了探究，设ABE=，若旋转后所得的线段 EF 与 EB 的数量关系满足 （1）中的结论，请直接写出角 ， 满足的关系： 【答案】(1)EB=EF；(2)见解析；

12、结论依然成立 EB=EF，证明见解析；(3)+=180或 . 故答案为：EBEF； （2）补全图形如图 2 所示： 结论依然成立 EBEF理由如下： 证法 1：如图 3 证法 2：如图 4，连接 ED （3）+=180或 方法、规律归纳方法、规律归纳: 1. 解决平行四边形的判定和性质综合应用问题时熟练掌握性质定理和判定定理是解决平行四边形的判定和性质综合应用问题时熟练掌握性质定理和判定定理是 解题的关键在判定解题的关键在判定 一个四边形是平行四边形时，可通过已知条件选择一个四边形是平行四边形时，可通过已知条件选择合适的判定定理进行证明，若有对角线时，通常考虑利合适的判定定理进行证明，若有对角

13、线时，通常考虑利 用用“对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明，而没有对角线时，通常不利用此判定定理，注意，来证明，而没有对角线时，通常不利用此判定定理，注意， 定义也是判定平行四边形的常用定理定义也是判定平行四边形的常用定理 2解决和平行四边形有关的计算和说理问题，关键是根据图形的特点结合平行四边形的性质以及平行线的解决和平行四边形有关的计算和说理问题，关键是根据图形的特点结合平行四边形的性质以及平行线的 有关性质进行分析有的问题还需要将平行四边形问题转化为特殊三角形的问题，借助勾股定理解决有关性质进行分析有的问题还需要将平行四边形问题转化为特殊三角形的

14、问题，借助勾股定理解决 3.运用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三运用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用角形，用 勾股定理或三角函数求线段的长是常用的思路，又因为矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关勾股定理或三角函数求线段的长是常用的思路，又因为矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关 系得到全等三角形矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，可据此建立能够得到线段或角度的等系得到全等三角形矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，可据此建立能够得到线段或角度的等 量关系量关系 4与

15、菱形有关的计算常涉及下面几种：与菱形有关的计算常涉及下面几种： (1)求长度求长度(线段长或者周长线段长或者周长)时，应注意使用等腰三角形的性质：若菱形中存在一个顶角为时，应注意使用等腰三角形的性质：若菱形中存在一个顶角为 60，则菱形被，则菱形被 另外两点连接的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也另外两点连接的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也 应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形直角三角形等进行计

16、算；等进行计算； (2)求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算 5动点运动探索问题，需要根据点的运动找出不变量或变化规律，再结合诸如全等或四边形的判定方法动点运动探索问题，需要根据点的运动找出不变量或变化规律，再结合诸如全等或四边形的判定方法 解决问题解决问题 实战演练实战演练: 1. 如图，RtABC中，C=90 ，AC=2，BC=5，点 D是 BC边上一点且 CD=1，点 P 是线段 DB 上一动点， 连接 AP，以 AP 为斜边在 AP 的下方作等腰 RtAOP当 P 从点 D出

17、发运动至点 B停止时，点 O的运动路 径长为_ 【答案】2 【解析】 解：过 O 点作 OECA于 E，OFBC于 F，连接 CO，如图， AE=PF，即 AC-CE=CF-CP， 而 CE=CF，CE= （AC+CP）， OC=CE=（AC+CP）， 当 AC=2，CP=CD=1 时，OC= （2+1）=， 当 AC=2，CP=CB=5 时，OC= （2+5）=， 当 P 从点 D出发运动至点 B 停止时，点 O的运动路径长=-=2 故答案为 2 2.如图， 菱形 ABCD 的对角线ACBD，相交于点OAC8cmBD6cmAC，上一动点 P 从点 C 出 发，沿 CA 方向以1cm/s的速度

18、向 A 运动，设点 P 运动时间为ts.当 t 等于（ ）时， PCD是直角三角 形 A. 9 s 4 B. 4s C. 9 s 4 或 25 s 4 D. 4s 或 25 s 4 【答案】D 3. 如图，在ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边 BC 上一动点(且点 P 不与点 B、C 重合)，PEAB 于 E，PFAC 于 F，M 为 EF 中点.设 AM 的长为 x，则 x 的取值范围是( ) A4x2.4 B4x2.4 C4x2.4 D4x2.4 【答案】D 【解析】 BAC=90 ，M 为 EF 中点，AM= EF= AP， 当 APBC 时，AP 值最小， 此时 SB

19、AC= 6 8= 10 AP， AP=4.8， 即 AP 的范围是 AP4.8， 2AM4.8， AM 的范围是 AM2.4（即 x2.4） P 为边 BC 上一动点，当 P 和 C 重合时，AM=4， P 和 B、C 不重合， x4， 综上所述，x 的取值范围是：2.4x4 故选：D 4.如图， ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MNBC，设 MN交BCA 的平分 线于点 E，交BCA 的外角平分线于点 F （1）判断 OE 与 OF 的大小关系？并说明理由？ （2）当点 O 运动何处时，四边形 AECF 是矩形？并说出你的理由 【解析】试题分析： (2)由(1

20、)得，OC=OE=OF，所以当 OA=OC 时，对角线 AC 与 EF 互相平分且相等，而对角线相等的平行四边 形是矩形，则当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF是矩形. 5. 如图，已知中，把绕 点沿顺时针方向旋转得到，连接，交于点 求证：； 若，当四边形是菱形时，求的长 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 由旋转的性质得：，且， ， ，即， 在和中， ， ； 6.在矩形纸片 ABCD 中，AD=8，AB=6，E 是边 BC 上的点，将纸片沿 AE 折叠，使点 B 落在点 F 处，连接 FC，当 EFC 为直角三角形时，BE 的长为_ 【答案】3 或 6 7.如图所示，在

21、O 中，直径 MN10，正方形 ABCD 的四个顶点分别在 PM 以及O 的半径 OM，OP 上， 并且POM45 ，则 AB 的长为_ 【答案】 5 POM=45 ， CDO=45 ，CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD，BO=2AB. MN=10，AO=5. 在 Rt ABO 中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52， AB= 5 . 8. 在 中，点 为边上一点，点 为中点，连接，交于点 ，且； （1）如图 1，若，求的值; （2）如图 2，若平分，且，过点 作交于点 且，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 在中，, 由勾股定理得：. 在中， ， 则

22、， 且， ， ， 在与中 ， ， ， 即 9. 如图，正方形 ABCO 的边 OA、OC 在坐标轴上，点 B 坐标为（6，6），将正方形 ABCO 绕点 C 逆时针 旋转角度 （0 90 ），得到正方形 CDEF，ED 交线段 AB 于点 G，ED 的延长线交线段 OA 于点 H， 连结 CH、CG （1）求证：CG 平分DCB； （2）在正方形 ABCO 绕点 C 逆时针旋转的过程中，求线段 HG、OH、BG 之间的数量关系； （3） 连结 BD、 DA、 AE、 EB， 在旋转的过程中， 四边形 AEBD 是否能在点 G 满足一定的条件下成为矩形？ 若能，试求出直线 DE 的解析式；若不能

23、，请说明理由 【答案】（1）见解析；（2） HGOH+BG；（3）能成矩形，y （2）由（1）证得：RtCDGRtCBG，BGDG 在 RtCHO 和 RtCHD 中， RtCHORtCHD（HL），OHHD，HGHD+DGOH+BG 设 H 点的坐标为（x，0），则 HOx，HDx，DG3 在 RtHGA 中，HGx+3，GA3，HA6x， 由勾股定理得：（x+3）232+（6x）2，解得：x2，H 点的坐标为（2，0） 设直线 DE 的解析式为：ykx+b（k0）， 将点 H（2，0）、G（6，3）代入 ykx+b 中，得：，解得：， 直线 DE 的解析式为：y 故四边形 AEBD 能为矩

24、形，此时直线 DE 的解析式为：y 10. 问题情境: 在综合实践课上，张老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，张老师拿着一张矩形纸片 ABCD， 其中 AB=acm, AD=bcm, 如图 1，先沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 的位置，BE 交 AD 于点 F. 操作发现： （1）“奋进”小组发现与 BF 的长度一定相等的线段是哪一条； （2）如图 2“雄鹰”小组将图 1 再折叠一次，使点 D 与点 A 重合，得到折痕 GH，GH 交 AD 于点 M，发 现DGH 是等腰三角形，请你证明这个结论； 实践探究： （3）“创新”小组将自己准备的矩形纸片按照（2）中“雄鹰”小组

25、的作法操作，发现点 E 和点 G 重合，如 图 3，试探究“创新”小组准备的矩形纸片中 a 与 b 满足的数量关系； （4）”爱心”小组在其他小组的基础上提出问题：当 a 与 b 满足什么关系时，点 G 是 DE 的中点？请你直接 出 a 与 b 满足的关系. 【答案】（1）BF=DF,（2）DGH 是等腰三角形,（3）b=(4)a=b 【解析】 解：（1）BF=DF, 由折叠可知:AB=DE,A=E,AFB=EFD, AFBEFD(AAS) BF=DF, （3）由题可知,点 H 为对角线 BD 上的中点,EH=ED, 在 RtBED 中,BD=2EH（斜边中线等于斜边一半） AB=acm, AD=bcm, EH=ED=AB= a,BD= =a,整理得：b=