中考数学热点难点突破：第2.5讲圆的综合题（解析版）

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1、 考纲要求考纲要求: 1圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系的证明会有所下降趋势， 不会有太复杂的大题出现. 2今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究 型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生 活 基础知识回顾基础知识回顾: 知识知识点点 1：圆的有关性质和计算：圆的有关性质和计算 弧、弦、圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组 量也分别对应相等 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且

2、平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半 圆内接四边形的性质： 圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角 知识点知识点 2：点与圆的位置关系：点与圆的位置关系 设点与圆心的距离为d，圆的半径为r， 则点在圆外dr； 点在圆上dr； 点在圆内dr 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆 一个三角形有且只有一个外接圆 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的

3、交点 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 知识点知识点 3：直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， 则直线与圆相离dr；直线与圆相切dr；直线与圆相交dr 切线的性质：与圆只有一个公共点； 圆心到切线的距离等于半径； 圆的切线垂直于过切点的半径 切线的识别：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 三角形的内心到三角形三边的距离相等 切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 切线长定理

4、：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 知识点知识点 4：圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含 设两圆心的距离为d，两圆的半径为 12 rr、，则两圆外离 12 drr 两圆外切 12 drr 两圆相交 1212 rrdrr 两圆内切 12 drr 两圆内含 12 drr 两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴 由对称性知：两圆相切，连心线经过切点两圆相交，连心线垂直平分公共弦 两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线 两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切

5、线 两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长 知识点知识点 5：与圆有关的计算：与圆有关的计算 弧长公式： 180 n r l 扇形面积公式： 2 1 3602 n r Slr 扇形 （其中n为圆心角的度数，r为半径） 圆柱的侧面展开图是矩形 圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体 圆柱的侧面积底面周长高 圆柱的全面积侧面积2底面积 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体 圆锥的侧面积 1 2 底面周长母线；圆锥的全面

6、积侧面积底面积 应用举例应用举例: 招数一、招数一、圆的基本性质证明计算题圆的基本性质证明计算题 【例【例 1】如图，在圆 O 中，弦 AB8，点 C 在圆 O 上（C 与 A，B 不重合），连接 CA、CB，过点 O 分别 作 ODAC，OEBC，垂足分别是点 D、E （1）求线段 DE 的长； （2）点 O 到 AB 的距离为 3，求圆 O 的半径 【答案】（1）DE4；（2）圆 O 的半径为 5 (2)过点 O 作 OHAB，垂足为点 H，则 OH=3，连接 OA， 【例【例 2】 如图， 点 A 在数轴上对应的数为 26， 以原点 O 为圆心， OA 为半径作优弧， 使点 B 在 O

7、右下方， 且 tanAOB= ，在优弧上任取一点 P，且能过 P 作直线 lOB 交数轴于点 Q，设 Q 在数轴上对应的数 为 x，连接 OP （1）若优弧上一段的长为 13，求AOP 的度数及 x 的值； （2）求 x 的最小值，并指出此时直线 l 与所在圆的位置关系； （3）若线段 PQ 的长为 12.5，直接写出这时 x 的值 【答案】（1）POA=90 ，x=；（2）当直线 PQ 与O 相切时时，此时 x 的值为32.5；（3）满足条 件的 x 的值为16.5 或 31.5 或31.5 【解析】（1）如图 1 中， （2）如图当直线 PQ 与O 相切时时，x 的值最小 在 RtOPQ

8、中，OQ=OP =32.5，此时 x 的值为32.5； （3）分三种情况： 如图 2 中，作 OHPQ 于 H，设 OH=4k，QH=3k 在 RtOPH 中，OP2=OH2+PH2， 262=（4k）2+（12.53k）2， 整理得：k23k20.79=0， 解得 k=6.3 或3.3（舍弃）， OQ=5k=31.5 此时 x 的值为 31.5 如图 3 中，作 OHPQ 交 PQ 的延长线于 H设 OH=4k，QH=3k 如图 4 中，作 OHPQ 于 H，设 OH=4k，AH=3k 在 RtOPH 中，OP2=OH2+PH2， 262=（4k）2+（12.53k）2， 整理得：k23k2

9、0.79=0， 解得 k=6.3 或3.3（舍弃）， OQ=5k=31.5 不合题意舍弃 此时 x 的值为31.5 综上所述，满足条件的 x 的值为16.5 或 31.5 或31.5 【例【例 3】如图，正方形 ABCD 内接于O，M 为弧 AD 中点，连接 BM，CM （1）求证：BM=CM； （2）当O 的半径为 2 时，求BOM 的度数 【答案】（1）答案见解析；（2）135 招数二、招数二、圆与圆与三角形三角形全等、相似全等、相似、四边形、四边形知识知识结合结合 【例【例 4】如图，AB 是O 的直径，AB4，E 是上一点，将沿 BC 翻折后 E 点的对称点 F 落在 OA 中 点处，

10、则 BC 的长为（ ） A B2 C D 【答案】D 【解析】解：连接 OC 故选：D 【例【例 5】如图，ABC 是半径为 2 的O 的内接三角形，连接 OA、OB，点 D、E、F、G 分别是 CA、OA、 OB、CB 的中点（1）试判断四边形 DEFG 的形状，并说明理由； （2）填空：若 AB=3，当 CA=CB 时，四边形 DEFG 的面积是 ； 若 AB=2，当CAB 的度数为 时，四边形 DEFG 是正方形 【答案】（1）详见解析；（2） ；75 或 15 【解析】（1）四边形 DEFG 是平行四边形 点 D、E、F、G 分别是 CA、OA、OB、CB 的中点， DGAB，DG=

11、AB，EFAB，EF= AB， DGEF，DG=EF， 四边形 DEFG 是平行四边形； （2）连接 OC， CA=CB，DGOC， AD=DC，AE=EO， DEOC，DE= OC=1，同理 EF= AB= ， DEDG，四边形 DEFG 是矩形， 四边形 DEFG 的面积= 故答案为 ； 【例【例 6】（2016 秋平舆县期中） 如图， O 的半径为 1， 点 A、 P、 B、 C 是O 上的四个点， APC=CPB=60 （1）求证：ABC 是等边三角形； （2）填空： PC、PB、PA 之间的数量关系是 ； 四边形 APBC 的最大面积为 （2）如图 1，在 PC 上截取 PD=AP，

12、 又APC=60 ， APD 是等边三角形， AD=AP=PD，ADP=60 ，即ADC=120 又APB=APC+BPC=120 ， ADC=APB， 在APB 和ADC 中， ， APBADC（AAS）， BP=CD， 又PD=AP， CP=BP+AP， 故答案为：CP=BP+AP； 当点 P 为的中点时，四边形 APBC 的面积最大 理由如下，如图 2，过点 P 作 PEAB，垂足为 E 过点 C 作 CFAB，垂足为 F SAPB=ABPE，SABC=ABCF， S四边形APBC=AB（PE+CF）， 当点 P 为的中点时，PE+CF=PC，PC 为O 的直径 此时四边形 APBC 的

13、面积最大 又O 的半径为 1， 其内接正三角形的边长 AB=， S四边形APBC=2=， 故答案为： 招数三、招数三、圆与三角函数等其他知识圆与三角函数等其他知识结合结合 【例【例 7】如图，在 RtACB 中，ACB=90 ，以点 A 为圆心，AC 长为半径的圆交 AB 于点 D，BA 的延长 线交A 于点 E，连接 CE，CD，F 是A 上一点，点 F 与点 C 位于 BE 两侧，且FAB=ABC，连接 BF （1）求证：BCD=BEC； （2）若 BC=2，BD=1，求 CE 的长及 sinABF 的值 【答案】（1）见解析；（2）CE=， sinABF=. （2）BCD=BEC，EBC

14、=EBC， BDCBCE， ， BC=2，BD=1，BE=4，EC=2CD， DE=BEBD=3， 在 RtDCE 中，DE2=CD2+CE2=9，CD=，CE=， 过点 F 作 FMAB 于 M， FAB=ABC，FMA=ACB=90 ， AFMBAC，DE=3， AD=AF=AC= ，AB= ，FM=， 【例【例 8】已知O 的直径 AB=2，弦 AC 与弦 BD 交于点 E且 ODAC，垂足为点 F （1）如图 1，如果 AC=BD，求弦 AC 的长； （2）如图 2，如果 E 为弦 BD 的中点，求ABD 的余切值； （3） 联结 BC、 CD、 DA， 如果 BC 是O 的内接正 n

15、 边形的一边， CD 是O 的内接正 （n+4） 边形的一边， 求ACD 的面积 【答案】（1）AC=；（2）cotABD=；（3）SACD= （2）如图 1，连接 BC， AB 为直径，ODAC，AFO=C=90 ， ODBC，D=EBC， DE=BE、DEF=BEC， DEFBEC（ASA）， BC=DF、EC=EF， 又AO=OB，OF 是ABC 的中位线， 设 OF=t，则 BC=DF=2t， DF=DOOF=1t，1t=2t， 解得：t= ， 则 DF=BC= 、AC=， EF= FC= AC=， OB=OD，ABD=D， 则 cotABD=cotD=； （3）如图 2， 招数三、求

16、招数三、求阴影部分面积问题阴影部分面积问题 【例【例 9】如图，在中，于点 ，于点 ，以点 为圆心，为半径作半圆，交 于点 . （1）求证：是的切线； （2）若点 是的中点，求图中阴影部分的面积； （3）在（2）的条件下，点 是边上的动点，当取最小值时，直接写出的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】（1）过 作垂线，垂足为 ，平分 为 的半径，为 的半径， 是 的切线 （3）作 关于的对称点 ，交于 ，连接交于 此时最小 由（2）知， ， ， 即 ，即， . 方法、规律归纳方法、规律归纳: 1 在弄清题意的基础上把复杂图形分解为几个基本图形进行思考， 并适当添加辅助线补全

17、或构造基本图形， 在弄清题意的基础上把复杂图形分解为几个基本图形进行思考， 并适当添加辅助线补全或构造基本图形， 在直径或有切线的条件下，构造直角三角形或利用圆内角的关系构造相似三角形，从而使已知和未知之间在直径或有切线的条件下，构造直角三角形或利用圆内角的关系构造相似三角形，从而使已知和未知之间 建立联系建立联系 2掌握常规的与圆有关的问题的证明方法与技掌握常规的与圆有关的问题的证明方法与技巧巧(如证角相等、证线段相等、证线段垂直等如证角相等、证线段相等、证线段垂直等)，掌握与圆有，掌握与圆有 关的图形关的图形(如圆外切三角形、圆内接三角形、圆内接四边形、圆内接正如圆外切三角形、圆内接三角形

18、、圆内接四边形、圆内接正 n 边形等边形等)的特殊性质与计算公式，对的特殊性质与计算公式，对 于求阴影部分的面积有以下几种解决方法：方法一：加减法，将阴影部分变成几个规则图形的和或差；方于求阴影部分的面积有以下几种解决方法：方法一：加减法，将阴影部分变成几个规则图形的和或差；方 法二：割补法，将阴影部分分割法二：割补法，将阴影部分分割成几部分，然后将它们补在某些合适的地方；方法三：覆盖法，几个规则成几部分，然后将它们补在某些合适的地方；方法三：覆盖法，几个规则 图形覆盖在一起，重叠部分就是阴影部分。图形覆盖在一起，重叠部分就是阴影部分。 3注意数学思想方法的运用，如转化思想，通过与圆有关的直角

19、三角形的勾股定理把证明问题转化为方程注意数学思想方法的运用，如转化思想，通过与圆有关的直角三角形的勾股定理把证明问题转化为方程 计算问题等，熟悉并掌握这类问题的常用解题方法和解题策略。计算问题等，熟悉并掌握这类问题的常用解题方法和解题策略。 实战演练实战演练: 1. 在平面直角坐标系内，以原点 O 为圆心，1 为半径作圆，点 P 在直线上运动，过点 P 作该 圆的一条切线，切点为 A，则 PA 的最小值为 A3 B2 C D 【答案】D 【解析】 OHCD= OCOD， OH=. 2. 如图，A 是半径为 6cm 的O 上的定点，动点 P 从 A 出发，以 cm/s 的速度沿圆周按顺时针方向运

20、动， 当点 P 回到 A 时立即停止运动设点 P 运动时间为 t（s）; （1）当 t=6s 时，POA 的度数是_； （2）当 t 为多少时，POA=120 ； （3）如果点 B 是 OA 延长线上的一点，且 AB=AO，问 t 为多少时，POB 为直角三角形？请说明理由 【答案】（1）180；当点 P 运动的时间 t 为 4s 或 8s 时，POA=120 ；（3）当点 P 运动的时间为 2s 或 3s 或 9s 或 10s 时，POB 为直角三角形 【解析】（1）设POA=n ，则 弧 AP 的长=6=， n=180 即POA 的度数是 180 故答案为 180； （2）当POA=120

21、 时，如图，点 P 运动的路程为O 周长的 （图中 P1处）或 （图中 P2处）， 设点 P 运动的时间为 ts 当点 P 运动的路程为O 周长的 时，t= 26， 解得 t=4； 当点 P 运动的路程为O 周长的 时，t= 26， 解得 t=8； 当点 P 运动的时间 t 为 4s 或 8s 时，POA=120 ； 当OPB=90 时，如图，（图中 P3处）或（图中 P4处）， 设点 P 运动的时间为 ts 当点 P 运动 P3处时，连接 AP3 OP3B=90 ，OA=AB， AP3=OA=OP3， OAP3是等边三角形， AOP3=60 ， t= 26， 解得 t=2； 当点 P 运动

22、P4处时，连接 AP4 OP4B=90 ，OA=AB， 综上可知，当点 P 运动的时间为 2s 或 3s 或 9s 或 10s 时，POB 为直角三角形 （ 3. 如图，在ABC 中，C=90 ,AE 平分BAC 交 BC 于点 E,O 是 AB 上一点，经过 A,E 两点的O 交 AB 于点 D，连接 DE，作DEA 的平分线 EF 交O 于点 F，连接 AF. （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 sinEFA= ,AF=,求线段 AC 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）6.4. 【解析】证明：（1）如图 1，连接， ，. 平分，. , . 为的半径，是的切线. （2）如图 2

23、，连接. ， 4.已知：如图，以等边ABC 的边 BC 为直径作O，分别交 AB，AC 于点 D，E，过点 D 作 DFAC 交 AC 于点 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若等边ABC 的边长为 8，求由、DF、EF 围成的阴影部分面积 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）如图，连接 CD、OD， BC 是O 的直径， CDB=90 ，即 CDAB， 又ABC 是等边三角形，AD=BD， BO=CO，DO 是ABC 的中位线，ODAC， DFAC，DFOD， DF 是O 的切线； 5.如图，O 的半径为 4，ABC 是O 的内接三角形，连接 OB、OC若BAC 与BO

24、C 互补，则弦 BC 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 【解答】解：过点 O 作 ODBC 于 D， 则 BC=2BD， ABC 内接于O，BAC 与BOC 互补， BOC=2A，BOC+A=180 ， BOC=120 ， OB=OC， OBC=OCB=（180 BOC）=30 ， O 的半径为 4， BD=OBcosOBC=4=2， BC=4 故选：B 6. 如图，已知平行四边形 OABC 的三个顶点 A、B、C 在以 O 为圆心的半圆上，过点 C 作 CDAB，分别 交 AB、AO 的延长线于点 D、E，AE 交半圆 O 于点 F，连接 CF （1）判断直线 DE 与半圆 O 的位置关

25、系，并说明理由； （2）求证：CF=OC； 若半圆 O 的半径为 12，求阴影部分的周长 【答案】（1）DE 是O 的切线；（2）证明见解析；4+12+ （2）由（1）可知：COF=60 ，OC=OF，OCF 是等边三角形，CF=OC； 7.如图， 正方形 ABCD 和正AEF 都内接于O， EF 与 BC、 CD 分别相交于点 G、 H， 则的值是 （ ） A B C D2 【解答】解：如图，连接 AC、BD、OF， 8. 如图，已知 AB，CD 是的直径，过点 C 作的切线交 AB 的延长线于点 P，的弦 DE 交 AB 于点 F，且 DF=EF （1）求证：CO2=OF OP； （2）连

26、接 EB 交 CD 于点 G，过点 G 作 GHAB 于点 H，若 PC=，PB=4，求 GH 的长 【答案】（1）见解析；（2）. （2）解：如图作于 ，连接、设 在中， ， ， ， 是直径， ， 四边形是矩形， ， 在中， 9. 如图， 四边形 ABCD 内接于O， 对角线 AC 为O 的直径， 过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E， 点 F 为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF （1）求CDE 的度数； （2）求证：DF 是O 的切线； （3）若 AC=2DE，求 tanABD 的值 OD=OC， OCD=ODC， OCF=90 ， ODF=ODC+FDC=OCD+D

27、CF=90 ， DF 是O 的切线； 方法二：如图所示：可得ABD=ACD， E+DCE=90 ，DCA+DCE=90 ， DCA=E， 又ADC=CDE=90 ， CDEADC， =， DC2=ADDE AC=2DE， 设 DE=x，则 AC=2x， 则 AC2AD2=ADDE， 期（2x）2AD2=ADx， 整理得：AD2+ADx20 x2=0， 解得：AD=4x 或5x（负数舍去）， 则 DC=2x， 故 tanABD=tanACD=2 10. 如图1， 直线l：与x轴交于点， 与y轴交于点B， 点C是线段OA上一动点 以点 A 为圆心， AC 长为半径作交 x 轴于另一点 D， 交线段 AB 于点 E， 连结 OE 并延长交于点 F 求直线 l 的函数表达式和的值； 如图 2，连结 CE，当时， 求证：； 求点 E 的坐标； 当点 C 在线段 OA 上运动时，求的最大值 【答案】（1）直线 l 的函数表达式，；证明见解析；E； 最大值为 如图 2，连接 DF， ， ， 过点于 M， 由知， 设，则， ， ， ， 由知， ， ， ， ， ， 舍 或， ， ； 连接 FH， 是直径， ， ， ， ， ， 时，最大值为