中考数学热点难点突破：第2.6讲图形变换之平移与对称（解析版）

《中考数学热点难点突破：第2.6讲图形变换之平移与对称（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学热点难点突破：第2.6讲图形变换之平移与对称（解析版）（18页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、 考纲要求考纲要求: 1理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移的概念. 2运用图形的轴对称、平移进行图案设计. 3利用平移、对称的图形变换性质解决有关问题. 基础知识回顾基础知识回顾: 知识点一：知识点一：图形变换图形变换 1.图 形 的 轴 对称 （1）定义：轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一 个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称 轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够 重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. （2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连 线段的垂直平分线；反过来

2、，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂 直平分. 2.图 形 的平移 （1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运 动称为平移 （2）性质：平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行； 平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同； 平移不改变图形的形状和大小， 只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全 等 3.图 形 的 中 心 对称 （1）把一个图形绕着某一点旋转 180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么这 两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心 （2）关于中心对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形,对称点 连线都经过

3、对称中心,并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形,对应线 段平行（或者在同一直线上）且相等. 知识点二知识点二 ：网格作图网格作图 坐标与图 形的位置 及运动 图 形 的 平 移 变 换 在平面直角坐标系内， 如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去) 一个正数 a， 相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移 a 个单位长 度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数 a，相应的新图 形就是把原图形向上(或向下)平移 a 个单位长度 图 形 关 于 坐 标 轴 成 对 称变换 在平面直角坐标系内，如果两个图形关于 x 轴对称，那么这两个图形 上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反

4、数； 在平面直角坐标系内，如果两个图形关于 y 轴对称，那么这两个图形 上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等 图 形 关 于 原 点 成 中 心 对称 在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两 个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数 应用举例应用举例: 招数招数一一、变换图形的形状问题变换图形的形状问题 【例【例 1】通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形. _ 【答案】 招数招数二二、平面坐标系中的图形变换问题平面坐标系中的图形变换问题 【例【例 2】如图，ABC 三个顶点为 A(3，4)、B(5，4)、C(1，2)请解答

5、下列问题： (1)画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1，使点 A1与 A 对应，点 B1与 B 对应； (2)画出ABC 绕点 O 顺时针旋转 90 后得到的A2B2C2，使点 A2与 A 对应，点 B2与 B 对应； (3)若A1B1C1和A2B2C2关于某直线对称，请直接写出该直线的解析式_； (4)直接写出ABC 的外心坐标_ 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）y=x；（4）（4，1）. 【解析】 （1）如图，A1B1C1为所作； 【例【例 3】ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将ABC 向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位 到A1B1C1，A1B1C

6、1和A2B2C2关于 x 轴对称 (1)画出A1B1C1和A2B2C2 (2)在 x 轴上确定一点 P，使 BPA1P 的值最小，直接写出 P 的坐标为_ (3)点 Q 在坐标轴上且满足ACQ 为等腰三角形，则这样的 Q 点有 个 【解析】试题分析：（1）利用平移的性质以及轴对称的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置； （3）利用等腰三角形的性质进而得出符合题意的答案 试题解析：(1)如图所示：A1B1C1和A2B2C2即为所求, (2)如图所示：点 P 即为所求； 故答案为: 0,0 . (3)如图所示：即为所求，共 7 个点. 故答案为：7.

7、招数招数三三、函数中的图形变换问题函数中的图形变换问题 【例【例 4】如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A（3，4），C 在 x 轴的负半轴， 抛物线 y= （x2）2+k 过点 A （1）求 k 的值； （2）若把抛物线 y= （x2）2+k 沿 x 轴向左平移 m 个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形 OABC 的顶点 C试判断点 B 是否落在平移后的抛物线上，并说明理由 【答案】 （1）（2）当 m=5 时，点 B 在平移后的抛物线上；当 m=9 时，点 B 不在平移后的抛物线上 （2）如图所示，设 AB 与 y 轴交于点 D，则 ADy 轴，AD=3，

8、OD=4， 四边形 OABC 是菱形，OA=AB=OC=5，BD=ABAD=2，B（2，4） 令 y=0，得， 解得：x1=0，x2=4， 抛物线与 x 轴交点为 O（0，0）和 E（4，0），OE=4， 当 m=OC=5 时，平移后的抛物线为， 令 x=2 得， 点 B 在平移后的抛物线上； 当 m=CE=9 时，平移后的抛物线为， 令 x=2 得， 点 B 不在平移后的抛物线上 综上，当 m=5 时，点 B 在平移后的抛物线上；当 m=9 时，点 B 不在平移后的抛物线上 招数招数四四、三角形、四边形中图形变换问题三角形、四边形中图形变换问题 【例【例 5】已知：如图，三角形 ABM 与三

9、角形 ACM 关于直线 AF 成轴对称，三角形 ABE 与三角形 DCE 关 于点 E 成中心对称，点 E、D、M 都在线段 AF 上，BM 的延长线交 CF 于点 P （1）求证：AC=CD； （2）若BAC=2MPC，请你判断F 与MCD 的数量关系，并说明理由 (2)F=MCD. 理由：由(1)可得BAE=CAE=CDE，CMA=BMA， BAC=2MPC，BMA=PMF， 设MPC=，则BAE=CAE=CDE=， 设BMA=，则PMF=CMA=， F=CPMPMF=， MCD=CDEDMC=， F=MCD. 【例【例 6】如图，在中，点 M 为边 AC 的中点，点 N 为边 BC 上任

10、 意一点，若点 C 关于直线 MN 的对称点 恰好落在的中位线上，则 CN 的长为_ 【答案】 或 【解析】取 BC、AB 的中点 H、G，连接 MH、HG、MG 如图 1 中，当点 落在 MH 上时，设， 在中， ， 招数招数五五、图案设计方案问题图案设计方案问题 【例【例 7】生活中因为有美丽的图案,才显得丰富多彩,以下是来自现实生活中的图标(图 1).请在图 2、图 3 中画 出两个是轴对称图形的新图案,并给它们各给出一句形象、诙谐的解说词. 【解析】试题分析：根据线段、圆及正方形是轴对称图形，所以可根据可在圆中画对称的线段、圆及正方 形即可 试题解析： 方法、规律归纳方法、规律归纳:

11、1识别某图形是轴对称图形还是中心对称图形的关键在于对定义的准确把握，抓住轴对称图形、中心对称 图形的特征，看看能否找出其对称轴或对称中心，再去作出判断. 2在平面直角坐标系中，将点 P(x，y)向右(或左)平移 a 个单位长度后，其对应点的坐标变为(xa，y)或 (xa，y)；将点 P(x，y)向上(或下)平移 b 个单位长度后，其对应点的坐标变为(x，yb)或(x，yb) 3要画出一个图形的平移、对称后的图形，关键是先确定一些关键点，根据相应顶点的平移方向、平移距 离、对称不变的性质作出关键点的对应点，这种以“局部代整体”的作图方法是平移、对称中最常用的方法 4利用平移、对称的性质解题时，要

12、抓住平移规律及对称中不变的特点来解决问题. 实战演练实战演练: 1. 如图所示，把一个三角形纸片 ABC 的三个顶角向内折叠之后(3个顶点不重合)，那么图中 123456 的度数和是（ ） A180 B270 C360 D540 【答案】C 2. 如图，抛物线 y1=x2+2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2，则图中阴影部分的面积是（ ） A2 B3 C4 D无法计算 【答案】A 【解析】如下图所示， 抛物线 y1=-x2+2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2， 两个顶点的连线平行 x 轴， 图中阴影部分和图中红色部分是等底等高的， 图中阴影部分等于红色部分的面积， 而红色部分的是一个

13、矩形，长、宽分别为 2，1， 图中阴影部分的面积 S=2 故选 A 3. 将抛物线 2 12yx向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物线的解析式 为（ ） A. 2 24yx B. y（x4）24 C. 2 2yx D. 2 4yx 【答案】B 4.以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为原点,直线 AD 为 x 轴建立平面直角坐标系,已知点 B,D 的坐标分别为 (1,3),(4,0),把平行四边形向上平移 2 个单位长度,则 C 点平移后相应的点的坐标是_. 【答案】(5,5) 5. 如图， 在等边ABC 中， AB=4， 点 P 是 BC 边上的动点， 点 P

14、关于直线 AB， AC 的对称点分别为 M， N， 则线段 MN 长的取值范围是 . 【答案】. 【解析】试题解析：如图，当点 P 为 BC 的中点时，MN 最短 此时 G（H）为 AB（AC）的中点， CG=2（BH=2）， CM=4（BN=4） 故线段 MN 长的取值范围是 6MN4 6. 如图，已知 RtABC 中，ABC90 ，先把ABC 绕点 B 顺时针旋转 90 至DBE 后，再把ABC 沿射 线 AB 平移至FEG，DE、FG 相交于点 H判断线段 DE、FG 的位置关系，并说明理由 7. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的直角顶点在 x 轴上，顶点 B 在 y

15、 轴上，顶点 C 在 函数的图象上，且轴 将沿 y 轴正方向平移，使点 A 的对应点落在此函数的图象 上，则平移的距离为_ 【答案】4 【解析】设 三角形 ABC 是等腰直角三角形，轴， ， ， 作于 D，则， 8.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵 坐标都乘以同一种实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位（m0，n0）得到 正方形 ABCD及其内部的点，其中点 A、B 的对应点分别为 A，B已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F与点 F 重合，求点 F 的坐标 由 B

16、 到 B，可得方程组： 20 23 na ma ，解得：a= 1 2 ，m= 1 2 ，n=2 设 F 点的坐标为（x，y），点 F点 F 重合得到方程组： yy xx 2 2 1 2 1 2 1 ，解得： 4 1 y x ，即 F（1，4） 9. 如图，在平面直角坐标系中，长方形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上点 B 的坐标为 （8，4），将该长方形沿 OB 翻折，点 A 的对应点为点 D，OD 与 BC 交于点 E （I）证明：EO=EB； （）点 P 是直线 OB 上的任意一点，且OPC 是等腰三角形，求满足条件的点 P 的坐标； （）点M 是 OB 上任意一

17、点，点 N 是 OA 上任意一点，若存在这样的点 M、N，使得 AM+MN 最小，请 直接写出这个最小值 【答案】 （I）证明见解析； （）P 的坐标为（4，2）或（，）或 P（，）或（， ）； （） （）点 B 的坐标为（8，4）， 直线 OB 解析式为 y= x， 点 P 是直线 OB 上的任意一点，设 P（a， a） O（0，0），C（0，4）， OC=4，PO2=a2+（ a）2= a2，PC2=a2+（4- a）2 当OPC 是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论： 如果 PO=PC，那么 PO2=PC2， 则 a2=a2+（4- a）2，解得 a=4，即 P（4，2）； 如果 PO=

18、OC，那么 PO2=OC2， 则 a2=16，解得 a=，即 P（，）或 P（-，-）； 如果 PC=OC 时，那么 PC2=OC2， 则 a2+（4- a）2=16，解得 a=0（舍），或 a=，即 P（， ）； 故满足条件的点 P 的坐标为（4，2）或（，）或 P（-，-）或（， ）； （）如图，过点 D 作 OA 的垂线交 OB 于 M，交 OA 于 N， 此时的 M，N 是 AM+MN 的最小值的位置，求出 DN 就是 AM+MN 的最小值 DE=3，BE=5，BD=4， S BDE = DE BD= BE DG， DG=， 由题意有，GN=OC=4， DN=DG+GN=+4= 即：A

19、M+MN 的最小值为 10. 如图，在平面直角坐标系中，点 F 的坐标为（0，10）点 E 的坐标为（20，0），直线 l1经过点 F 和 点 E，直线 l1与直线 l2 、y= x 相交于点 P （1）求直线 l1的表达式和点 P 的坐标； （2）矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴的正半轴上，点 A 与点 F 重合，点 B 在线段 OF 上，边 AD 平行于 x 轴， 且 AB=6，AD=9，将矩形 ABCD 沿射线 FE 的方向平移，边 AD 始终与 x 轴平行已知矩形 ABCD 以每秒 个单位的速度匀速移动（点 A 移动到点 E 时止移动），设移动时间为 t 秒（t0） 矩形 ABC

20、D 在移动过程中，B、C、D 三点中有且只有一个顶点落在直线 l1或 l2上，请直接写出此时 t 的 值； 若矩形 ABCD 在移动的过程中，直线 CD 交直线 l1于点 N，交直线 l2于点 M当PMN 的面积等于 18 时，请直接写出此时 t 的值 【答案】 （1）直线 l1的表达式为 y= x+10，点 P 坐标为（8，6）； （2）t 值为或 ；当 t=时， PMN 的面积等于 18. （2）如图，当点 D 在直线上 l2时， AB=6， 点 A 的纵坐标比点 B 的纵坐标高 6 个单位， 直线 l1的解析式减去直线 l2 的解析式得， x+10 x=6， 解得 x=，y= x+10=， 则点 A 坐标为（，） 则 AF=， 点 A 速度为每秒个单位，t= ， 故 t 值为或 ； 如图， 设直线 AB 交 l2 于点 H，