中考数学热点难点突破：第2.7讲图形变换之旋转（解析版）

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1、 考纲要求考纲要求: 1能够按要求作出简单平面图形经过旋转后的图形. 2探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的旋转性质及其相关性质. 3利用图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）解决问题. 基础知识回顾基础知识回顾: 1.旋转概念：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转.点 O 叫做旋转中心，转动的角叫 做旋转角. 2.旋转变换的性质 图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点 与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中， 图形的形状、大小都没有

2、发生变化. 3.旋转作图步骤 分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 分析所作图形，找出构成图形的关键点. 沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 4.中心对称与中心对称图形 中心对称： 把一个图形绕着某一点旋转 180， 它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这个点对称或 中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点 中心对称图形： 把一个图形绕着某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心 对称图形. 5.中心对称作图步骤 连结

3、决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至 2 倍，得到各点的对称点. 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 应用举例应用举例: 招数一招数一、正三角形类型正三角形类型 【例【例 1】已知，点 是等边内一点，线段 绕点 逆时针旋转到， 连接求的长求的度数 【答案】（1）4（2）150 连接 、是等边三角形， 在和中， ， 在中， 是直角三角形，且 是等边三角形， 【例【例 2】已知：如图，在ABC 中，BAC=120 ，以 BC 为边向形外作等边三角形 BCD，把ABD 绕着点 D 按顺时针方向旋转 60 后得到ECD，若 AB=5，AC=3，求BAD 的度数与 AD

4、的长 【答案】BAD=60 ，AD=8 招数招数二二、等腰直角三角形类型等腰直角三角形类型 【例【例 3】在平面直角坐标系 xOy 中，将等腰直角三角形 AOB 按如图所示的位置放置，然后绕原点 O 逆时针 旋转 90 到 AOB的位置，若点 B 的坐标为 B(4，0)，则点 A 的坐标为（ ） A. （2，2） B. （2 2， 2 2） C. （2，2） D. （2 2， 2 2） 【答案】C 【解析】如图，过点 A 作 ACOB 于 C，过点 A作 ACOB于 C， 【例【例 4】已知 RtABC 中，ACB=90 ，CA=CB=4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在 C 处， CP=

5、CQ=2，将三角板 CPQ 绕点 C 旋转（保持点 P 在 ABC 内部），连接 AP、BP、BQ （1）如图 1 求证：AP=BQ； （2）如图 2 当三角板 CPQ 绕点 C 旋转到点 A、P、Q 在同一直线时，求 AP 的长； （3）设射线 AP 与射线 BQ 相交于点 E，连接 EC，写出旋转过程中 EP、EQ、EC 之间的数量关系 【答案】（1）证明见解析（2） （3）EP+EQ= EC 【解析】解：（1）如图 1 中，ACB=PCQ=90 ， ACP=BCQ 且 AC=BC，CP=CQ ACPBCQ（SAS） PA=BQ 如图 2 中，作 CHPQ 于 H 解：结论：EP+EQ=

6、EC 理由：如图 3 中，作 CMBQ 于 M，CNEP 于 N，设 BC 交 AE 于 O ACPBCQ，CAO=OBE， AOC=BOE，OEB=ACO=90 ， M=CNE=MEN=90 ，MCN=PCQ=90 ，PCN=QCM， PC=CQ，CNP=M=90 ，CNPCMQ（AAS）， CN=CM，QM=PN，CE=CE， RtCEMRtCEN（HL）， EN=EM，CEM=CEN=45 EP+EQ=EN+PN+EMMQ=2EN，EC=EN， EP+EQ=EC 招数招数三三、正方形类型正方形类型 【例【例 5】如右上图，在正方形 ABCD 中 AB=3，以 B 为圆心，半径为 1 画B

7、，点 P 在B 上移动，连接 AP， 并将 AP 绕点 A 逆时针方向旋转 90 至 AP， 连接 BP， 在点 P 移动过程中， BP长的取值范围是_ 【来源】江苏省常州市正衡中学天宁分校 2018 届九年级第二次模拟考试数学试题 【答案】3-1BP3+1 解：如图，当 P在对角线 BD 上时，BP最小，连接 BP， 在 RtABD 中，AB=AD=3， 由勾股定理得：BD=， BP=BD-PD=3-1，BE=3-1+2=3+1, 即 BP长度的最小值为（3-1）cm,最长距离为：3+1. 故答案为：3-1BP3+1 【例【例 6】请阅读下列材料： 问题：如图 1，在等边三角形 ABC 内有

8、一点 P，且 PA=2，PB=3，PC=1、求BPC 度数的大小和等边三 角形 ABC 的边长 李明同学的思路是：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 ，画出旋转后的图形（如图 2），连接 PP，可得PPC 是等边三角形，而PPA 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到BPC= APB=_；，进而求出等边ABC 的边长为_； 问题得到解决 请你参考李明同学的思路， 探究并解决下列问题： 如图 3， 在正方形 ABCD 内有一点 P， 且 PA=5， BP=2， PC=1求BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边长 【来源】【全国百强校】重庆市江津中学校 2018 届九年级上学期第

9、二次阶段（半期)考试数学试题 【答案】（1）150 ，；（2）135 ，5 【解析】试题分析：（1）利用旋转的性质，得到全等三角形. (2)利用 （1） 中的解题思路， 把BPC,旋转， 到BPA,连接 PP,BP， 容易证明APP是直角三角形， BPE=45， 已知边 BP=BP=2，BE=BP=1，勾股定理可求得正方形边长. 在APP 中，AP=1，PP=2，AP=5， 2 22 125，即 AP2+PP2=AP2； APP 是直角三角形，即APP=90 ， APB=135 ， BPC=APB=135 招数四、招数四、三角形与圆混合类型三角形与圆混合类型 【例【例 7】平面上，RtABC

10、与直径为 CE 的半圆 O 如图 1 摆放，B=90 ，AC=2CE=m，BC=n，半圆 O 交 BC 边于点 D，将半圆 O 绕点 C 按逆时针方向旋转，点 D 随半圆 O 旋转且ECD 始终等于ACB，旋转角 记为 （0180） （1）当 =0时，连接 DE，则CDE= ，CD= ； （2）试判断：旋转过程中的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明； （3）若 m=10，n=8，当 =ACB 时，求线段 BD 的长； （4）若 m=6，n=4，当半圆 O 旋转至与ABC 的边相切时，直接写出线段 BD 的长 【答案】（1）90 ， ；（2）无变化；（3）；（4）BD=或 【解析】(1)

11、如图 1 中，当 =0 时，连接 DE，则CDE=90 CDE=B=90 ，DEAB，= BC=n，CD= 故答案为：90 ， n 如图 2 中，当 =180时，BD=BC+CD= n，AE=AC+CE= m， = 故答案为： （2）如图 3 中，ACB=DCE，ACE=BCD ，ACEBCD， （4）m=6，n=，CE=3，CD=2，AB=2， 如图 5 中， 当 =90时， 半圆与 AC 相切 在 RtDBC 中， BD=2 如图 6 中，当 =90+ACB 时，半圆与 BC 相切，作 EMAB 于 MM=CBM=BCE=90 ，四 边形 BCEM 是矩形，AM=5，AE=， 由（2）可知

12、=，BD= 故答案为：2或 招数五、招数五、三角形与函数混合类型三角形与函数混合类型 【例【例 8】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90 得到平行四边形 ABOC抛物线 yx2+2x+3 经过点 A、C、A三点 （1）求 A、A、C 三点的坐标； （2）求平行四边形 ABOC 和平行四边形 ABOC重叠部分COD 的面积； （3）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点 M 在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并 写出此时 M 的坐标 【答案】（1）C（1，0），A（3，0），A（0，3）；（2）；（3）SAMA （m ）

13、2+，当 m 时，SAMA的值最大，最大值为，此时 M 点坐标为（ ，） （2）四边形 ABOC 为平行四边形， ABOC，ABOC， 而 C（1，0），A（0，3），B（1，3）， OB，S AOB 3 1 ， 又平行四边形 ABOC 旋转 90 得平行四边形 ABOC， ACOOCD，OCOC1，又ACOABO， ABOOCD又CODAOB，CODBOA， ()2（）2 ， SCOD ； 方法、规律归纳方法、规律归纳: 1旋转问题处理方法：灵活利用旋转的性质旋转问题处理方法：灵活利用旋转的性质 对应点到旋转中心的距离相等对应点到旋转中心的距离相等. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角

14、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 旋转前后的图形全等旋转前后的图形全等. 找到所要解决问题与旋转包含等量的联系找到所要解决问题与旋转包含等量的联系. 2构造旋转的解题方法：构造旋转的解题方法： 遇中点，旋遇中点，旋 180，构造中心对称；，构造中心对称； 遇遇 90，旋，旋 90，造垂直；，造垂直； 遇遇 60，旋，旋 60，造等边；，造等边； 遇等腰，旋顶角。遇等腰，旋顶角。 综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转。 实战演练实战演练: 1. 如图，在 RtABC 中，ABC=90 ，AB=BC=2,将ABC

15、 绕点 C 逆时针旋转 60 ，得到MNC，连结 BM，则 BM 的长是（ ） A4 B31 C32 D7 【答案】B 【解析】试题解析：如图，连接 AM， 2. 如图，正 ABC 的边长为 4，将正 ABC 绕点 B 顺时针旋转 120 得到 CAB，若点 D 为直线 AB 上的一 动点，则 AD+CD 的最小值是_ 【答案】8 3. 如图，在等边ABC 中，AB=4，D 是 BC 的中点，将ABD 绕点 A 旋转后得到ACE，连接 DE 交 AC 于点 F，则AEF 的面积为_ 【答案】 【解析】解：在等边ABC 中，B=60 ，AB=4，D 是 BC 的中点， ADBC，BAD=CAD=

16、30 ， AD=ABcos30 =4=2， 根据旋转的性质知，EAC=DAB=30 ，AD=AE， DAE=EAC+CAD=60 ， ADE 的等边三角形， DE=AD=2，AEF=60 , EAC=CAD EF=DF=，AFDE AF=EFtan60 =3， S AEF = EF AF= 3=. 故答案为：. 4 . 如图，已知在ABCD 中，AEBC 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于ABC，把BAE 顺时针旋 转得到BAE，连接 DA，若ADC=60 ，AD=5，DC=4，则 DA的大小为_ 【答案】 【解析】过点 A作 AFAD 于点 F，可得四边形 AEAF 为矩形， 5. 在

17、如图的平面直角坐标系中，抛物线 yax22amx+am2+1（a0）与 x 轴交于点 A 和点 B，点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴交于点 C，顶点是 D，且DAB45 （1）填空：点 C 的纵坐标是 （用含 a、m 的式子表示）； （2）求 a 的值； （3）点 C 绕 O 逆时针旋转 90 得到点 C，当 m 时，求 BC的长度范围 【答案】（1）am2+1；（2）a1；（3）0BC （2）设抛物线对称轴与 x 轴交于点 E，如图 1 所示 DADB，DAB45 ， ABD 为等腰直角三角形， AB2DE yax22amx+am2+1a（xm）2+1， 点 D 的坐标为（m，1） 当

18、y0 时，ax22amx+am2+10，即 a（xm）21， 解得：x1m，x2m+， AB22， 解得：a1 6. 在ABC 中，BAC90 ，ABAC，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B、C 重合），以 AD 为边 在 AD 的右侧作正方形 ADEF，连接 CF （1）观察猜想：如图（1），当点 D 在线段 BC 上时， BC 与 CF 的位置关系是： ； BC、CD、CF 之间的数量关系为： （将结论直接写在横线上） （2）数学思考：如图（2），当点 D 在线段 CB 的延长线上时，上述、中的结论是否仍然成立？若成 立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明 【答

19、案】（1）BCCF；BC=CF+CD；（2）CFBC 成立；BC=CD+CF 不成立，CD=CF+BC DABFAC，CF=BD， BC=BD+CD，BC=CF+CD； 故答案为：BC=CF+CD； （2）CFBC 成立；BC=CD+CF 不成立，CD=CF+BC 正方形 ADEF 中，AD=AF， BAC=DAF=90 ， BAD=CAF， 在DAB 与FAC 中，DABFAC，ABD=ACF， BAC=90 ，AB=AC，ACB=ABC=45 ABD=180 45 =135 ， BCF=ACFACB=135 45 =90 ，CFBC CD=DB+BC，DB=CF，CD=CF+BC 7.在R

20、t ABC中， 90C，将Rt ABC绕点 A 顺时针旋转到Rt ADE的位置，点 E 在斜边 AB 上， 连结 BD，过点 D 作DFAC于点 F. （1）如图 1，若点 F 与点 A 重合.求证： ACBC；若2AC ，求出 2 BD； （2）若DAFABD ，如图 2，当点 F 在线段 CA 的延长线上时，判断线段 AF 与线段 AB 的数量关系. 并说明理由. （2）由旋转得到ADBABD，再根据DAFABD，从而求出 ABDBADADB=60 ，最后判定 AFDAED 即可得证 由：BCAC2 由旋转： AEAC2， DEBC2 在RtABC中， C90 22 ABACBC2 EBA

21、BAE22 在RtBED中， BED90, 22 222 BDBEDE22284 2； 在AFD和AED中， 90 60 FAED DAFDAE ADAD ， AFDAED AASAFAE，AB2AF 8. 在中，过点 作直线，将绕点 顺时针得到（点 ， 的对应点分别为，），射线，分别交直线 于点 ， . （1）如图 1，当 与重合时，求的度数； （2）如图 2，设与的交点为 ，当 为的中点时，求线段的长； （3）在旋转过程时，当点分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值. 若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）60 ；（2） ；（3） （2）M 为

22、 AB的中点， ACM=MAC， 由旋转可得，MAC=A， A=ACM， tanPCB=tanA=， PB=BC= ，tanQ=tanA=， BQ=BC=2，PQ=PB+BQ= ； （3）S四边形PABQ=S PCQ -SACB=S PCQ -， S四边形PABQ最小，即 S PCQ 最小， S PCQ = PQ BC=PQ， 取 PQ 的中点 G，则PCQ=90 ， CG= PQ，即 PQ=2CG， 当 CG 最小时，PQ 最小， CGPQ，即 CG 与 CB 重合时，CG 最小， CGmin=，PQmin=2， S PCQ 的最小值=3，S四边形PABQ=3-. 9.问题原型：如图，在等腰

23、直角三角形 ABC 中，ACB=90 ，BC=a将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90 得 到线段 BD，连结 CD过点 D 作 BCD 的 BC 边上的高 DE， 易证 ABCBDE，从而得到 BCD 的 面积为 2 1 2 a 初步探究：如图，在 Rt ABC 中，ACB=90 ，BC=a将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90 得到线段 BD， 连结 CD用含 a 的代数式表示 BCD 的面积，并说明理由 简单应用： 如图， 在等腰三角形 ABC 中， AB=AC， BC=a 将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90 得到线段 BD， 连结 CD直接写出 BCD 的面积（用含 a 的代数式表

24、示） BED=ACB=90 , 线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90 得到线段 BE, (2)简单应用:如图,过点 A 作 AFBC 与 F,过点 D 作 DEBC 的延长线于点 E, AFB=E=90 ,BF= 11 22 BCa,FAB+ABF=90 , ABD=90 ,ABF+DBE=90 , FAB=EBD, 线段 BD 是由线段 AB 旋转得到的,AB=BD, 在 AFB 和 BED 中, AFBE FABEBD ABBD , AFBBED（AAS）, BF=DE= 1 2 a, S BCD= 1 2 BCDE, S BCD= 2 111 224 aaa, BCD 的面积为 2 1

25、 4 a, 10. 如图，MAN=60 ，AP 平分MAN，点 B 是射线 AP 上一定点，点 C 在直线 AN 上运动，连接 BC，将 ABC（0 ABC120 ）的两边射线 BC 和 BA 分别绕点 B 顺时针旋转 120 ，旋转后角的两边分别与射 线 AM 交于点 D 和点 E （1）如图 1，当点 C 在射线 AN 上时，请判断线段 BC 与 BD 的数量关系，直接写出结论； 请探究线段 AC，AD 和 BE 之间的数量关系，写出结论并证明； （2）如图 2，当点 C 在射线 AN 的反向延长线上时，BC 交射线 AM 于点 F，若 AB=4，AC=，请直接写 出线段 AD 和 DF

26、的长 【答案】（1）BC=BD；AD+AC=BE；（2）AD=，DF= 【解析】（1）结论：BC=BD， 理由：如图 1 中，作 BGAM 于 G，BHAN 于 H， 结论：AD+AC=BE， ABE=120 ，BAE=30 ，BEA=BAE=30 ， （2）如图 2 中，作 BGAM 于 G，BHAN 于 H，AKCF 于 K， 由（1）可知，ABGABH，BGDBHC， 易知 BH=GB=2，AH=AG=EG=， BC=BD= =，CH=DG=， AD=，sinACH=， ，AK=， 设 FG=y，则 AF=y，BF=， AFK=BFG，AKF=BGF=90 ， AFKBFG， ， ， 解得 y=或（舍弃）， DF=GF+DG=，即 DF=