中考数学热点难点突破：第3.1讲探求规律题（解析版）

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1、 专题专题 0101 探求规律题探求规律题 考纲要求考纲要求: 探索规律型问题：指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过 程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论 基础知识回顾基础知识回顾: 1数字猜想型：在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问 题 2数式规律型：通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要 内容 3图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应 的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形

2、结合 4数形结合猜想型：首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出 来，从而得出图形与数或式的对应关系 5动态规律型：要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有 发生变化，从而逐步发现规律 应用举例应用举例: 类型一、类型一、数字猜想型 【例【例 1】一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33和 43分别可以按如图所示的 方式“分裂”，则 63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是_ 【答案】41 【解析】 23有 3、5 共 2 个奇数,33有 7、9、11 共 3 个奇数,43有 13、15、17、19 共

3、 4 个奇数， ， 63共有 6 个奇数， 到 63“分裂”出的奇数为止，一共有奇数：2+3+4+5+6=20， 又3 是第一个奇数， 第 20 个奇数为 20 2+1=41， 即 63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 41. 故答案为：41. 类型二、类型二、数式规律型 【例【例 2】观察下面三行数 （1）第行数的第 n 个数是 . （2）请将第行数中的每一个数分别减去第行数中对应位置的数,并找出规律，根据你得到的结论，直接 写出第行数的第 n 个数是 ； 同理，直接写出第行数的第 n 个数是 . （3）取每行的第 k 个数，这三个数的和能否等于-509?如果能，请求出 k 的值；如果不能，

4、请说明理由. 【答案】（1）(-2)n；（2）(-2)n+2；-(-2)n+1；（3）能；k=9. 【解析】 【分析】 （1）第一组，各数后一项是前一项的-2 倍， （2）第二组，各数依次相加了+6，-12，+24，-48，+96,总结规律得第 n 个数是(-2)n+2，同理，第三组 第 n 个数是-(-2)n+1， （3）根据前两问将第 k 个数表示出来，解关于 k 的方程即可。 【详解】 （1）(-2)n； （2）(-2)n+2； （3）能； (-2)k+(-2)k+2+-(-2)k+1=-509， 所以(-2)k=-512， 解得 k=9. 类型三、类型三、图形规律型： 【例【例 3】

5、把三角形按如图所示的规律拼图案， 其中第个图案中有 4 个三角形， 第个图案中有 6 个三角形， 第个图案中有 8 个三角形，按此规律排列下去，则第个图案中三角形的个数为（ ） A 12 B 14 C 16 D 18 【答案】C 【解析】【分析】观察第 1 个、第 2 个、第 3 个图案中的三角形个数，从而可得到第 n 个图案中三角形的 个数为 2（n+1），由此即可得. 类型四、数形结合猜想型： 【例【例 4】如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABOC 是正方形，点 A 的坐标为（1，1），是以点 B 为 圆心，BA 为半径的圆弧；是以点 O 为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点 C 为圆心，

6、CA2为半 径的圆弧，是以点 A 为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点 B、O、C、A 为圆心按上述作法得到的 曲线 AA1A2A3A4A5称为正方形的“渐开线”，那么点 A5的坐标是_，点 A2018的坐标是_ 【答案】（6，0）（0，2016） 【解析】 【详解】 解：观察，找规律：A（1，1），A1（2，0），A2（0，2），A3（3，1），A4（1，5），A5（6，0）， A6（0，6），A7（7，1），A8（1，9）， A4n=（1，4n+1），A4n+1=（4n+2，0），A4n+2=（0，（4n+2），A 4n+3=（4n+3），1） 5=4+1，2016=504 4+2， A5

7、的坐标为（64+2，0）=（6，0），A2016的坐标为（0，2016） 故答案为：（6，0）；（0，2016） 类型五、动态规律型： 【例【例 5】如图，将矩形 ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90 至图位置，继续绕右下角的顶点按 顺时针方向旋转 90 至图位置，以此类推，这样连续旋转 2017 次若 AB=4，AD=3，则顶点 A 在整个旋 转过程中所经过的路径总长为（ ） A2017 B2034 C3024 D3026 【答案】D 【解析】 考点：1轨迹；2矩形的性质；3旋转的性质；4规律型；5综合题 方法、规律归纳方法、规律归纳: 数字规律： 标序数(1，2，3，n)； 找

8、规律，观察： 当所给的一组数字是整数时： A.数字与序数的关系；B.数字的符号规律，若为正负号交替，则用或表示符号； 代数式规律： 标序数(1，2，3，n)； 找规律，观察：A.系数、代数式字母的指数与序数的关系；B.符号规律方法同“数字规律”时. 图形规律： (1)基础图形固定累加： 标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，n”； 数图形个数：数出每组图形的个数； 寻找第 n 项(某项)的个数与序数 n 的关系：将后一个 图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作差 来观察累加个数，然后按照定量变化推导出关系式； 验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确 (2)基础图形递变累加： 标序号：记

9、每组图形的序数为“1，2，3，n”； 数图形个数：数出每组图形的个数； 寻找第 n 项(某项)的个数与序数 n 的关系：将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作商 来观察图形个数；或将图形个数与 n 进行对比，寻找是否是与 n 有关的平方、平方加 1、平方减 1 等 关系； 验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确 实战演练实战演练: 1、根据以下图形变化的规律，第 2016 个图形中黑色正方形的数量是_ 【答案】3024 【解析】第 1 个图形中黑色正方形的个数是 2 个， 第 2 个图形中黑色正方形的个数是 3 个， 第 3 个图形中黑色正方形的个数是 5 个， () 1 n 1

10、 ( 1)n 第 4 个图形中黑色正方形的个数是 6 个， 第 5 个图形中黑色正方形的个数是 8 个， 第 6 个图形中黑色正方形的个数是 9 个， 由此可知当 n 为奇数时，第 n 个图形中黑色正方形的个数为个 ， 当 n 为偶数时，第 n 个图形中黑色正方形的个数是个， 故第 2016 个图形中黑色正方形的数量是 3024 个. 2. 在一列数：a1，a2，a3，an中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个 位数字，则这一列数中的第 2017 个数是（ ） A1 B3 C7 D9 【答案】B 【解析】 试题分析：依题意得：a1=3，a2=7，a3=1，a4

11、=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7； 周期为 6； 20176=3361，所以 a2017=a1=3 故选 B 考点：规律型：数字的变化类 3. 如图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点（1，1），第 2 次 接着运动到点（2，0），第 3 次接着运动到点（3，2），按这样的运动规律，经过第 2017 次运动后， 动点 P 的坐标是_ 【答案】( 2017 , 1 ) 31 2 n 3 2 n 4. 观察下列格式： 请按上述规律，写出第 n 个式子的计算结果（n 为正整数） （写出最简计算结果即可） 【答案】 【解析】 试题分析：n=1 时，

12、结果为：； n=2 时，结果为：； n=3 时，结果为：； 所以第 n 个式子的结果为：故答案为： 5. 已知 a0，S1= ，S2=S11，S3= ，S4=S31，S5= ，（即当 n 为大于 1 的奇数时，Sn=；当 n 为大于 1 的偶数时，Sn=Sn11），按此规律，S2018=_ 【答案】- 【解析】 【分析】 根据 Sn的变化规律，得出 Sn的值每 6 个为一个循环，由 2018=336 6+2，可知 S2018= S2. 【详解】 111 1 1 222 111112 1 1 22 32233 111111113 1 1 22 33 4223344 1 n n 11 1 12 2

13、2 2 13 33 3 14 1 n n1 n n 由已知可得： S1= ，S2=-，S3=-，S4=-，S5=-（a+1）, S6=a, S7= 根据 Sn的变化规律，得出 Sn的值每 6 个为一个循环， 因为，2018=336 6+2， 所以，S2018= S2=-. 故答案为：- 6.观察下列各式：， 请利用你所得结论， 化简代数式（n3 且为整数） ， 其结果为_ 【答案】 【解析】 7.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动 1 个单位，依次得到 点 P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，1），P5（2，1），P6（2，0），

14、则点 P2017的 坐标是 211 1 313 211 2424 211 3 535 2 1 3 2 24 2 35 2 (2)n n 2 35 2(1)(2) nn nn 【答案】（672，1） 【解析】 8. 观察下列各式及其验证过程： ，验证： ，验证： （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用 a（a 为自然数，且 a2）表示的等式，并给出验证； （3）用 a（a 为任意自然数，且 a2）写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程 【答案】（1）见解析；（2），验收见解析；（3）见解析 【解析】 （1）， ,验证： （2）由（

15、1）中的规律可知 3=221，8=321，15=421， ， 验证: （3） （a 为任意自然数，且 a2）， 验证： 9. 图是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层 多一个圆圈,一共堆了 n 层.将图倒置后与原图拼成图的形状,这样我们可以算出图中所有圆圈的个 数为 1+2+3+n=. 如果图和图中的圆圈都有 13 层. (1)我们自上往下，在图的每个圆圈中填上一串连续的正整数 1，2，3，4，则最底层最左边这个圆圈 中的数是_； (2)我们自上往下，在图每个圆圈中填上一串连续的整数23，22，21，20，求最底层最右边圆圈 内的数是_； (3

16、)求图中所有圆圈中各数之和.(写出计算过程) 【答案】（1）79；（2）67；（3）2002. 【解析】 （1）当有 13 层时，前 12 层共有：1+2+3+12=78 个圆圈，78+1=79， 故答案为：79； （2）图中所有圆圈中共有 1+2+3+13=91 个数，其中 23 个负数，1 个 0，67 个正数， 故答案为：67； （3）图中共有 91 个数，分别为-23，-22，-21，66，67， 图中所有圆圈中各数的和为： -23+（-22）+（-1）+0+1+2+67=2002. 10. 观察下列等式： （1）第 1 个等式：a1=； 第 2 个等式：a2=； 第 3 个等式：a3

17、=； 第 4 个等式：a4=； 用含有 n 的代数式表示第 n 个等式：an=_=_（n 为正整数）； 111 1 1 323 1111 3 5235 1111 5 7257 1111 7 9279 （2）按一定规律排列的一列数依次为，1， ， ， ， ，按此规律，这列数中的第 100 个数是_ 【答案】 (-) （2） 【解析】试题分析:(1)观察可得等式的变化规律:分子不变为 1,分母是两个连续奇数的乘积,它们与式子序号 之间的关系为序号的 2 倍减 1 和序号的 2 倍加 1, (2)通过观察可发现:相邻的两个分数,后一项的的分子与前一项的分子的差是 3,后一项的分母与前一项的分 母的差是 2,所以第 n 个数为,然后把 100 代入即可求解. 试题解析:(1) , (2) 通过观察可发现可得第 n 个数为, 所以当 n=100 时, . 2 3 8 7 11 9 14 11 17 13 1 1 2n-1)(2n1) （） （ 1 2 1 2n-1 1 2n1 299 201 31 21 n n 1111 21 212 2121 n a nnnn 31 21 n n 31299 21201 n n